人教版九年级数学下册《位似》定义、性质与作图教学教案

人教版九年级数学下册《位似》定义、性质与作图教学教案

一、课程基本信息

1.学科：初中数学

2.年级/学段：九年级下学期（第四学段）

3.教材版本：人民教育出版社（2013年版）《数学》九年级下册

4.课题名称：27.2.1相似三角形的判定（第四课时）——位似图形

5.教学课时：2课时（本教案为第1课时，侧重定义与性质探究；第2课时侧重综合作图与应用）

6.课型：新授课、概念建构课

7.授课教师：[资深教师/专家]

8.设计理念：本设计以《义务教育数学课程标准（2022年版）》为指导，聚焦“图形的变化”主题，秉承“情境-问题-探究-建构-应用”的教学逻辑。强调从现实世界和数学内部的真实情境出发，引导学生经历“观察抽象-归纳定义-推理性质-实践操作-迁移应用”的完整认知过程。通过跨学科视角（如光学、计算机图形学）的渗透，深化对“位似”作为一种特殊相似变换的理解，培养学生的几何直观、空间观念、推理能力和模型思想，实现数学核心素养的落地。

二、教学目标

1.知识与技能：

1.2.理解位似图形的定义，能准确识别位似图形，并区分位似与相似、平移、旋转、轴对称等图形变换的联系与区别。

2.3.掌握位似图形的核心性质：对应点连线交于一点（位似中心）、对应边平行（或共线）、任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比。

3.4.能根据给定的位似中心和位似比，利用尺规或坐标法对一个多边形进行放大或缩小的位似作图。

4.5.能在平面直角坐标系中，利用以原点为位似中心的坐标变化规律（(x,y)→(kx,ky)或(-kx,-ky)）解决问题。

6.过程与方法：

1.7.经历从生活实例、物理现象（小孔成像、放映机）和已有知识（相似、图形变换）中抽象概括位似概念的过程，发展数学抽象和模型建构能力。

2.8.通过观察、测量、猜想、验证、演绎推理等数学活动，自主探究并证明位似图形的性质，发展合情推理与演绎推理能力。

3.9.在解决“如何按要求放大或缩小一个图形”的实际问题中，经历位似作图方案的构思、实施与优化过程，提升几何作图能力和问题解决策略。

4.10.通过小组合作探究、交流辩论，提升数学语言表达和协作学习能力。

11.情感、态度与价值观：

1.12.感受位似变换在现实世界（地图、模型、影视特效、生物细胞分裂）和科学技术中的广泛应用，体会数学的实用价值和理性美。

2.13.在探究位似中心位置（图形同侧与异侧）与位似比正负关系的发现过程中，体验数学的严谨性与统一性。

3.14.培养勇于探索、敢于质疑、严谨求实的科学态度和理性精神。

三、教学重难点

1.教学重点：

1.2.位似图形的定义及其核心性质的探究与理解。

2.3.已知位似中心和位似比，进行平面图形的位似作图。

4.教学难点：

1.5.对位似定义中“对应点的连线相交于一点”这一本质条件的深度理解，特别是位似中心位于图形内部、外部以及无限远处（平行投影）等特殊情形的辨析。

2.6.位似比（k）的符号（正负）与位似图形和位似中心相对位置（同侧与异侧）关系的理解。

3.7.复杂情境下（非标准位置）位似作图的思路分析与尺规实现。

四、学情分析

九年级学生已具备以下认知基础：

1.知识基础：系统学习了全等三角形、相似多边形（包括相似三角形）的判定与性质，掌握了平移、旋转、轴对称等图形变换的基本概念和性质，具备了平面直角坐标系的相关知识。这为理解位似作为“一种特殊的相似变换”搭建了坚实的知识脚手架。

2.能力基础：具备了一定的观察、比较、归纳、概括和简单推理论证的能力。掌握了基本的尺规作图技能（作平行线、取定比分点等）。但将多种知识（相似、变换）进行综合、迁移并解决新问题的能力尚在发展中。

3.思维障碍预判：

1.4.容易将“位似”简单等同于“放大缩小”，忽视“对应点连线共点”这一核心特征。

2.5.对“位似中心”的多种可能位置（形内、形上、形外）缺乏想象，可能认为位似中心必须在图形外部。

3.6.对“位似比k为负值”表示的“异侧位似”感到抽象，理解上存在困难。

4.7.在作图中，容易混淆通过位似中心作射线与直接测量距离两种方法，或在处理复杂多边形时思路不清。

五、教法与学法

1.教学方法：

1.2.情境创设法：创设源于科技（投影仪）、自然（影子）、艺术（缩放画作）的真实情境，激发探究兴趣。

2.3.探究发现法：设计层层递进的问题链和探究活动，引导学生主动操作、观察、猜想、验证，自主建构知识。

3.4.直观演示法：利用GeoGebra动态数学软件、实物投影仪、模型等进行动态演示，化抽象为具体，直观展示位似变换过程、位似中心移动的影响、位似比变化的效果等，突破难点。

4.5.讲练结合法：精讲核心概念与思想，辅以阶梯式、变式化的例题与练习，及时巩固，螺旋上升。

5.6.合作学习法：在性质探究、作图方案讨论等环节，组织小组合作，促进思维碰撞。

7.学习方法：

1.8.自主探究学习：在教师引导下，独立观察、思考、操作，形成个人理解。

2.9.合作交流学习：小组内分享观察结果、论证思路、作图技巧，在协作中完善认知。

3.10.实践操作学习：通过动手测量、尺规作图、软件操作，在做中学，深化对性质与作图方法的掌握。

4.11.反思归纳学习：鼓励学生对探究过程、解题方法进行反思、总结与归纳，形成结构化知识网络。

六、教学准备

1.教师准备：

1.2.多媒体课件：精心设计，包含情境视频、动态演示（GeoGebra）、概念图示、例题、练习题等。

2.3.GeoGebra动态课件：

1.3.4.课件1：可拖动的位似图形（可调整位似中心和位似比），展示定义要素。

2.4.5.课件2：动态展示位似中心从形外移动到形内、形上的连续过程。

3.5.6.课件3：通过滑块控制位似比k从正到负连续变化，观察图形位置从同侧到异侧的翻转过程。

4.6.7.课件4：在坐标系中动态演示以原点为位似中心的坐标变换。

7.8.教具：小孔成像演示仪、两张具有位似关系的图片（如地图与局部放大图）、三角板、圆规。

8.9.学习任务单（导学案）：包含探究活动记录表、分层练习等。

10.学生准备：

1.11.复习相似多边形的定义和性质。

2.12.准备直尺（带刻度）、圆规、量角器、铅笔、练习本。

3.13.预习教材相关内容，初步了解“位似”一词。

七、教学过程（第1课时）

（一）创设情境，激趣引新（预计用时：8分钟）

1.情境呈现一（生活科技）：

1.2.【PPT播放】电影放映机将胶片上的小画面投射到巨幕上；显微镜下观察到的细胞图像；手机地图APP中缩放查看功能。

2.3.提问：这些现象中，原图像与屏幕上的图像是什么几何关系？（预设：形状相同，大小不同——相似）

3.4.追问：这种相似，与我们之前学习的任意两个相似图形相比，有没有什么更特殊的“联系”或“规律”？引导学生注意放映机镜头、显微镜物镜、地图缩放中心所起的作用。

5.情境呈现二（物理现象/历史渊源）：

1.6.教师演示：利用简易小孔成像装置（蜡烛、带小孔的纸板、光屏），在暗光环境下展示烛焰的倒立像。

2.7.提问：光屏上的像与烛焰本身是什么关系？（预设：倒立的、形状一样的像——相似）

3.8.引导观察：请大家想象，如果用直线将烛焰尖端点与像的对应点连接起来，这些线会怎样？（预设：都经过那个小孔）

4.9.介绍：这种现象在古代中国就被发现并记录（墨子《墨经》），在几何学上，我们把具有这种特殊位置关系的相似图形，称为“位似图形”。那个关键的点（小孔）称为“位似中心”。

10.揭题与目标定位：

1.11.教师：今天，我们就一起穿越古今，从数学的角度深入研究这种特殊的相似变换——位似。我们将探究：它如何精确定义？有哪些独特的性质？又如何利用这些性质来创造（作图）出一个图形的位似图形？

2.12.【板书/PPT出示课题】§27.2.1位似图形（一）——定义与性质

【设计意图】从高科技和传统物理实验两个维度创设情境，既体现数学的现代应用价值，又展现其历史深度。问题设计直指新知的核心特征（对应点连线共点），在巩固“相似”旧知的同时，制造认知冲突，激发学生探究“特殊何在”的强烈欲望，实现自然引新。

（二）活动探究，建构概念（预计用时：15分钟）

1.探究活动一：从特例中抽象共性

1.2.【GeoGebra展示】预先绘制好的三组图形：

1.2.3.组A：△ABC和△A‘B’C‘，满足对应点连线AA’、BB‘、CC’交于一点O，且OA‘/OA=OB’/OB=OC‘/OC=2。

2.3.4.组B：四边形ABCD和四边形A‘B’C‘D’，满足对应点连线交于一点O，但OA‘/OA=1.5，OB’/OB=1.5...比值相等。

3.4.5.组C：两个相似五边形，但对应点连线不交于同一点（即仅为一般相似）。

5.6.任务驱动（小组合作）：

1.6.7.观察与测量：请各小组利用GeoGebra的测量工具或手中的尺规，分别验证三组图形的对应角、对应边比例关系。记录结果。

2.7.8.比较与分类：哪几组是相似图形？它们之间又有何不同？

3.8.9.归纳与表达：请尝试用文字语言描述组A和组B所具有的，而组C不具有的共同特征。

9.10.学生活动：分组操作、测量、讨论。教师巡视指导，关注学生的测量方法和语言表述。

10.11.汇报与引导：

1.11.12.小组汇报验证结果：三组图形对应角都相等，对应边成比例，故都是相似图形。

2.12.13.聚焦差异：组A、B的“每一对对应点之间的连线，都经过同一个点O”，而组C没有这个特点。

3.13.14.关键提问：这个点O在变换中起什么作用？OA‘/OA的比值有什么特点？

4.14.15.学生归纳：所有对应点连线交于一点；该点到两个图形对应点的距离成比例。

16.形成定义，辨析关键

1.17.教师提炼：同学们归纳得非常到位。数学上，我们把具有这种特性的两个相似图形，称为位似图形。请阅读教材，对比数学语言的精确定义。

2.18.【PPT出示定义】如果两个相似多边形对应顶点的连线相交于一点，并且对应边平行（或在同一直线上），那么这两个图形叫做位似图形，这个交点叫做位似中心。

3.19.深度辨析（师生对话）：

1.4.20.问1：定义中哪些是必要条件？（预设：①相似；②对应点连线共点）“对应边平行”是必须的吗？为什么教材要写上？（引导：由“相似”和“对应点连线共点”可以推导出“对应边平行”，写上是为了强调位似图形的位置特征，帮助理解和作图。）

2.5.21.问2：位似中心一定在图形外部吗？【操作GeoGebra课件2】拖动位似中心，使其位于图形内部、边上。观察是否仍满足定义？（结论：可以位于任何位置，包括形内、形上、形外。）

3.6.22.问3：位似图形一定是相似图形吗？相似图形一定是位似图形吗？（明确：位似是相似的真子集。位似一定相似，相似未必位似。）

7.23.概念巩固练习（快速口答）：

1.8.24.判断下图（出示几个常见组合）中的各对图形是否是位似图形？若是，指出位似中心。

【设计意图】摒弃直接灌输定义的方式，设计对比鲜明的三组材料，引导学生通过操作、比较、归纳，自主“发现”位似的本质特征。对定义的辨析环节直击学生可能存在的误解（中心位置、与相似的关系），通过动态演示破除思维定势，深化对概念内涵的理解。

（三）深入探究，演绎性质（预计用时：12分钟）

1.性质猜想：

1.2.从定义和探究活动中，我们已经感知到位似图形的一些性质。请大家以小组为单位，系统梳理一下，位似图形有哪些确定的性质？（提示：从“形状、大小、位置关系、数量关系”等角度思考）

2.3.学生可能猜想：

1.3.4.形状相同（相似）。

2.4.5.对应点连线交于一点（位似中心）。

3.5.6.对应边平行（或共线）。

4.6.7.任意一对对应点（如A和A‘）到位似中心O的距离之比是定值。

8.性质验证与证明：

1.9.教师：这些猜想都基于我们的观察。数学不能止于猜想，需要严格的逻辑证明。我们重点来证明“对应边平行”和“距离之比为定值”这两条。

2.10.已知：如图，四边形ABCD与四边形A‘B’C‘D’位似，位似中心为O。

3.11.证明任务1：求证：AB∥A‘B’。

1.4.12.引导分析：如何证明平行？目前已知什么？可以转化为什么问题？（引导至证明△OAB∽△OA‘B’）

2.5.13.师生共证：∵位似→相似，∴AB/A‘B’=OA/OA‘。又∵∠AOB=∠A’OB‘（对顶角？公共角？需根据位似中心位置分类讨论，此处以O在形外为例，则为对顶角/公共角），∴△OAB∽△OA’B‘（SAS）。∴∠OAB=∠OA’B‘。∴AB∥A’B‘。

3.6.14.小结证明思路：利用位似→相似得到边比例，结合公共角，证三角形相似，进而得到角相等推导平行。

7.15.证明任务2：求证：OA‘/OA=OB’/OB=OC‘/OC=…=k（定值）。

1.8.16.引导：这个定值k叫什么？（位似比）如何证明所有比值相等？

2.9.17.学生尝试：由位似→相似，可得对应边成比例，如A‘B’/AB=B‘C’/BC=…。再结合已证的△OAB∽△OA‘B’，可得OA‘/OA=A’B‘/AB。同理可证其他。故所有比值相等，记为位似比k。

10.18.符号k的深意：

1.11.19.提问：位似比k>0时，图形位置有何特点？k<0呢？【操作GeoGebra课件3】动态演示k从2变化到-2。

2.12.20.学生观察总结：k>0时，两个位似图形在位似中心同侧；k<0时，两个位似图形在位似中心异侧（即图形“翻转”到中心另一边）。

3.13.21.教师明确：|k|表示缩放倍数，k的符号表示方位。这是位似区别于单纯比例缩放的重要特征。

22.性质体系化：

1.23.【PPT/板书系统梳理位似性质】

1.2.24.基础关系：位似图形是相似图形（具有相似的一切性质）。

2.3.25.位置特征：对应点连线相交于一点（位似中心）；对应边平行或在同一直线上。

3.4.26.核心度量：任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比k（|k|为相似比）。当k>0时，图形在位似中心同侧；当k<0时，图形在位似中心异侧。

【设计意图】将性质教学从“告知-记忆”升级为“猜想-证明-深化”的探究过程。引导学生将观察到的现象上升为数学命题，并经历严谨的几何证明，提升推理能力。对位似比k符号意义的探究，借助动态软件将抽象关系可视化，是本节课的升华点，帮助学生建立完整的位似变换认知结构。

（四）初步应用，掌握作图（预计用时：8分钟）

1.问题提出：我们掌握了位似的定义和性质，现在能否利用这些知识，解决开头的“缩放”问题？例如，如何将△ABC按位似比2:1放大，且位似中心在点O处（O在△ABC外）？

2.思路分析（学生讨论）：

1.3.根据性质，放大后的△A‘B’C‘应满足：①O、A、A’共线；②OA‘=2OA；③A’B‘∥AB…

2.4.关键：确定关键点（顶点）的对应点位置。

5.作图方法归纳（教师示范与讲解）：

1.6.方法一（射线法，通用且体现本质）：

1.2.7.连接OA、OB、OC并延长。

2.3.8.在射线OA上截取OA‘=2OA；在射线OB上截取OB’=2OB；在射线OC上截取OC‘=2OC。

3.4.9.顺次连接A‘、B’、C‘。

5.10.方法二（平行线法，由性质推导的实践）：

1.6.11.取OA中点A‘（原理？反向思考：若已知A’，找A，则是取中点），同理得B‘、C’。

2.7.12.过A‘作AB的平行线，过B’作BC的平行线…交点即为对应点。（此法更繁琐，但可验证性质“对应边平行”）

8.13.强调：尺规作图时，截取需要圆规配合。若要求按比例缩小（如1:3），方法同理。

14.变式挑战（快速思考）：

1.15.如果位似中心O在△ABC内部，如何作图？（射线方向为连接并双向延长，根据k正负决定截取方向）

2.16.如果要求作k=-2的位似图形呢？（在射线OA的反向延长线

上截取OA‘=2OA）

【设计意图】将作图作为性质的直接应用，实现“学以致用”。通过分析引导，让学生理解作图步骤背后的数学原理（依据性质）。展示不同方法，体现思维的灵活性。变式提问为下节课深入作图和坐标系中的位似埋下伏笔。

（五）课堂小结，梳理脉络（预计用时：2分钟）

1.引导学生从以下方面总结：

1.2.知识上：我们今天学到了什么？位似图形的定义是什么？（两个关键条件）它有哪些核心性质？（位置、度量、符号意义）

2.3.方法上：我们是如何学习这个新概念的？（从生活实例观察→数学抽象定义→逻辑推理性质→实践应用作图）用到了哪些数学思想？（转化、分类讨论、数形结合）

3.4.联系上：位似与我们之前学过的平移、旋转、轴对称、相似有什么联系与区别？（预设：都是图形变换；位似是特殊的相似变换，保留了形状，改变了大小和特定位置；它与其他保距变换不同，是缩放变换。）

5.教师寄语：位似，是图形变换家族中的重要成员，它连接了相似与位置，为我们精确描述和创造“缩放的世界”提供了数学工具。下节课，我们将学习在坐标系中如何更高效地处理位似，并解决更复杂的实际问题。

（六）分层作业，拓展延伸

1.【必做题】（巩固基础）

1.2.教材课后练习题（基础部分）。

2.3.画出已知四边形ABCD，在形外任取一点O，分别作出以O为位似中心，位似比为1/2和-1/2的位似图形。

3.4.判断题并说明理由：①位似图形一定是全等图形。（）②两个等边三角形一定是位似图形。（）③位似中心可能位于两个位似图形之间。（）

5.【选做题】（提升能力）

1.6.探究：当位似比k=1时，位似图形有什么特点？当位似中心在无穷远处时，位似变换趋近于什么变换？（提示：平行投影/平移？）

2.7.请查阅资料，了解位似在摄影测量学、计算机视觉（图像配准）或分形艺术中的一个具体应用实例，写一份简要的说明。

8.【实践题】（跨学科应用）

利用位似原理，设计一个方案，测量校园内一棵大树的高度（不可直接攀爬）。需要列出所需工具、测量步骤和计算原理图。

八、板书设计

§27.2.1位似图形（一）——定义与性质

一、定义

两个相似图形，若对应顶点连线相交于一点，则这两个图形叫做位似图形。这个交点叫做位似中心。

二、性质（“似”+“位”）

1.是特殊的相似图形→对应角相等，对应边成比例。

2.“位”的特征：

1.3.对应点连线交于一点（位似中心O）。

2.4.对应边平行（或共线）。

5.核心度量：

1.6.OA‘/OA=OB’/OB