北师大初一数学知识点总结

北师大初一数学知识点总结初中数学是构建数学思维体系的关键阶段，初一数学更是基础中的基础。这份总结基于北师大版教材，梳理了初一学年核心知识点，旨在帮助同学们系统回顾、查漏补缺，为后续学习筑牢根基。七年级上册核心知识点一、有理数1.概念与分类*正数与负数：大于0的数称为正数，小于0的数称为负数。0既不是正数也不是负数，它是正数与负数的分界。*有理数：整数（正整数、0、负整数）和分数（正分数、负分数）统称为有理数。*数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线。任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。*相反数：只有符号不同的两个数互为相反数。0的相反数是0。在数轴上，互为相反数的两个点位于原点两侧，且到原点的距离相等。*绝对值：数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。2.有理数的运算*加法：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得0；一个数同0相加，仍得这个数。*减法：减去一个数，等于加上这个数的相反数。*乘法：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数同0相乘，都得0。几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数。*除法：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数，都得0。*乘方：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。在aⁿ中，a叫做底数，n叫做指数。负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0。*混合运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；同级运算，从左到右进行；如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。二、整式及其加减1.整式的相关概念*字母表示数：用字母可以表示任何数，也可以表示数量关系、运算律和计算公式等。*代数式：由数和字母用运算符号连接而成的式子称为代数式。单独的一个数或者一个字母也是代数式。*整式：单项式和多项式统称为整式。*单项式：由数与字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式。单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。*多项式：几个单项式的和叫做多项式。在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项。多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。*同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。几个常数项也是同类项。2.整式的加减运算*合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母连同它的指数不变。*去括号与添括号法则：*括号前是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉后，原括号里各项的符号都不改变。*括号前是“-”号，把括号和它前面的“-”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变。*添括号法则类似。*整式的加减：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项。整式的加减实质上就是合并同类项。三、一元一次方程1.方程的基本概念*方程：含有未知数的等式叫做方程。*方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。*一元一次方程：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程。标准形式是ax+b=0（a≠0）。2.解一元一次方程*等式的性质：*等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。*等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。*解一元一次方程的一般步骤：*去分母（注意不要漏乘不含分母的项）*去括号（注意符号）*移项（把含未知数的项移到一边，常数项移到另一边，移项要变号）*合并同类项（化为ax=b的形式，a≠0）*系数化为1（两边同除以未知数的系数a）3.一元一次方程的应用*列方程解应用题的一般步骤：审（审题）、设（设未知数）、列（列方程）、解（解方程）、验（检验）、答（写出答案）。*常见的等量关系模型：行程问题（路程=速度×时间）、工程问题（工作量=工作效率×工作时间）、利润问题（利润=售价-进价，利润率=利润/进价×100%）、和差倍分问题、等积变形问题等。四、图形的初步认识1.生活中的立体图形*常见的立体图形：棱柱（正方体、长方体是特殊的四棱柱）、棱锥、圆柱、圆锥、球等。*构成图形的基本元素：点、线、面。点动成线，线动成面，面动成体。2.展开与折叠*正方体的表面展开图：正方体的表面展开图共有11种不同的形式（一四一型6种，二三一型3种，二二二型1种，三三型1种）。*棱柱、棱锥的展开图：棱柱的侧面展开图是长方形，棱锥的侧面展开图是三角形。3.截一个几何体*用一个平面去截一个几何体，截出的面叫做截面。不同的几何体，或用平面截几何体的不同方向和角度，得到的截面形状一般不同。4.从三个方向看物体的形状*三视图：从正面看到的图形，称为主视图；从左面看到的图形，称为左视图；从上面看到的图形，称为俯视图。三者合称为三视图。5.直线、射线、线段*直线：经过两点有且只有一条直线（两点确定一条直线）。直线没有端点，可以向两端无限延伸，不可度量。*射线：直线上一点和它一旁的部分叫做射线。射线有一个端点，可以向一端无限延伸，不可度量。*线段：直线上两点和它们之间的部分叫做线段。线段有两个端点，可度量。两点之间，线段最短。*线段的中点：点M把线段AB分成相等的两条线段AM与MB，点M叫做线段AB的中点。6.角*角的概念：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角。这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边。角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形。*角的度量：角的度量单位是度、分、秒。1°=60′，1′=60″。*角的比较与运算：可以用量角器量出角的度数来比较大小，也可以通过叠合的方法比较大小。角的和、差、倍、分的运算与代数运算类似。*角的平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线。*余角和补角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角；如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角。同角（等角）的余角相等；同角（等角）的补角相等。*对顶角：两条直线相交形成的四个角中，相对的两个角叫做对顶角。对顶角相等。七年级下册核心知识点一、相交线与平行线1.相交线*邻补角：两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且有一条公共边的两个角是邻补角。邻补角互补。*对顶角：（见上册）对顶角相等。*垂线：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。*过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。*连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。简单说成：垂线段最短。*直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。*同位角、内错角、同旁内角：两条直线被第三条直线所截，形成八个角，根据它们的位置关系，分别称为同位角、内错角、同旁内角。2.平行线及其判定*平行线的概念：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。*平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。*平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。*平行线的判定方法：*同位角相等，两直线平行。*内错角相等，两直线平行。*同旁内角互补，两直线平行。*在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行。3.平行线的性质*两直线平行，同位角相等。*两直线平行，内错角相等。*两直线平行，同旁内角互补。4.用尺规作角：会用尺规作一个角等于已知角。二、实数1.平方根*算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x²=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根。a的算术平方根记为√a，读作“根号a”，a叫做被开方数。0的算术平方根是0。*平方根：一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根。即如果x²=a，那么x叫做a的平方根。*一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。*求一个数a的平方根的运算，叫做开平方。2.立方根*立方根的概念：一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根。即如果x³=a，那么x叫做a的立方根。*开立方：求一个数的立方根的运算，叫做开立方。*性质：正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0的立方根是0。3.实数*无理数：无限不循环小数叫做无理数。*实数的概念：有理数和无理数统称为实数。*实数的分类：实数可以分为有理数和无理数；也可以分为正实数、0、负实数。*实数与数轴上的点的对应关系：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。即实数和数轴上的点是一一对应的。*实数的性质：在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样。实数的运算律和运算法则与有理数的运算律和运算法则相同。三、二元一次方程组1.二元一次方程组的相关概念*二元一次方程：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。*二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。二元一次方程有无数个解。*二元一次方程组：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。*二元一次方程组的解：二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。2.解二元一次方程组*代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。这种方法叫做代入消元法，简称代入法。*加减消元法：当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程。这种方法叫做加减消元法，简称加减法。3.二元一次方程组的应用*与一元一次方程的应用类似，关键是找出实际问题中的等量关系，设两个未知数，列出二元一次方程组求解。四、不等式与不等式组1.不等式及其解集*不等式的概念：用符号“＜”或“＞”表示大小关系的式子，叫做不等式。用符号“≠”表示不等关系的式子也是不等式。*不等式的解：使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解。*不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。求不等式解集的过程叫做解不等式。*不等式的性质：*不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变。*不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。*不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。2.一元一次不等式*一元一次不等式的概念：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式。*解一元一次不等式的步骤：与解一元一次方程类似，包括去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1。但要特别注意，当系数化为1时，如果两边同乘或除以一个负数，不等号的方向必须改变。3.一元一次不等式组*一元一次不等式组的概念：把几个含有相同未知数的一元一次不等式合起来，就组成了一个一元一次不等式组。*一元一次不等式组的解集：几个不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集。*解一元一次不等式组的步骤：1.求出不等式组中各个不等式的解集。2.利用数轴求出这些不等式解集的公共部分，即这个不等式组的解集。*不等式组解集的四种基本类型（设a＜b）：*{x＞a,x＞b}的解集是x＞b（同大取大）*{x＜a,x＜b}的解集是x＜a（同小取小）*{x＞a,x＜b}的解集是a＜x＜b（大小小大中间找）*{x＜a,x＞b}的解集是空集（大大小小无解