2024-2025学年上海市闵行区莘松中学七年级（下）期中数学试卷 （含解析）

2024-2025学年上海市闵行区莘松中学七年级（下）期中数学试卷考试注意事项：1、考生须诚信考试,遵守考场规则和考试纪律，并自觉服从监考教师和其他考试工作人员管理；

2、监考教师发卷后，在试卷指定的地方填写本人准考证号、姓名等信息；考试中途考生不准以任何理由离开考场；

3、考生答卷用笔必须使用同一规格同一颜色的笔作答(作图可使用铅笔)，不准用规定以外的笔答卷，不准在答卷上作任何标记。考生书写在答题卡规定区域外的答案无效。4、考试开始信号发出后,考生方可开始作答。一、选择题（共6小题，每小题3分，满分18分）.1．已知三角形的三边长分别是3，5，x，则x的取值不可能是（）A．3 B．5 C．7 D．92．已知a，b，c是实数，a＜b＜0，那么下列不等式中，不一定成立的是（）A．﹣2a＞﹣2b B．a﹣c＜b﹣c C．1a＞1b D．ac3．如图，已知△ABC≌△DEF，那么∠D的度数是（）A．45° B．65° C．70° D．115°4．规定[x]为不大于x的最大整数，如[3.6]＝3，[﹣2.1]＝﹣3，若[x+12]=3且[3﹣2xA．52＜x＜72 B．3＜x＜725．下列命题中，真命题是（）A．三角形的三条高交于同一点 B．在同一平面内，如果两条直线都垂直于第三条直线，那么这两条直线平行 C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行 D．如果两条直线被第三条直线所截，那么截得的同旁内角互补6．如图，∠ABC＝∠ACB，BD、CD、AD分别平分△ABC的内角∠ABC、外角∠ACF、外角∠EAC．其中不正确的结论有（）A．∠ACB＝2∠ADB B．∠BDC=1C．∠CDB=12∠ABC二、填空题（本大题共12题，每题2分，共24分）7．“a的3倍与12的差是一个非负数”用不等式表示为．8．已知A＝a﹣1，B＝﹣a+3，若A＞B，则a的取值范围是．9．关于x的不等式组−x+2＞1x−2m≥1有两个整数解，那么m的取值范围是10．命题“等角的余角相等”的逆命题是，这是一个命题．（填“真”或“假”）11．某班思政课上举行了普法知识竞赛，共有30道题，规定答对一题得5分，不答得0分，答错一题扣2分，在这次竞赛中小聪有1道题没答，竞赛成绩超过90分，那么小聪至多答错了道题．12．如图，下列条件中：①∠B+∠BCD＝180°；②∠1＝∠2；③∠3＝∠4；④∠B＝∠5；则一定能判定AB∥CD的条件有（填写所有正确的序号）．13．如图，已知△ABC≌△DEF≌△GHI，并将它们摆成如图所示的形式，那么∠1+∠2+∠3的度数等于．14．如图，五边形ABCDE中，AB∥CD，∠1，∠2，∠3分别是∠BAE，∠AED，∠EDC的外角，∠2＝85°，那么∠1+∠3＝度．15．已知等腰三角形中，两条边长为3和7，则这个等腰三角形的周长为．16．凸透镜是中央较厚边缘较薄的透镜．如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线交于点P，点F为焦点，若∠1＝30°，∠2＝55°，则∠ABP的度数是．17．如图，已知AD是△ABC中BC边上的中线，点E、F分别在BC、DA的延长线上，CE＝BC，AF＝AD，如果△ABC的面积是8，那么△DEF的面积等于．18．如图，已知AB∥CD，点E在CD上，∠BAE＝45°．如果点M、N分别在直线AE、CD上，且∠MNC＝100°，那么∠AMN＝度．三、简答题（本大题共3题，19、20题每题6分，21题8分，共20分）19．（6分）解不等式：2x+1320．（6分）解不等式组：x−3(x−1)≥1①x+221．（8分）如图，已知△ABC，根据下列要求画出图形并回答问题：（1）作边AB上的高CD；（2）过点B画AC的垂线BE，垂足为E；（3）过点E画CD的平行线EF，交AB于点F；（4）点E到直线AB的距离是线段的长度．四、解答题（本大题共4题，22、23题每题8分，24题10分，25题12分，共38分）22．（8分）如图，已知在△ABC中，点D在BC上，连接AD，点E、F分别在AD、AB上，连接DF、EF，∠1+∠2＝180°．（1）求证：∠DFE＝∠FDB．把以下证明过程补充完整：证明：∵∠1+∠2＝180°（已知），又∵∠DEF+∠2＝180°（），∴∠DEF＝∠1（）．∴EF∥CD（）．∴∠DFE＝∠FDB（）（2）如果∠CAD＝∠C，DF平分∠ADB，求证：∠DFE＝∠C．23．（8分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，E、F分别为AB、AC上的点，且∠AFE＝∠B．试说明EF∥CD的理由．（请注明理由）24．（10分）随着科技的发展，新能源汽车正逐渐成为人们喜欢的交通工具，其需求量快速增长．为满足客户需求，现某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解1辆A型汽车、1辆B型汽车的进价共计37万元；若单次购买A型汽车超过15辆每辆车进价打九五折，单次购买B型汽车超过15辆每辆车进价优惠5千元，当购买A型和B型车各20辆时，共需715万元．（1）求该汽车销售公司单独购进A，B型号汽车各一辆时，进价分别为多少万元？（2）因资金紧张，该公司计划以不超过260万元购进以上两种型号的新能源汽车共15辆，每辆A型汽车在进价的基础上提高6000元销售，每辆B型汽车在进价的基础上提高5%销售．假如这些新能源汽车全部售出，至少要获利10.5万元，该公司有哪几种购进方案？哪种方案获得的利润最多，最多利润是多少？25．（12分）如图，CD∥AB，现将一块含30°的三角板EFG按如图1放置，∠G＝90°，∠EFG＝30°，使点E、F分别在直线CD、AB上，设∠GFB＝α（0°＜α＜90°）．（1）求∠DEG+∠GFB的度数；（2）如果∠CEF的角平分线EH交直线AB于点H，如图2．①当EH∥FG时，求α的度数；②在①的条件下，如果点P是射线EC上的一点，将三角板EFG绕着点E以每秒1°的速度进行顺时针旋转，同时射线PC绕着点P以每秒4°的速度进行顺时针旋转，射线PC旋转一周后停止转动，同时三角板EFG也停止转动．当旋转多少时间时，CP与△EFG的一边平行？

参考答案一、选择题（共6题，每题3分，满分18分）1．已知三角形的三边长分别是3，5，x，则x的取值不可能是（）A．3 B．5 C．7 D．9解：∵3+5＝8，5﹣3＝2，∴2＜x＜8．观察选项，只有选项D符合题意．故选：D．2．已知a，b，c是实数，a＜b＜0，那么下列不等式中，不一定成立的是（）A．﹣2a＞﹣2b B．a﹣c＜b﹣c C．1a＞1b D．ac解：∵a＜b＜0，∴﹣2a＞﹣2b，∴A选项成立；∵a＜b＜0，∴a﹣c＜b﹣c，∴B选项成立；∵a＜b＜0，∴1a∴C选项成立；∵a＜b＜0，∴只有当c≠0时，ac2＜bc2，∴D选项不一定成立．故选：D．3．如图，已知△ABC≌△DEF，那么∠D的度数是（）A．45° B．65° C．70° D．115°解：∵△ABC≌△DEF，∴∠D＝∠A＝70°，故选：C．4．规定[x]为不大于x的最大整数，如[3.6]＝3，[﹣2.1]＝﹣3，若[x+12]=3且[3﹣2xA．52＜x＜72 B．3＜x＜72解：3≤x+1解不等式组3≤x+12＜4，得：5解不等式组﹣4≤3﹣2x＜﹣3，得：3＜x≤7∴x的取值范围是3＜x＜7故选：B．5．下列命题中，真命题是（）A．三角形的三条高交于同一点 B．在同一平面内，如果两条直线都垂直于第三条直线，那么这两条直线平行 C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行 D．如果两条直线被第三条直线所截，那么截得的同旁内角互补解：A、三角形的三条高所在直线交于一点，故此命题是假命题，不符合题意；B、同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，故此命题是真命题，符合题意；C、在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故此命题是假命题，不符合题意；D、两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补，故此命题是假命题，不符合题意；故选：B．6．如图，∠ABC＝∠ACB，BD、CD、AD分别平分△ABC的内角∠ABC、外角∠ACF、外角∠EAC．其中不正确的结论有（）A．∠ACB＝2∠ADB B．∠BDC=1C．∠CDB=12∠ABC解：∵AD平分∠EAC，∴∠EAC＝2∠EAD，∵∠EAC＝∠ABC+∠ACB，∠ABC＝∠ACB，∴∠EAD＝∠ABC，∴AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，∵BD平分∠ABC，∠ABC＝∠ACB，∴∠ABC＝∠ACB＝2∠DBC，∴∠ACB＝2∠ADB，故A不符合题意；∵CD平分△ABC的外角∠ACF，∴∠ACF＝2∠DCF，∵∠ACF＝∠BAC+∠ABC，∠ABC＝2∠DBC，∠DCF＝∠DBC+∠BDC，∴2∠DBC+2∠BDC＝∠BAC+2∠DBC，∴∠BAC＝2∠BDC，∴∠BDC=12∠故B不符合题意；C符合题意；在△ADC中，∠ADC+∠CAD+∠ACD＝180°，∵CD平分△ABC的外角∠ACF，∴∠ACD＝∠DCF，∵AD∥BC，∴∠ADC＝∠DCF，∠ADB＝∠DBC，∠CAD＝∠ACB，∴∠ACD＝∠ADC，∠CAD＝∠ACB＝∠ABC＝2∠ABD，∴∠ADC+∠CAD+∠ACD＝∠ADC+2∠ABD+∠ADC＝2∠ADC+2∠ABD＝180°，∴∠ADC+∠ABD＝90°，即∠ADC+12∠故D不符合题意；故选：C．二、填空题（本大题共12题，每题2分，共24分）7．“a的3倍与12的差是一个非负数”用不等式表示为3a﹣12≥0．解：根据题意，得3a﹣12≥0．故答案为：3a﹣12≥0．8．已知A＝a﹣1，B＝﹣a+3，若A＞B，则a的取值范围是a＞2．解：∵A＝a﹣1，B＝﹣a+3，A＞B，∴a﹣1＞﹣a+3，解得a＞2．故答案为：a＞2．9．关于x的不等式组−x+2＞1x−2m≥1有两个整数解，那么m的取值范围是−3解：由不等式组−x+2＞1x−2m≥1可得2m+1≤x∵关于x的不等式组−x+2＞1x−2m≥1∴这两个整数解为﹣1，0，∴﹣2＜2m+1≤﹣1，解得−3即m的取值范围为−3故答案为：−310．命题“等角的余角相等”的逆命题是如果两个角的余角相等，那么这两个角也相等，这是一个真命题．（填“真”或“假”）解：“等角的余角相等”的逆命题为“如果两个角的余角相等，那么这两个角也相等”，这是一个真命题．故答案为如果两个角的余角相等，那么这两个角也相等；真．11．某班思政课上举行了普法知识竞赛，共有30道题，规定答对一题得5分，不答得0分，答错一题扣2分，在这次竞赛中小聪有1道题没答，竞赛成绩超过90分，那么小聪至多答错了7道题．解：设小聪答对了x道题，则答错了（30﹣1﹣x）道题，依题意列一元一次不等式得：5x﹣2（30﹣1﹣x）＞90，整理得，7x＝148，解得x＞211∵x为正整数，∴x的最小值为22．即最少答对22题，∴30﹣22﹣1＝7，所以小聪至多答错了7道题．故答案为：7．12．如图，下列条件中：①∠B+∠BCD＝180°；②∠1＝∠2；③∠3＝∠4；④∠B＝∠5；则一定能判定AB∥CD的条件有①③④（填写所有正确的序号）．解：①∵∠B+∠BCD＝180°，∴AB∥CD；②∵∠1＝∠2，∴AD∥CB；③∵∠3＝∠4，∴AB∥CD；④∵∠B＝∠5，∴AB∥CD，故答案为：①③④．13．如图，已知△ABC≌△DEF≌△GHI，并将它们摆成如图所示的形式，那么∠1+∠2+∠3的度数等于180°．解：∵△ABC≌△DEF≌△GHI，∴∠HGI＝∠BAC，∠FED＝∠ABC（全等三角形对角相等），∴∠ACB+∠HGI+∠FED＝∠ABC+∠BAC+∠ABC＝180°，根据题意可得，∠1＝180°﹣∠ECG﹣∠ACB，∠2＝180°﹣∠EGC﹣∠HGI，∠3＝180°﹣∠FED﹣∠CEG，∠1+∠2+∠3＝540°﹣（∠ECG+∠EGC+∠CEG）﹣（∠ACB+∠HGI+∠FED），又∵∠ECG+∠EGC+∠CEG＝180°（三角形内角和定理），∴∠1+∠2+∠3＝540°﹣180°﹣180°＝180°，所以∠1+∠2+∠3的度数等于180°，故答案为：180°．14．如图，五边形ABCDE中，AB∥CD，∠1，∠2，∠3分别是∠BAE，∠AED，∠EDC的外角，∠2＝85°，那么∠1+∠3＝95度．解：∵五边形ABCDE，AB∥CD，∴五边形的内角和为（5﹣2）×180°＝540°，∠B+∠C＝180°，∵∠2＝85°，∴∠AED＝180°﹣85°＝95°，∴∠BAE+∠CDE＝540°﹣180°﹣95°＝265°，∵∠1+∠BAE+∠3+∠CDE＝180°+180°＝360°，∴∠1+∠3＝360°﹣265°＝95°；故答案为：95．15．已知等腰三角形中，两条边长为3和7，则这个等腰三角形的周长为17．解：分两种情况：当等腰三角形的腰长为3，底边长为7时，∵3+3＝6＜7，∴不能组成三角形；当等腰三角形的腰长为7，底边长为3时，∴这个等腰三角形的周长＝7+7+3＝17；综上所述：这个等腰三角形的周长为17，故答案为：17．16．凸透镜是中央较厚边缘较薄的透镜．如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线交于点P，点F为焦点，若∠1＝30°，∠2＝55°，则∠ABP的度数是155°．解：∵∠2＝55°，∠POF＝∠1＝30°，∴∠PFO＝∠2﹣∠POF＝25°，∵AB∥OF，∴∠ABP+∠PFO＝180°，∴∠ABP＝155°．故答案为：155°．17．如图，已知AD是△ABC中BC边上的中线，点E、F分别在BC、DA的延长线上，CE＝BC，AF＝AD，如果△ABC的面积是8，那么△DEF的面积等于24．解：连接AE，如图，∵AD是△ABC中BC边上的中线，△ABC的面积是8，∴BD＝CD，S△ABD∵CE＝BC，∴S△ACE＝S△ABC＝8，∴S△ADE＝S△ACD+S△ACE＝4+8＝12，∵AF＝AD，∴S△DEF＝2S△ADE＝2×12＝24．故答案为：24．18．如图，已知AB∥CD，点E在CD上，∠BAE＝45°．如果点M、N分别在直线AE、CD上，且∠MNC＝100°，那么∠AMN＝125或35度．解：如图，过点M作MF∥CD，则MF∥AB∥CD，当点M在EA延长线上时，则∠FMN＝∠BAE＝45°，∵∠FMN+∠MNC＝180°，∠MNC＝100°∴∠FMN＝80°，∴∠AMN＝∠FMN﹣∠FME＝35°；当点M在AE延长线上时，则∠ANF＝∠BAE＝45°，∵MF∥CD，∠MNC＝100°，∴∠FMN＝180°﹣∠MNC＝80°；∴∠AMN＝∠FMN﹣∠AMF＝35°；当点M在AE上时，∵∠MNC＝100°，∴∠MNE＝80°，∵∠BAE＝45°∴∠AMF＝45°，∠FMN＝80°，∴∠AMN＝∠AMF+∠FMN＝125°；综上，∠AMN为125°或35°．故答案为：125或35．三、简答题（本大题共3题，19、20题每题6分，21题8分，共20分）19．（6分）解不等式：2x+13解：去分母，得2（2x+1）﹣30≤3（x﹣7）﹣6x，去括号，得4x+2﹣30≤3x﹣21﹣6x，移项，得4x﹣3x+6x≤﹣21﹣2+30，合并同类项，得7x≤7，系数化为1，得x≤1．20．（6分）解不等式组：x−3(x−1)≥1①x+2解：由①得x﹣3x+3≥1，解得x≤1，由②去分母得2（x+2）﹣3（x﹣1）＜12，去括号得2x+4﹣3x+3＜12，移项得2x﹣3x＜12﹣4﹣3，合并同类项得﹣x＜5，两边同除以﹣1得x＞﹣5，∴不等式组的解集为﹣5＜x≤1，在数轴上表示如下：21．（8分）如图，已知△ABC，根据下列要求画出图形并回答问题：（1）作边AB上的高CD；（2）过点B画AC的垂线BE，垂足为E；（3）过点E画CD的平行线EF，交AB于点F；（4）点E到直线AB的距离是线段EF的长度．解：（1）如图所示，过点C作CD⊥AB交AB延长线于D，则CD即为所求；（2）如图所示，BE⊥AC，即BE为所求；（3）如图所示，即为所求；（4）∵EF∥CD，CD⊥AB，∴EF⊥AB，∴点E到直线AB的距离是线段EF的长度．故答案为：EF．四、解答题（本大题共4题，22、23题每题8分，24题10分，25题12分，共38分）22．（8分）如图，已知在△ABC中，点D在BC上，连接AD，点E、F分别在AD、AB上，连接DF、EF，∠1+∠2＝180°．（1）求证：∠DFE＝∠FDB．把以下证明过程补充完整：证明：∵∠1+∠2＝180°（已知），又∵∠DEF+∠2＝180°（平角的定义），∴∠DEF＝∠1（同角的补角相等）．∴EF∥CD（内错角相等，两直线平行）．∴∠DFE＝∠FDB（两直线平行，内错角相等）（2）如果∠CAD＝∠C，DF平分∠ADB，求证：∠DFE＝∠C．【解答】证明：（1）∵∠1+∠2＝180°（已知），又∵∠DEF+∠2＝180°（平角的定义），∴∠DEF＝∠1（同角的补角相等）．∴EF∥CD（内错角相等，两直线平行）．∴∠DFE＝∠FDB（两直线平行，内错角相等），故答案为：平角的定义；同角的补角相等；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；（2）∵DF平分∠ADB，∴∠ADF=∠BDF=1∵∠CAD＝∠C，∠ADB＝∠C+∠CAD，∴∠CAD=∠C=1∴∠C＝∠FDB，∵∠DFE＝∠FDB，∴∠DFE＝∠C．23．（8分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，E、F分别为AB、AC上的点，且∠AFE＝∠B．试说明EF∥CD的理由．（请注明理由）解：∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BCD＝90°，∵CD⊥AB，∴∠CDB＝90°，∴∠B+∠BCD＝90°，∴∠B＝∠ACD，∵∠AFE＝∠B，∴∠AFE＝∠ACD，∴EF∥CD．24．（10分）随着科技的发展，新能源汽车正逐渐成为人们喜欢的交通工具，其需求量快速增长．为满足客户需求，现某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解1辆A型汽车、1辆B型汽车的进价共计37万元；若单次购买A型汽车超过15辆每辆车进价打九五折，单次购买B型汽车超过15辆每辆车进价优惠5千元，当购买A型和B型车各20辆时，共需715万元．（1）求该汽车销售公司单独购进A，B型号汽车各一辆时，进价分别为多少万元？（2）因资金紧张，该公司计划以不超过260万元购进以上两种型号的新能源汽车共15辆，每辆A型汽车在进价的基础上提高6000元销售，每辆B型汽车在进价的基础上提高5%销售．假如这些新能源汽车全部售出，至少要获利10.5万元，该公司有哪几种购进方案？哪种方案获得的利润最多，最多利润是多少？解：（1）设购进A，B型号汽车各一辆时进价分别为x，y万元，根据题意可知：x+y=3720×0.95x+20×(y−0.5)=715解得：x=15y=22则购进A，B型号汽车各一辆时进价分别为15，22万元；（2）设购进A型汽车m辆，则购进B型汽车（15﹣m）辆，根据题意可得出：15m+22(15−m)≤2600.6m+22×0.05×(15−m)≥10.5解得：10≤m≤12，∵m为正整数，∴m＝10或11或12，当m＝12时，购进B型汽车为3辆，此时利润为：0.6×12+22×0.05×3＝10.5（万元），当m＝11时，购进B型汽车为4辆，此时利润为：0.6×11+22×0.05×4＝11（万元），当m＝10时，购进B型汽车为5辆，此时利润为：0.6×10+22×0.05×5＝11.5（万元），综上：购进A型汽车10辆，B型汽车5辆的方案获得的利润最多，最多利润是11.5万元．25．（12分）如图，CD∥AB，现将一