2025北京四中初二12月月考数学试题及答案

初中2025北京四中初二12月月考数学一、选择题1.生物学家发现一种病毒的长度约为，用科学记数法表示这个数为（）A. B. C. D.2.“致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（）A. B. C. D.3.下列计算正确的是（）A. B.C. D.4.若长度分别为a，3，6的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（）A.2 B.3 C.4 D.115.点的坐标是，则点关于轴的对称点的坐标是（）A. B. C. D.6.把分式中x，y的值都扩大2倍，所得分式的值（）A.扩大4倍 B.扩大2倍 C.缩小2倍 D.不变7.如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，给出以下结论：①；②；③；④．其中正确的个数为（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个8.如图所示，是一钢架，且，为了使钢架更加坚固，需在其内部添加一些钢管，，…，添加的钢管长度都与相等，最多能添加这样的钢管（）根．A.7 B.8 C.9 D.无数二、填空题9.直接写出结果：（1）____；（2）____．10.若分式有意义，则x的取值范围是______．11.如图，已知是的平分线，要判定，若以“”为依据，还需添加的条件是______．12.小明和小刚约定周末到某体育公园打羽毛球．他们两家到体育公园的距离分别是、，小刚骑自行车的速度是小明步行速度的3倍，若二人同时到达，则小明需提前出发，求小明和小刚两人的速度．设小明的速度是，根据题意可列方程为________．13.如图，在中，，，以BC为边在BC的右侧作等边，点E为BD的中点，点P为CE上一动点，连结AP，BP．当的值最小时，的度数为__________．14.在一个三角形中，如果一个内角的度数是另一个内角的度数的3倍，那么我们称这样的三角形为“三倍角三角形”．（1）在，，则____（填“是”或“不是”）“三倍角三角形”；（2）若是“三倍角三角形”，且，求中最小内角的度数．15.“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，现将数字填入如图所示的“幻方”中，使得每个圆圈上的四个数字的和都等于21，若每个圆圈上的四个数字的平方和分别记、、，且．如果将交点处的三个圆圈填入的数字分别记作、、，则______；______．16.如图，双骄制衣厂在厂房的周围租了三幢楼、、作为职工宿舍，每幢宿舍楼之间均有笔直的公路相连，并且厂房与每幢宿舍楼之间也有笔直公路相连，且．已知厂房到每条公路的距离相等．（1）则点为三条_________的交点（填写：角平分线或中线或高线）；（2）如图设，，，，，，现要用汽车每天接送职工上下班后，返回厂房停放，那么最短路线长是____________．三、解答题17.因式分解：（1）；（2）．18.计算：（1）；（2）先化简，再求值：，其中a从，，1，2中选择一个适当的数．19.解方程：．20.如图．四边形的对角线，相交于点，，，点在上，．（1）求证：；（2）若，求证：．21.如图，在平面直角坐标系中，，，连接．（1）画线段，使得线段与线段关于轴对称，写出、的坐标：，；（2）写出一个点的坐标，使成为等腰三角形，，；（3）已知点在坐标轴上，且满足是等腰三角形，则所有符合条件的点有个．22.如图，在中，，平分．小智在刚学完“角的平分线”这节课后，老师给出了一个富有挑战性的题目，利用所学知识推导出和面积的比值与边和长度的比值之间的关系．经过小组讨论他们的总体思路是控制变量法，即过点作的垂线，垂足为点，再根据角平分线的性质来证明和的高相等，从而得到结论，请根据小智他们的思路完成以下作图与填空：（1）尺规作图：过点作的垂线，交于点（不写作法，保留作图痕迹）．（2）证明：∵平分，∴______________．∴______________．（）∵，，∴．小智他们再进一步研究发现，只要一个三角形被其任意一内角角平分线分为两个三角形，均有此结论．请你依照题意完成下面命题：如果一个三角形满足被其任意一内角角平分线分为两个三角形，那么这两个三角形面积的比值与该角对应的两边长度的比值______________．23.我们约定：关于x的代数式A，B，若不论x为何值，都有（m为常数），则称代数式A，B互为“差值代数式”，m为“差值”例如：，因为，所以A，B互为“差值代数式”，“差值”为2．根据该约定，解答下列问题．（1）判断下列各式是否互为“差值代数式”．若是，则在括号中的划“√”，若不是，则划“×”．①与（）②与（）（2）已知关于x的整式，若M，N互为“差值代数式”，且“差值”为4，求a的值；（3）已知关于x的整式，若S，T互为“差值代数式”，且满足．求b，c，d的值；24.如图，在锐角中，，点D，E分别是边上一动点，连接BE交直线于点F．（1）如图1，若，且，求的度数；（2）如图2，若，且，在平面内将线段绕点C顺时针方向旋转60°得到线段，连接，点N是的中点，连接．在点D，E运动过程中，猜想线段之间存在的数量关系，并证明你的猜想．25.综合与实践：确定平面组合图形的重心位置．平面组合图形由简单平面图形组成，如果能发现平面组合图形的重心位置与被分成的简单平面图形的重心位置之间的关系，就可以确定平面组合图形的重心位置了．为了更加明确地表达位置之间的数量关系，可以建立平面直角坐标系，用坐标来研究重心的位置．（1）任务1：把下面图形分成两部分，确定这个图形的重心位置与它的两部分的重心位置之间的关系．请在下图中设计两种方案，将图形分成两个部分，找到这两部分的重心，并探究该图形的重心点Q与它的两部分重心的关系．（2）任务2建立平面直角坐标系，探究图形的重心位置的横坐标、纵坐标与它的两部分的重心位置的横坐标、，纵坐标、之间有什么数量关系？【阅读材料】引用任务（1）的图形已知如图所示图形各顶点的坐标，试求这个图形的重心坐标．方法一：解：将图形分成两个简单的平面图形如图所示．∴点G的坐标为，点H的坐标为．又正方形EOFD的面积为，正方形CFAB的面积为，∴点Q的横坐标，点Q的纵坐标即点．方法二：解：将图形分成两个简单的平面图形如图所示．∴点的坐标为，点的坐标为．又长方形的面积为，长方形的面积为，∴点的横坐标，点的纵坐标即点，仿照上述方法，解答下列问题：（1）若某平面组合图形由两个简单平面图形组成，设该平面组合图形的重心坐标为，两个简单平面图形的面积分别为，重心坐标分别为．依照上述规律，写出图形的重心位置的横坐标、纵坐标与它的两部分的重心位置的横坐标，纵坐标之间有什么数量关系？（2）下图是一个工件的横截面，请通过推理、计算确定它的重心位置．26.如图1，是等边三角形的边所在直线上一点，是边所在直线上一点，且与不重合，若．则称为点关于等边三角形的反称点，点称为反称中心．在平面直角坐标系中，（1）已知等边三角形的顶点的坐标为，点在第一象限内，反称中心在直线上，反称点在直线上．①如图2，若为边的中点，在图中作出点关于等边三角形的反称点，并直接写出点的坐标：_______；②若，求点关于等边三角形的反称点的坐标；（2）若等边三角形的顶点为，，反称中心在直线上，反称点在直线上，且．请直接写出点关于等边三角形的反称点的横坐标的取值范围：______．（用含的代数式表示）

参考答案一、选择题题号12345678答案AACCADDB二、填空题9.【答案】解：（1），（2），故答案为：①；②

．10.【答案】解：∵分式有意义，∴，即，∴x的取值范围是．故答案为：11.【答案】解：是的平分线，，，当添加时，可根据“”判定故答案为：12.【答案】解：由题意可得，小刚骑自行车的速度是：，∵若二人同时到达，则小明需提前出发，∴，故答案为：．13.【答案】解：连接PD、AD，设AD与CE交于点P1，∵△BCD是等边三角形，点E为BC的中点，∴∠CBD=∠BCD=∠BDC=60°，BC=CD，CE⊥BD，BE=DE，∴CE为线段BD的垂直平分线，∴PD=BP，∴当点P运动时，AP+BP=AP+PD，而AP+PD≥AD，∴当点A、P、D共线时即点P运动到P1时，AP+BP有最小值，连接BP1，则BP1=DP1，∴∠P1BD=∠P1DB，又∠CBD=∠BDC，∴∠CBP1=∠CDP1，∵AC=BC=CD，∴∠CDP1=∠CAD，即延长AC至Q，∵∠ACB=90°，∠BCD=60°，∴∠DCQ=90°﹣60°=30°，又∠DCQ=∠CDP1+∠CAD=2∠CDP1，∴∠CDP1=15°，即∠CBP1=15°，∴当的值最小时，=15°，故答案为：15°．14.【答案】（1）解：∵，∴，∴,∴是“三倍角三角形”．故答案为：是（2）解：∵，∴，设最小的角为,①当时，若，解得，，此时三角形三内角为，最小内角是；②当时，，此时三角形三内角为，最小内角是，③和之间存在3倍关系，设，则，解得，，此时三角形三内角为，最小内角是，综上所述，若是“三倍角三角形”，且，则中最小内角的度数是或．15.【答案】每个圆圈上的四个数字的和都等于，三个圆圈上的数字之和应为，其中的、、这三个数每个都加了两次，，，则有，解得：；每个圆圈上的四个数字的平方和分别记、、，且，，，，，整理得：，，，，，；故答案为：；．16.【答案】解：（1）点到每条公路的距离相等，点是的角平分线的交点．故答案为：角平分线；（2）共有6条线路：，，，，，，在上截取，连接，在和中，，，，在中，推出，同理，，，，最短，故答案为：．三、解答题17.【答案】（1）解：；（2）．18.【答案】（1）解：；（2）解：，∵，，∴，∴当时，原式；当时，原式．19.【答案】解：，变形得：两边同时乘以得：，解得：，当时，，故是原方程的解．20.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质；（1）先证明，结合，，即可得到结论；（2）先证明，结合即可得到结论.（1）证明：∵，∴，即，又∵，，∴；（2）证明：∵，∴，∵，∴，即.21.【答案】（1）解：如图所示，线段即为所求，、；故答案为：；；（2）解：如图所示，使成为等腰三角形，点；故答案为：；（3）解：如图所示，分别以点A、B为圆心，AB长为半径作圆，与坐标轴相交，得到5个交点，过两圆交点画直线与坐标轴相交，得到2个交点，则点C在坐标轴上，且满足ΔABC是等腰三角形的C点有7个．22.【答案】（1）解：如图，即为所求；（2）证明：∵平分，∴，∴（角的平分线上的点到角两边的距离相等），∵，，∴，∴如果一个三角形满足被其任意一内角角平分线分为两个三角形，那么这两个三角形面积的比值与该角对应的两边长度的比值相等，故答案为：；；角的平分线上的点到角两边的距离相等；相等．23.【答案】（1）解：①，所以当时，与互为“差值代数式”，“差值”为1，故答案为：；②，所以与不是“差值代数式”，故答案为：；（2）∵关于x的整式，若M，N互为“差值代数式”，且“差值”为4，∴，∴或，当时，即，所以或；当时，即，所以或；综上所述，或或或；（3）∵关于x的整式，若S，T互为“差值代数式”，∴结果为常数，∴当，且“差值”为，又∵∴∴，，故：，.24.【答案】（1）解：如图1中，在射线上取一点K，使得，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴．（2）结论：．理由：如图2中，∵，∴是等边三角形，∴，∵，∴，∴，∴，∴，如图2中，延长到Q，使得，连接，∵，∴，∴，，∴，∴．延长到，使得，∵，∴是等边三角形，∴，∴，∵，∴，∴，∴是等边三角形，∴．25.【答案】（1）解：依据上述规律可得；（2）解：如图，建立平面直角坐标系，并把该工件的横截面分成两部分，设该工件重心为，正方形的重心为，长方形的重心为，，又正方形的面积为，长方形的面积为，，设该工件重心为．26.【答案】（1）解：①如图，过点作于，，∵，，∴，∵点的坐标为，∴，∵为边的中点，∴，∵，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴点的坐标为；②∵等边三角形的两个顶点为，，∴，∴，∵是等边三角形的边所在直线上一点，