2025北京四中初二（下）统练六数学试题及答案

初中2025北京四中初二（下）统练六数学、选择题1.若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是（）A. B. C. D.2.将直线向上平移个单位后所得图象对应的函数表达式为（）A. B. C. D.3.已知点为第一象限内的点，则一次函数的图象大致是（）A.B.C. D.4.以下列数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（）A.，2， B.1，，2 C.3，6，7 D.6，8，125.某商店销售5种领口大小分别为38，39，40，41，42（单住：cm）的衬衫，一个月内的销量如下表：领口大小/cm3839404142销量/件6419918011047你认为商店最感兴趣的是这组数据的（）A.平均数 B.中位数 C.众数 D.加权平均数6.下列命题正确的是（）．A.一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形B.对角线相等的四边形是矩形C.有一组邻边相等的四边形是菱形D.有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形7.如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，将含30°角的放在第一象限，其中30°角的对边长为1，斜边的端点，分别在轴的正半轴，轴的正半轴上滑动，连接，则线段的长的最大值是（）A.2 B. C. D.8.等腰三角形ABC中，AB=AC，记AB=x，周长为y，定义(x，y)为这个三角形的坐标，如图所示，直线将第一象限划分为4个区域，下面四个结论中：①对于任意等腰三角形ABC，其坐标不可能位于区域Ⅰ中；②对于任意等腰三角形ABC，其坐标可能位于区域Ⅳ；③若三角形ABC是都能腰直角三角形，其坐标位于区域Ⅲ中；④图中点M所对应等腰三角形的底边比点N所对应等腰三角形的底边长所有正确的结论序号是()A.①③ B.①③④ C.②④ D.①②③二、填空题9.已知：在▱ABCD中，∠A+∠C＝160°，则∠B的度数是_____________．10.如图是一张直角三角形的纸片，两直角边，，现将折叠，使点与点重合，折痕为，则的长为_____．11.如图，、分别是的高，为的中点，，，则的周长是__________．12.在平面直角坐标系中，将直线向下平移1个单位长度，得到直线，则______．13.一次函数与在同一平面直角坐标系中的图象如图所示．则不等式的解集为___________．14.甲、乙两名射击爱好者5次射击测试成绩（单位：环）的统计图如图所示．记甲、乙两人这5次测试成绩数据的平均数分别为，方差分别为，则______________________．（填“”，“”或“”）15.若直线与直线关于直线对称，则、值分别为：___________，___________．16.如图，矩形中，与交于点，分别在和上取点、，使得，若，则的最小值为_______．三、解答题17.计算（1）；（2）．18.下面是小明设计的利用已知三角形作一个平行四边形的尺规作图过程．已知：求作：，使得点在边上，且它到两边的距离相等．作法如下：①作的角平分线交于点；②分别以、为圆心，以、为半径画弧，两弧相交于点；连接、，则四边形即为所求作的平行四边形．（1）请在下图中完成作图：（2）判定四边形是平行四边形的依据是___________（3）参考小明的作图，利用下图再设计一种利用已知三角形作一个平行四边形的尺规作图方法（保留作图痕迹，不要求写出作法及证明过程）．已知：求作：，使点是边的中点．（4）用等式表示（3）中的面积与的面积的数量关系为___________．19.已知一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B．（1）求A，B两点的坐标；（2）将一次函数的图象向下平移n个单位得到一次函数，若平移后的函数图象经过点，求n的值；（3）在（2）的条件下，对于自变量x的每一个值，一次函数，和所对应的函数值分别记为，，．若当时，恒成立，请你直接写出m的取值范围．20.如图，在菱形中，对角线，交于点，延长到点，使得.连接.过点作，交于点，连接（1）求证：四边形是矩形；（2）若，，求的长21.勾股定理在数学和许多其他领域中都有广泛的应用，勾股定理是一个非常重要的数学定理，它在几何学、三角学、物理学、工程学等多个领域都有重要的应用．关于勾股定理的证明方法到现在为止有500多种，勾股定理常见的一些证明方法是：几何证明、代数证明、向量证明、复数证明、面积证明等．当两个全等的直角三角形按图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明．（1）以下是利用图1证明勾股定理的过程，请将证明过程补充完整：将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中，求证：证明：连结，过点作边上的高于点，则．，又______________________，______________________．（2）请参照上述证明方法，利用图2完成下面的证明．将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中，求证：．22.某校举办中华传统文化知识大赛，该校七年级共240名学生和八年级共260名学生都参加了比赛．为了解答题情况，进行了抽样调查，从这两个年级各随机抽取20名学生，获取了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a．七、八两个年级学生成绩的频数分布直方图如下（数据分成4组：，，，）：b．七年级学生的成绩在这一组的是：8082848586878787878789c．七、八年级成绩的平均数、中位数、众数如下：平均数中位数众数七年级84.2mn八年级84.687.588根据以上信息，回答下列问题：（1）写出表中m，n的值；（2）估计七、八两个年级成绩在的人数一共为______；（3）把七年级抽取的20名学生的成绩由高到低排列，记排名第5的学生的成绩为，把八年级抽取的20名学生的成绩由高到低排列，记排名第5的学生的成绩为，比较，的大小，并说明理由．23.学习“一次函数”时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质，并积累了一些经验和方法．请运用积累的经验和方法，对函数的图像与性质进行探究，并解决相关问题．（1）列表：…………表格中：__________；（2）在乎面直角坐标系中画出该函数图象；（3）观察图象：①方程有__________个解；②当时，的取值范围是__________；（4）进一步研究：若点，是函数图像上任意两点，若对于，，都有，则的取值范围是__________．24.汉语中的对联呈现对仗之美的不变性，即字面上、词类上声律上相对称．数学中也存对偶原理，即对于一个已知数或代数式或一个已知命题，我们引进一个与之对应的有某种对偶关系的命题，然后一起参与运算，从而使问题变得简单．阅读下列材料，回答问题．材料一：我们将与称为一对“对偶式”．因为，所以构造“对偶式”相乘可以将与中的“去掉．例如：已知，求的值．解：．∵，∴，材料二：如图，点，点，以为斜边作，则，，，所以，反之，可将代数式的值看作点到点的距离．（1）利用材料一，解关于x的方程：，其中；（2）利用材料二，求代数式的最小值．25.在中，，，为线段上一点．在边上截取，过点作交于点，连接．（1）如图1，若平分，求证：；（2）如图2，猜想线段，，之间的数量关系，并证明．选做题26.如图，已知反比例函数和的图象分别为，，A是上一点，过点A作轴，垂足为B，与交于点．若的面积为2，则k的值为______．27.已知关于的一元二次方程．（1）求证：无论为何值时，方程总有两个不相等实数根；（2）若方程的两个根为，，且满足，求的值．28.在平面直角坐标系中，对于点和菱形，给出如下定义：若菱形上存在一点，使点绕点逆时针旋转的对应点在菱形的较短的一条对角线上，则称点为菱形的环绕点．下图为菱形的环绕点的示意图．如图，设菱形的中心为，，点和点都在轴上，且．（1）在点中，菱形的环绕点是___________；（2）若为菱形的环绕点，求的取值范围；（3）设正方形以点为中心，各边均与坐标轴平行，边长为．若正方形上任意一点都是菱形的环绕点，请你直接写出的取值范围．

参考答案一、选择题1.【答案】B【分析】本题考查了二次根式，一元一次不等式，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．根据二次根式被开方数大于等于零列式求解即可．【详解】代数式在实数范围内有意义，，解得，故选B．2.【答案】C【分析】本题考查函数图象的平移，根据图象平移规律“左加右减，上加下减”求解即可，熟知函数图象平移的规律是解题的关键．【详解】由直线向上平移个单位，根据“上加下减，左加右减”规律可得，故选：．3.【答案】A【分析】本题考查了一次函数的图象．一次函数，当时，一次函数图象经过第一、二、三象限；当时，一次函数图象经过第一、三、四象限；当时，一次函数图象经过第一、二、四象限；当时，一次函数图象经过第二、三、四象限是解题的关键．根据为第一象限内的点，可得，进而得到一次函数的图象经过第一、二、三象限，即可求解．【详解】解：∵为第一象限内的点，∴，∴一次函数的图象经过第一、二、三象限，只有A符合题意．故选：A．4.【答案】B【分析】本题考查勾股定理的逆定理，关键是掌握勾股定理的逆定理．如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形，由此即可判断．【详解】解：A、，不能构成直角三角形，故A不符合题意；B、，能构成直角三角形，故B符合题意；C、，不能构成直角三角形，故C不符合题意；D、，不能构成直角三角形，故D不符合题意．故选：B5.【答案】C【分析】根据众数的意义求解可得．【详解】解：商店最感兴趣的是这组数据的众数，众数是这组数据中出现次数最多的，即销量最大的就是众数．所以商店最感兴趣的是这组数据的众数．故选：C．【点睛】本题主要考查众数，解题的关键是掌握众数的概念：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．6.【答案】D【分析】根据平行四边形的判定方法对A进行判断；根据矩形的判定方法对B进行判断；根据菱形的判定方法对C进行判断；根据正方形的判定方法对D进行判断．【详解】A、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，所以A选项为假命题；B、对角线相等的平行四边形是矩形，所以B选项为假命题；

C、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，所以C选项为假命题；

D、有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形，所以D选项为真命题．

故选：D．【点睛】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．熟练掌握特殊四边形的判定定理是关键．7.【答案】A【分析】取AB的中点F，连接CF、OF．首先求出OF=FC=1，根据三角形的三边关系可知：OC≤OF+OC，推出当O、F、C共线时，OC的值最大，最大值为2．【详解】解：取AB的中点F，连接CF、OF．

在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=1，

∴AB=2BC=2，

∵∠AOB=90°，AF=FB，

∴OF=FC=AB=1，

∵OC≤OF+CF，

∴当O、F、C共线时，OC的值最大，最大值为2．

故选：A．【点睛】本题考查直角三角形斜边中线定理、坐标与图形的性质、三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用三角形的三边关系解决最值问题．8.【答案】B【分析】设BC=z，则y=2x+z．根据z＞0，利用不等式的性质得出y＞2x，即可判断①；根据三角形任意两边之和大于第三边，得出2x＞z，利用不等式的性质得到y＜4x，即可判断②；③根据等腰直角三角形的性质、不等式的性质得出3x＜y＜4x，即可判断③；分别求出点M、点N所对应等腰三角形的底边范围，即可判断④．【详解】解：如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，记AB=x，周长为y，设BC=z，则y=2x+z，x＞0，z＞0．

①∵BC=z＞0，

∴y=2x+z＞2x，

∴对于任意等腰三角形ABC，其坐标位于直线y=2x的上方，不可能位于区域Ⅰ中，故结论①正确；

②∵三角形任意两边之和大于第三边，

∴2x＞z，即z＜2x，

∴y=2x+z＜4x，

∴对于任意等腰三角形ABC，其坐标位于直线y=4x的下方，不可能位于区域Ⅳ中，故结论②错误；③若三角形ABC是等腰直角三角形，则z=

∵1＜＜2，AB=x＞0，

∴x＜x＜2x，

∴3x＜2x+x＜4x，

即3x＜y＜4x，

∴若三角形ABC是等腰直角三角形，其坐标位于区域Ⅲ中，故结论③正确；

④由图可知，点M位于区域Ⅲ中，此时3x＜y＜4x，

∴3x＜2x+z＜4x，

∴x＜z＜2x；

点N位于区域Ⅱ中，此时2x＜y＜3x，

∴2x＜2x+z＜3x，

∴0＜z＜x；

∴图中点M所对应等腰三角形的底边比点N所对应等腰三角形的底边长，故结论④正确．

故选：B．【点睛】本题是一次函数综合题，涉及到一次函数的图象与性质，三角形三边关系定理，等腰三角形、等腰直角三角形的性质，不等式的性质，难度适中．理解三角形的坐标的意义，利用数形结合思想是解题的关键．二、填空题9.【答案】100°【分析】根据平行四边形的性质判断即可；【详解】解：如图所示：

∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C，∠A+∠B＝180°，∵∠A+∠C＝160°，∴∠A＝∠C＝80°，∴∠B的度数是：100°．故答案为：100°．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，正确把握平行四边形各角之间的关系是解题关键．．10.【答案】【分析】根据折叠是性质，则，设，则，再根据勾股定理，即可．【详解】由题意得，，设，∵，∴，∵，，∴，∴，∴．故答案为：．【点睛】本题考查勾股定理，折叠的知识，解题的关键是掌握勾股定理的运用，折叠的性质．11.【答案】14【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，先求出，再求的周长．【详解】解：、分别是的高，为的中点，，在中，，在中，，又，的周长．故答案为：14．【点睛】本题主要考查直角三角形斜边上的中线等于斜边一半的性质；由性质定理求得线段长是解题的关键．12.【答案】2【分析】本题考查了一次函数的图象与几何变换．根据“上加下减，左加右减”的规律进行解答即可．【详解】解：将直线向下平移1个单位长度得，∵，∴，解得，故答案为：2．13.【答案】【分析】本题考查了一次函数的图象与性质、用待定系数法求一次函数的解析式，利用待定系数法求出直线的解析式为，根据解析式可以求出当时，，由图象可知，一次函数的随增大而减小，所以当时，．【详解】解：直线经过点和，可得：，解得：，为，当时，，一次函数与的交点坐标是，由图象可知，一次函数的随增大而减小，当时，．故答案为：．14.【答案】①.②.【分析】本题考查了平均数和方差．根据平均数和方差的计算公式分别进行解答即可．【详解】解：，，∴，，∴；．故答案为：；15.【答案】①.②.【分析】本题考查的是一次函数图象与几何变换，待定系数法求函数解析式，先根据题意得出直线与坐标轴的交点是解决问题的关键．先求出一次函数与y轴交点关于直线的对称点，得到b的值，再求出一次函数与y轴交点关于直线的对称点，代入一次函数，求出k的值即可．【详解】解：对于，当时，，∴一次函数与y轴交点为，∵点关于直线的对称点为，把点代入直线，得：，解得：，∴对于，当时，，∴一次函数与y轴交点为，∵关于直线的对称点为，把点代入直线，得：，解得．故答案为：；16.【答案】【分析】本题可先根据矩形性质确定各点坐标相关条件，建立平面直角坐标系，将点、坐标用含变量的式子表示，再依据两点间距离公式列出的表达式，最后通过完全平方公式求其最小值．【详解】解：由矩形，，，∴，∴是等边三角形，∴，∴，根据勾股定理，．以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立坐标系．过作于，则，，，，设（）．∴，，∴．∵，∴，，∴化简得：当时，最小值为，故答案为：．【点睛】本题主要考查矩形性质、平面直角坐标系应用、两点间距离公式及完全平方公式，熟练掌握坐标法表示点位置并运用距离公式转化为函数最值问题是解题关键．三、解答题17.【答案】（1）（2）【分析】本题主要考查了二次根式的加减计算，二次根式的混合计算，熟知二次根式的相关计算法则是解题的关键．（1）先化简二次根式，再根据二次根式的加减计算法则求解即可；（2）先计算二次根式乘除法，再计算加减法即可．【小问1详解】解：；【小问2详解】解：．18.【答案】（1）见解析（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形（3）见解析（4）【分析】本题考查尺规作图、平行四边形的判定定理和性质，熟知相关知识是解题的关键．（1）根据题意作图即可；（2）根据平行四边形的判定定理求解即可；（3）分别以点A、B为圆心、任意长度为半径作弧，分别交于点Q、F，连接交于点D，连接，再分别以B、D为圆心，以、为半径画弧，两弧相交于点E；连接、；（4）根据题意得，再由平行四边形的性质得，即可求解．【小问1详解】解：如图，平行四边形即为所求；由作图方法得，，，∴四边形是平行四边形；【小问2详解】解：根据题意得，，，∴四边形是平行四边形，判定四边形是平行四边形的依据是：两组对边分别相等的四边形是平行四边；【小问3详解】解：如图，平行四边形即为所求，作图方法：分别以点A、B为圆心、大于的长为半径作弧，分别交于点Q、F，连接交于点D，连接，再分别以B、D为圆心，以、为半径画弧，两弧相交于点E；连接、；证明过程如下：由作图方法得，垂直平分，∴点D是边的中点，∵，，∴四边形是平行四边形；【小问4详解】解：由（3）可得，点D是边的中点，∴，∵四边形是平行四边形，∴，∴，即．19.【答案】（1）；（2）（3）或【分析】（1）求出一次函数的图象与x轴交点，与y轴交点即可；（2）根据平移得出，把代入求出n的值即可；（3）根据一次函数的增减性，分或两种情况讨论，分别列出不等式组，求出m的取值范围即可．【小问1详解】解：把代入得：，解得：，∴A点的坐标为，把代入得：，∴B点的坐标为；【小问2详解】解：∵将一次函数的图象向下平移n个单位得到一次函数，∴，把代入得：，解得：，∴平移后的函数解析式为，∴将一次函数的图象向下平移3个单位得到一次函数，∴n的值为3；【小问3详解】解：∵函数与中，随的增大而增大，∴在的范围内，，，∵，∴直线过定点，当直线过点时，，解得：，此时直线解析式为，把代入得：，∴此时直线过点，∵在直线上，∴此时直线与直线交于点，∴当时，在的范围内，恒成立；当直线过点时，，解得：，此时直线解析式为，把代入得：，∴此时直线过点，∵当时，直线，∴此时，即当时，在的范围内，恒成立，∴当时，在的范围内，恒成立；综上分析可知，当或时，在的范围内，恒成立．【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质，一次函数与坐标轴交点的问题，求一次函数解析式，解题的关键是熟练掌握一次函数的增减性，列出不等式．20.【答案】（1）见解析（2）2【分析】（1）由菱形的性质可知，为的中点，根据，可得为的中位线，可得，进而证得四边形是平行四边形，即可证得四边形是矩形；（2）结合（1）可知，可证四边形是平行四边形，可得，由，可证得是等边三角形，进而可得答案．【小问1详解】证明：∵四边形是菱形，∴，，即：，为的中点，∵，即为的中点，∴为的中位线，∴，又∵，∴四边形是平行四边形，又∵，∴四边形是矩形；【小问2详解】解：由（1）可知，，四边形是矩形，∴，则，∵，∴四边形是平行四边形，∴，∵四边形是菱形，∴，∵，∴是等边三角形，∴，∴．【点睛】本题考查菱形的性质，三角形的中位线定理，矩形的判定及性质，等边三角形的判定及性质，熟练掌握相关性质定理是解决问题的关键．21.【答案】（1）见解析（2）见解析【分析】本题考查了勾股定理的证明．（1）根据证明过程结合图形即可解答；（2）仿照（1）的方法，利用五边形面积的不同表示方法解答即可．【小问1详解】证明：连接，过点作边上的高于点，则．∵又∵，∴，∴；【小问2详解】证明：连接，过点B作边上的高，则．∵又∵，∴，∴，∴，∴，∴．22.【答案】（1）86.5，87；（2）126；（3），理由见解析．【分析】本题考查频数分布直方图，平均数，中位数众数的意义和用样本估计总体，准确理解这些概念是解题的关键．（1）根据中位数和众数的概念求解即可；（2）根据样本估计总体的方法求解即可；（3）根据两个年级抽取的20名学生的成绩在的人数判断出，的大小，进而比较即可．【小问1详解】∵一共抽取20名学生∴中位数为第10名学生和第11名学生成绩的平均数∴第10名学生和第11名学生成绩分别为86，87∴；抽取的20名七年级学生的成绩中87出现的次数最多∴众数；【小问2详解】（人）∴估计七、八两个年级成绩在的人数一共为126人；【小问3详解】∵七年级抽取的20名学生的成绩在的有4人∴排名第5的学生的成绩中最高成绩，∴∵八年级抽取的20名学生的成绩在的有6人∴排名第5的学生的成绩∴．23.【答案】（1）（2）图像见解析（3）①；②（4）【分析】本题考查了分段的一次函数，熟练掌握分段的一次函数的图像与性质，对称性和增减性，是解题的关键是．（1）把，代入中，即可求解；（2）根据表格描点画出图像即可；（3）①根据函数图象最低点在x轴下方判断函数与轴有两个交点；②根据函数在r的取值与在的取值即可求解；（4）根据对于，，都有，对称轴，而，关于直线对称，结合增减性即可判定t的取值范围．【小问1详解】解：当时，，∴，故答案为：；【小问2详解】解：画出函数图像如下：【小问3详解】解：①由（2）中的图像可知，函数的图像开口向上，对称轴为，顶点为，∴图象与轴有两个交点，即方程有个解，故答案为：；②由（2）中的图像可知，顶点为，当时，；当时，；∴当时，的取值范围是，故答案为：；【小问4详解】解：在中，令，则，∴函数图象开口向上，顶点为，对称轴为，∴当时，y随x增大而减小，当时，y随x增大而增大，∵对于，，都有，∴，∴，即，∴∵，∴∴，∵，∴故答案为：．24.【答案】（1）（2）【分析】本题考查二次根式的化简求值，两点间的距离公式，解题的关键是读懂题意，掌握二次根式相关的运算法则．（1）求出，得出，，故，再检验可得答案；（2）原式，根据两点之间，线段最短可知，当点点在点，组成的线段上时，的值最小，最小值为，即可得出答案．【小问1详解】解：∵，，∴，∴，，∴，，∴；经检验，是原方程的解，∴；【小问2详解】而可看作到，的