2025北京师达中学初二（上）开学考数学试题及答案

初中2025北京师达中学初二（上）开学考数学2025.09一、选择题（每题2分，共20分）1.下面四个图形中，是轴对称图形的是（）A. B. C. D.2.若一个等腰三角形的两边长分别为，，则三角形的周长为（）A. B. C. D.或3.下列运算结果为的是（）A. B. C. D.4.如图，用三角板作的边上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（）A.B.C. D.5.如图，点D在上，，且，则的度数为（）A. B. C. D.6.若计算的结果中不含项，则常数的值为（）A. B. C. D.7.如图，已知，添加一个条件后，仍然不能判定的是（）A. B. C. D.8.如图，在中，，，，是的垂直平分线，是直线上的任意一点，则的最小值是（）A.3 B.4 C.5 D.69.如图，在中，，与的平分线交于点P，过点P作于点D，记的周长为，，给出下面三个结论：①；②；③上述结论中，所有正确结论的序号是（）A.①② B.①③ C.②③ D.①②③10.如图，在平面直角坐标系中，点，点，在坐标轴上求作一点，使得为等腰三角形，则满足条件的点有（）A.个 B.个 C.个 D.个二、填空题（每题3分，共24分）11.已知，，则___________．12.等腰三角形的一个角等于，则它的顶角的度数是_______．13.比较两个数的大小关系：______．（填“＞”、“＜”或“＝”）14.若，则___________.15.如图，点D为的边上一点，且满足，作于点E，若，，，则的长为_______________．16.如图，点O在内，且到三边的距离相等，，则的度数为__________.17.如图，，平分于点D，交于点C，若，则的长为______．18.在平面直角坐标系中，已知点．点P是线段上一动点，以O，A，P为顶点的三角形的面积记作．（1）___________（填“存在”或“不存在”）一点，使得；（2）将线段向下平移t个单位长度，若存在一点P，使得，则t的最大值是___________．三、解答题（19题16分，20题5分，21题6分，22题4分，23题5分，24题6分，25，26每题7分，共56分）19.计算：（1）；（2）；（3）；（4）．20.先化简，再求值：，其中．21.已知：，，，，求证：（1）；（2）；22.已知：如图中，．求作：点P，使得点P在上，且点P到的距离等于．作法：以点B为圆心，以任意长为半径作弧，分别交射线、于点D、E；分别以点D、E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内部交于点F；作射线交于点P．则点P即为所求．（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面证明．证明：连接、在和中（_______________）（填推理的依据），点P在上作于点Q点P在上（_______________）（_______________）（填推理的依据）．23.如图，点D、E在的边上，，求证：．24.如图，已知，，，点B，D，E在同一条直线上．（1）求证：；（2）写出、、之间的数量关系，并证明；（3）当时，直接写出的度数．25.如图，已知中，，，点D为边上的点，连接，，点D关于的对称点为E，点E关于的对称点为G，线段交于点F，连接．（1）依题意补全图形；（2）求的度数（用含α的式子表示）；（3）用等式表示线段与之间的数量关系，并说明理由．26.在平面直角坐标系中，对于点和长度为的线段给出如下定义：若线段平行于轴（或与轴重合），则将线段向下平移个单位长度，得到线段；若线段平行于轴（或与轴重合），则将线段向右平移个单位长度，得到线段．若点在以为顶点的正方形的边上，则称点是线段的“方田点”．已知点的坐标为，点的坐标为．（1）在这四个点中，___________是线段的“方田点”；（2）点，若线段上存在线段的“方田点”，则的取值范围是___________；（3）点，点是线段的“方田点”，将点向下平移个单位长度，得到点．若线段的“方田点”都是线段的“方田点”，直接写出的取值范围．

参考答案一、选择题（每题2分，共20分）12345678910DCCBDACBDA二、填空题（每题3分，共24分）11.【答案】【分析】本题主要考查同底数幂的乘法和幂的乘方，运用同底数幂的乘法和幂的乘方解答即可．【详解】解：∵，，∴，故答案为：．12.【答案】或【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理，注意：一个锐角可以是等腰三角形的顶角，也可以是底角，一个钝角只能是等腰三角形的顶角，分类讨论是正确解答本题的关键．由于本题中没有明确角是顶角还是底角，因此要分类讨论．【详解】当是底角时，顶角的度数为；当是顶角时，顶角度数即为．故答案为：或．13.【答案】【分析】本题考查幂的乘方，有理数的大小比较，先把两个数变形得出，，再比较大小即可．【详解】解：∵，，∴，∴，故答案为：．14.【答案】【分析】本题主要考查单项式乘以单项式，根据单项式乘以单项式得，由可求出的值，再代入计算即可．【详解】解：，∵，∴，∴，解得，∴，故答案为：．15.【答案】4【分析】本题考查等腰三角形的性质及含角的直角三角形的性质，解题关键是掌握等腰三角形的性质及含角的直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半．利用等腰三角形的性质及含角的直角三角形的性质即可求解．【详解】解：，，，，，，，，故答案为：4．16.【答案】【分析】本题考查角平分线的性质与三角形内角和的计算，熟练掌握角平分线的判定和三角形内角和的计算是解题的关键，根据题意可得，，再利用三角形内角和即可得到答案．【详解】解：∵点O在内，且到三边的距离相等，即点O到和的距离相等，点O到和的距离相等，∴平分，平分，∴，，∵，∴，∵，∴，．故答案为：．17.【答案】6【分析】根据角平分线的定义和平行线的性质即可得到结论．【详解】解：过P作于E，∵，平分∴，∴，∵交于点C，∴，，∴∴，∴，∴故答案为：6．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，平行线的性质的应用，注意：角平分线上的点到角的两边距离相等．18.【答案】（1）不存在；（2）5．【分析】本题主要考查平面直角坐标系中三角形面积的计算，点到直线距离，平移变换等知识点，掌握这些知识点和数形结合是解题的关键．（1）以为底计算三角形面积，即可求得P点到是距离，根据题意和图即可判断；（2）根据平移性质和图象数形结合即可．【小问1详解】解：设P点到的距离为h，则，由题意知，所以，又因为点P是线段上一动点，h不可能为1，所以不存在一点，使得；故答案为：不存在；【小问2详解】由（1）知，只要,则，又因为，所以由图可知，将线段向下平移t个单位长度，若存在一点P，使得，则t的最大值是5．故答案为：5．三、解答题（19题16分，20题5分，21题6分，22题4分，23题5分，24题6分，25，26每题7分，共56分）19.【答案】（1）（2）（3）（4）【分析】本题主要考查整式的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．（1）原式先分别进行同底数幂的乘法和积的乘方运算，再合并同类项即可；（2）原式先计算幂的乘方，再计算同底数幂的乘法即可；（3）原式先计算积的乘方和幂的乘方，再进行单项式乘以单项式即可得出结论；（4）原式先分别进行单项式乘法和积的乘方运算，再合并同类项即可．【小问1详解】解：；【小问2详解】解：；【小问3详解】解：；【小问4详解】解：．20.【答案】，48【分析】根据单项式乘多项式、积的乘方法则以及合并同类项法则把原式化简，根据非负数的性质分别求出a、b的值，代入计算，得到答案．【详解】解：＝＝，∵，，，∴a﹣2＝0，b+1＝0，解得：a＝2，b＝﹣1，∴原式＝﹣6××（﹣1）＝48．【点睛】本题考查的是整式的化简求值，掌握整式的混合运算法则是解题的关键．21.【答案】（1）见解析（2）见解析【分析】本题主要考查同底数幂的乘法和幂的乘方运算，熟练掌握相关运算法则是解答本题的关键．（1）根据同底数幂的乘法运算法则得，又，故可得，从而可得；（2）根据同底数幂的乘法运算法则得，由幂的乘方得，故可得，从而可得．【小问1详解】解：∵，，，∴，∴∴；【小问2详解】解：∵，，，∴，∴,∴．22.【答案】（1）图见解析；（2）（或三边对应相等的两个三角形全等），，角平分线上的点到角两边的距离相等【分析】本题考查作图-复杂作图、角平分线的性质定理、全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本作图，灵活运用所学知识解决问题．（1）按照题目中的已知作法作图即可；（2）先根据得出，根据全等三角形的对应边相等得出，再根据角平分线的性质即可得出答案．【小问1详解】解：如图所示：【小问2详解】证明：连接、在和中（三边对应相等的两个三角形全等）（填推理的依据），点P在上作于点Q点P在上（）（角平分线上的点到角两边的距离相等）（填推理的依据）．故答案为：（或三边对应相等的两个三角形全等），，角平分线上的点到角两边的距离相等．23.【答案】证明见解析【分析】本题主要考查了三线合一定理，过点A作C于P，利用三线合一得到P为及的中点，再根据线段之间的关系即可得证．【详解】证明：如图，过点A作C于P．∵∴；∵，∴，∴，∴．24.【答案】（1）见详解（2），证明见详解（3）【分析】（1）由题意易得，然后问题可求证；（2）由（1）可得，然后根据三角形外角的性质可求证；（3）由平行线的性质可得，则有，然后根据三角形内角和可进行求解．【小问1详解】证明：∵，∴，∴，在和中，，∴；【小问2详解】解：，证明如下：∵，∴，∵，∴；【小问3详解】解：∵，∴，∵，∴，，∵，∴，∴，∴，∵，∴，即．【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定、平行线的性质及等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定、平行线的性质及等腰三角形的性质是解题的关键．25.【答案】（1）见解析（2）（3），理由见解析【分析】此题考查的是作点关于直线的对称点、轴对称的性质，含30度角的直角三角形的性质，掌握轴对称的性质是解决此题的关键．根据题意补全图形即可．根据轴对称的性质可得，进而可得，再根据三角形内角和定理即可求解；设交于点H，根据，得到求出然后根据E，G关于AC对称即可求解．【小问1详解】解：如图，【小问2详解】由轴对称性可知，，∴，∴，∴【小问3详解】，理由：设交于点H，∵，∴又∵点E，G关于对称，∴，∴．26.【答案】（1），（2）（3）或【分析】本题考查了新定义、坐标与图形变化—平移、一元一次方程的应用，理解线段的“方田点”的定义，运用数形结合思想是解题的关键．（1）由题意得，，轴，将线段向下平移2个单位长度得到线段，在坐标系中画出图形，再根据线段的“方田点”的定义即可得出结论；（2）结合点和点的坐标可得，点在直线上，点在直线上，根据线段上存在线段的“方田点”，得到线段与正方形有交点，再结合图形对线段的位置进行分析即可求解；（3）由题意得，，轴，将线段向右平移个单位长度得到线段；再根据题意分析出线段的“方田点”所在的区域，记此时的区域为区域，根据线段的“方田点”都是线段的“方田点”，得到正方形的边都落在区域，再结合图形对正方形的位置进行分析即可求解．【小问1详解】解：∵点的坐标为，点的坐标为，∴，轴，由题意得，将线段向下平移2个单位长度得到线段，∴，，画图如下：由图可知，点和是线段的“方田点”；故答案为：，；【小问2详解】解：∵点，∴点在直线上，点在直线上，∴线段介于直线和直线之间，当点恰好落在点上，则，解得，当点恰好落在点上，则，解得，当点恰好落在线段上，则，当点恰好落在线段上，则，∴由图可得，当时，线段与正方形有交点，∴若线段上存在线段的“方田点”，则的取值范围是；故答案为：；【小问3详解】解：∵点，∴，轴，由题意得，将线段向右平移个单位长度得到线段，∴，，∴线段的“方田点”在正方形的边上，∵点是线段的“方田点”，∴点在正方形的边上，将正方形向下平移3个单位长度，得到正方形，∵点向下平移个单位长度，得到点，∴点落在正方形的边上，将正方形和正