2025北京仁和中学初二3月月考数学试题及答案

初中2025北京仁和中学初二3月月考数学一、选择题（每题2分，共20分）1.下列曲线中，表示y是x的函数的是（）A.B.C. D.2.在平面直角坐标系中，点到原点的距离是（）A.1 B.2 C. D.3.将直线向下平移1个单位得到的直线是（）A. B. C. D.4.关于函数，下列结论正确的是（）A.图象必经过点B.图象经过第一、二、三象限C.当时，D.随的增大而增大5.在中，若，则的度数是（）A. B. C. D.6.两条直线与在同一平面直角坐标系中的图像可能是（）A. B. C. D.7.为了研究特殊的四边形，老师制作了一个教具（如图1）：用钉子将四根木条钉成一个平行四边形框架，并在A与C，B与D两点之间分别用一根橡皮筋拉直固定，右手握住木条，用左手向右推动框架至（如图2），观察这个变化过程和所得到的四边形，下列说法正确的是（）①四边形由平行四边形变为矩形；②B、D两点之间的距离不变；③四边形的面积不变；④四边形的周长不变A.①② B.①④ C.①②④ D.①③④8.小亮饭后散步，从家中走20分钟到一个离家900米的报亭看10分钟的报纸后，用15分钟返回家中，下列图形中表示小亮离家的时间与离家的距离之间关系的是（）A. B. C. D.9.在平面直角坐标系中，已知点．若直线与线段有交点，则m的值不可能是（）A.1 B. C. D.10.如图，在平面直角坐标系中，点，，点是轴上的一个动点．结合图形得出式子的最小值是（）A.3 B. C.5 D.二、填空题（每题2分，共20分）11.函数中，自变量的取值范围是_____．12.已知是正比例函数，则m＝_____．13.点关于轴对称点的坐标是_______________.14.若点，都在直线上，则m______n（填“”“”或“”）．15.如图，在中，，是斜边上的中线，已知，_______________，________________.16.如图，▱ABCD中，AB=3，BC=5，AE平分∠BAD交BC于点E，则CE的长为________．17.如图，两个一次函数图象的交点坐标为，则关于，的方程组的解为_____________.18.一次函数y=kx+b的图象如图所示，当y＞0时，x的取值范围是_____．19.如图，矩形的两条对角线相交于点.若，，则边的长为_______________.20.如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB、CD交于点E、F，连结BF交AC于点M，连结DE、BO．若∠COB＝60°，FO＝FC，则下列结论：①FB垂直平分OC；②△EOB≌△CMB；③DE＝EF；④．其中正确结论的个数是（填写序号）________．三、解答题（21-23题每题4分，24题3分，25-28每题5分，29-31每题6分，32题7分）21.已知一次函数的图象平行于直线，且经过点，求此函数的表达式.22.已知一次函数的图象过点，和.（1）求此函数的解析式；（2）求此函数与轴，轴的交点坐标；（3）求此一次函数与坐标轴所围成的面积.23.某数学兴趣小组研究某地区气温与海拔的关系．下表记录的是气温随海拔变化的情况：海拔x/km…11.523.5…气温y/℃……小组研究发现，气温y与海拔x满足一次函数关系：．根据小组的研究发现，回答下列问题．（1）求出k，b的值；（2）求表格中m，n的值；（3）当海拔x满足时，求气温y的变化范围．24.下面是小明设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程．已知：如图1，直线l及直线l外一点A．求作：直线AD，使得AD//l．作法：如图2，①在直线l上任取两点B，C，连接AB；②分别以点A，C为圆心，线段BC，AB长为半径画弧，两弧在直线l上方相交于点D；③作直线AD．直线AD就是所求作的直线．根据小明设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：连接CD．∵AB＝________，BC＝________，∴四边形ABCD为平行四边形（_________）（填推理的依据）．∴AD//l．25.如图，平行四边形的对角线、交于点，点、在上，且求证：．26.已知直线，求为何值时与坐标轴所围成的三角形的面积等于1．27.如图，每个小正方形的边长都是1，，，，均在网格的格点上．（1）判断是否为直角：______．（填写“是”或“不是”）（2）直接写出四边形的面积为______．（3）找到格点，并画出四边形（一个即可），使得其面积与四边形面积相等．28.在北京，绿道骑行已经成为市民的一种低碳生活新风尚．一辆单车，三五好友，或骑行于大运河畔，或穿梭至二环城市绿道，在蓝天碧水、绿树成荫中享受骑行魅力．城市骑行，不仅可以锻炼身体，享受户外，还可以发现更多城市美好．甲、乙两人相约从绿道某地出发同向骑行，甲骑行的速度是，乙骑行的路程与骑行的时间之间的关系如图所示．（1）直接写出当和时，s与t之间的函数表达式；（2）通过计算说明，何时乙骑行在甲的前面？29.如图，在中，于点E，延长至点F，使得，连接，，与相交于点G．（1）求证：四边形是矩形；（2）连接，若，，的面积为20，求线段的长．30.在平面直角坐标系中，一次函数的图像由函数的图像平移得到，且经过点．（1）求这个一次函数的解析式；（2）当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值，直接写出的取值范围．31.探究函数的图像与性质．小天根据学习一次函数的经验，对函数的图像与性质进行了探究．下面是小天的探究过程，请补充完整：第一步：的自变量x的取值范围是全体实数；第二步：x与y的几组对应值：x…0123…y…21012…（1）第三步：建立平面直角坐标系，描出表格中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图像；（2）第四步：观察的函数图像，得出了如下几条结论：①当________时，函数有最小值为_______________；②当________时（填写自变量取值范围），y随x的增大而增大；当________时（填写自变量取值范围），y随x的增大而减少；③图像关于过点________且垂直于x轴的直线对称；④若直线与的图像只有一个交点，则k的取值范围是________．32.对于平面直角坐标系中的图形M和点P（点P在M内部或M上），给出如下定义：如果图形M上存在点Q，使得，那么称点P为图形M的和谐点．已知点，，，．（1）在点，，中，矩形的和谐点是_________________；（2）如果直线上存在矩形的和谐点P，求出点P的横坐标t的取值范围；（3）如果直线上存在矩形的和谐点E，F，使得线段上的所有点（含端点）都是矩形的和谐点，且，求出b的取值范围．

参考答案一、选择题（每题2分，共20分）1.【答案】D【分析】根据函数的定义解答即可．【详解】解：A、不能表示y是x的函数，故此选项不合题意；

B、不能表示y是x的函数，故此选项不合题意；

C、不能表示y是x的函数，故此选项不合题意；

D、能表示y是x的函数，故此选项符合题意；

故选：D．【点睛】此题主要考查了函数概念，关键是掌握在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量．2.【答案】D【分析】直接利用勾股定理求解即可．【详解】解：在平面直角坐标系中，点到原点的距离是故选D【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，掌握“由两点的坐标求解两点之间的距离”是解本题的关键．3.【答案】D【分析】平移时的值不变，只有的值发生变化，而值变化的规律是“上加下减”．【详解】解：由“上加下减”的原则可知，直线向下平移1个单位，得到直线是：．故选：D．【点睛】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减”的原则是解答此题的关键．4.【答案】C【分析】根据一次函数的性质，依次分析即可．【详解】A.x=−2时，y=−2×（−2）+1=5，故图象必经过(−2，5)，故错误，B.k=−2<0，b=1>0，则图象经过第一、二、四象限，故错误，C.当x>时，y<0，故正确；D.k<0，则y随x的增大而减小，故错误，故选C．【点睛】本题考查了一次函数的图象以及一次函数的性质，解题的关键是逐条分析四个选项．本题属于基础题，难度不大，解决该题时，熟悉一次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数图象与系数的关系是解题的关键．5.【答案】A【分析】本题考查了平行四边形的性质，根据对角相等得出，再结合平行线的性质，即可作答．【详解】解：∵四边形是平行四边形，∴，，∴∵，∴，∴．故选：A．6.【答案】A【分析】根据一次函数的性质可依次作判断．此题主要考查了一次函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题．一次函数的图象有四种情况：①当，，函数的图象经过第一、二、三象限；②当，，函数的图象经过第一、三、四象限；③当，时，函数的图象经过第一、二、四象限；④当，时，函数的图象经过第一、二、四象限．【详解】解：、由知：，，所以过二、四象限，交轴正半轴，符合的图象，故此选项正确；B、由知：，，所以过一、三象限，交轴正半轴，不符合的图象，故此选项错误；C、由知：，，所以过二、四象限，交轴正半轴，不符合的图象，故此选项错误；D、由知：，，所以过一、三象限，交轴正半轴，不符合的图象，故此选项错误；故选：．7.【答案】B【详解】根据在框架变动过程中，四边形的长度不变，边上的高、、的长度不断变化解答即可．【解答】解：①由有一个角是直角的四边形是矩形可知此时四边形由平行四边形变为矩形，故①正确；②B、D两点之间的距离不断变化，故②错误；③由底不变，高不断变化可知，四边形的面积不断变化，故③错误；④由四边形的长度不变可知四边形的周长不变，故④正确．所以正确的说法有①④．故选：B．【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，平行四边形的性质，弄清图形变化后的变量和不变量是解答此题的关键．8.【答案】B【分析】观察直角坐标系中横轴和纵轴表示的量，根据题意，前20分钟，随时间的增加，路程也增加，看10分钟报纸期间，路程不变，15分钟返回家里，时间增加，路程在减小，速度比之前更快．【详解】解：A.从家中走20分钟到离家900米的报亭看了20分钟的报纸后，用10分钟返回家里，故本选项错误；B.从家中走20分钟到离家900米的报亭看了10分钟的报纸后，用15分钟返回家里，故本选项正确；C.从家中走20分钟到离甲900米的报亭看了0分钟的报纸后，用15分钟返回家里，故本选项错误；D.从家中走20分钟到离家900米的报亭看了0分钟的报纸后，用20分钟返回家里，故本选项错误．故选：B．【点睛】本题考查利用函数的图象解决实际问题．正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．9.【答案】B【分析】分别求出直线恰好经过和时m的值，进而结合函数图象求出m的取值范围，由此即可得到答案．【详解】解：当直线恰好经过时，则，解得，当直线恰好经过时，则，∴当直线与线段有交点时，或，∴四个选项中只有B选项不满足上述条件，故选B．【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，正确求出m的取值范围是解题的关键．10.【答案】C【分析】根据两点间的距离公式可知，代数式的最小值为的最小值，利用将军饮马问题，确定点关于轴对称的点的坐标，求出该点与点之间的距离，即为所求．【详解】解：∵，，，∴，设点关于轴的对称点为，则：，∵，∴的最小值为，即：；故选C．【点睛】本题考查求代数式的最小值．将求代数式的最小值转化为求线段的和最小问题，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键．二、填空题（每题2分，共20分）11.【答案】【分析】根据被开方式是非负数列式求解即可.【详解】解：依题意，得，解得：，故答案为．【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，函数有意义时字母的取值范围一般从几个方面考虑：①当函数解析式是整式时，字母可取全体实数；②当函数解析式是分式时，考虑分式的分母不能为0；③当函数解析式是二次根式时，被开方数为非负数．④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义．12.【答案】3【分析】根据正比例函数的定义可得．【详解】由正比例函数的定义可得：m+3≠0，m2-8=1，则m=3．故填3．【点睛】解题关键是掌握正比例函数的定义条件，正比例函数y=kx的定义条件是：k为常数且k≠0，自变量次数为1．13.【答案】【分析】本题考查了坐标与图形变化—轴对称；根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答．【详解】解：点关于x轴的对称点的坐标是．故答案为：．14.【答案】【分析】根据一次函数的性质可进行求解．【详解】解：由一次函数可知：，∴y随x的增大而减小，∵点，都在直线上，∴；故答案为．【点睛】本题主要考查一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．15.【答案】①.②.【分析】根据直角三角形斜边上中线的性质可以得出，则利用三角形内角和的性质来求的度数，即可作答．本题考查了斜边上的中线等于斜边的一半，三角形内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．【详解】解：∵在中，，是斜边上的中线，∴，∴，∴，∴,故答案为：．16.【答案】2【分析】由平行四边形的性质得出BC=AD=5，AD∥BC，得出∠DAE=∠BEA，证出∠BEA=∠BAE，得出BE=AB，即可得出CE的长．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD=BC=5，AD∥BC，

∴∠DAE=∠BEA，

∵AE平分∠BAD，

∴∠BAE=∠DAE，

∴∠BEA=∠BAE，

∴BE=AB=3，

∴CE=BC-BE=5-3=2，

故答案为：2．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定；熟练掌握平行四边形的性质，证出BE=AB是解决问题的关键．17.【答案】【分析】根据方程组的解与函数交点坐标的关系求解．本题考查了一次函数与方程组的关系，正确理解这种关系是解题的关键．【详解】解：依题意，方程组的解即为这两个一次函数图象的交点坐标，∴关于，的方程组的解为，故答案为：．18.【答案】【分析】【详解】解：根据图象和数据可知，当y>0即图象在x轴的上方，．

故答案为．19.【答案】【分析】本题考查了30度所对的直角边是斜边的一半，勾股定理，矩形的性质，先根据矩形的性质得，再运用30度所对的直角边是斜边的一半得出，结合勾股定理列式计算，即可作答．【详解】解：∵四边形是矩形，∴，∵，∴，∴，∴，故答案为：．20.【答案】①③④【分析】①用线段垂直平分线的性质的逆定理可得结论；②过O作OH⊥BE于H，证明△OHB≌△CMB，根据△OEB包含了△OHB，可得△EOB≌△CMB是不成立的；③先证△BEF是等边三角形得出BF=EF，再证▱DEBF得出DE=BF，推出DE=EF；④△AOE和△BEO属于等高的两个三角形，其面积比就等于两底的比，即S△AOE：S△BOE=AE：BE，再由直角三角形30°角所对的直角边是斜边的一半，推出S△BCM=S△BCF=S△BOE即可求解．【详解】解：①∵矩形ABCD中，O为AC中点，∴OB=OC，∵∠COB=60°，∴△OBC是等边三角形，∴OB=BC，∵FO=FC，∴FB垂直平分OC，故①正确；②∵FB垂直平分OC，△OBC是等边三角形，∴∠CBM＝∠OBM＝30°，∠CMB＝90°，又∠OBE＝90°−∠CBO＝30°，

∴∠CBM＝∠OBE，

过O作OH⊥BE于H，

∴∠OHB＝∠CMB＝90°，在△OHB与△CMB中，，∴△OHB≌△CMB（AAS），∵△OEB包含了△OHB，∴△EOB≌△CMB是不成立的，∴②是错误的；③连接DO，由O为AC的中点知D、O、B三点在同一直线上，在△FCB和△FOB中，，∴△FCB≌△FOB（SSS），∴∠FCB=∠FOB=90°，∴∠EOB=180°-∠FOB=90°=∠FCB，∵∠CBF=∠OBE=30°，在△EBO和△FBC中，，∴△EBO≌△FBC（ASA），∴EB=FB，∴△OEB≌△OFB≌△CFB，∴∠EBO=∠FBO=∠CBF=30°，BF=BE，∴∠FEB=∠EFB=∠EBF=60°，∴△BEF是等边三角形，∴BF=EF，∵OD=OB且OF=OE，∴四边形DEBF是平行四边形，∴DE=BF，∴DE=EF，故③正确；④在直角△BOE中，∵∠EBO=30°，∴BE=2OE，∵OA=OB，∴∠OAE=∠OBE=30°，∵∠OEB=∠OAE+∠AOE=60°，∴∠AOE=30°，∴∠OAE=∠AOE=30°，∴AE=OE，∴BE=2AE，∴S△AOE：S△BOE=1：2，又∵，∵DC∥AB，∴∠FCM=∠CAE=30°，，∴FM∶BM=1∶3，∴S△BCM=S△BCF=S△BOE，∴S△AOE：S△BCM=2∶3，故④正确；综上，正确的结论有①③④，故答案为：①③④．【点睛】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质等知识，涉及内容虽多，但不复杂，解题关键是熟记并灵活运用相关的性质．三、解答题（21-23题每题4分，24题3分，25-28每题5分，29-31每题6分，32题7分）21.【答案】【分析】本题考查了求一次函数的解析式，平移的性质，根据一次函数的图象平行于直线，设该一次函数的解析式为，再把代入计算，即可作答．【详解】解：∵一次函数的图象平行于直线，∴设该一次函数的解析式为，∵该一次函数经过点，∴把代入，得，解得，∴．22.【答案】（1）（2）此函数与轴，轴的交点坐标分别为，；（3）4【分析】（1）求此一次函数表达式，先设一次函数表达式，再根据交点坐标带入计算即可得到函数解析式；（2）求此一次函数与x轴、y轴的交点坐标，需分别假设时，和时相对应的点坐标，通过计算就可以得出一次函数与x轴、y轴的交点坐标；（3）求此一次函数的图象与两坐标轴所围成的三角形的面积，利用函数与x轴，y轴的交点坐标结合三角形面积公式即可得到结果．本题考查求一次函数的解析式，一次函数与坐标轴的交点问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键．【小问1详解】解：设函数解析式为，把点和点代入，得，解得，∴一次函数解析式为；【小问2详解】解：∵当时，，则此函数与轴的交点坐标为；当时，，解得则此函数与轴的交点坐标为；【小问3详解】解：∵此函数与轴，轴的交点坐标分别为，；∴此一次函数与坐标轴所围成的面积．23.【答案】（1）（2），（3）【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）将和分别代入求解即可；（3）首先根据一次函数的性质得到y随x的增大而减小，然后分别求出和时y的值，进而求解即可．【小问1详解】将，代入得，，解得∴；【小问2详解】当时，即，解得∴；当时，即∴；【小问3详解】∵，∴y随x的增大而减小∴当时，；当时，；∴气温y的变化范围为．【点睛】此题考查了一次函数的实际应用，待定系数法求解一次函数解析式，一次函数的性质，解题的关键是掌握一次函数的有关性质．24.【答案】（1）见解析；（2），，两组对边分别相等的四边形是平行四边形【分析】（1）根据作法画出图形即可；（2）根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”进行证明即可．【详解】（1）如图所示，（2）证明：连接CD．∵AB＝CD，BC＝AD，∴四边形ABCD为平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）（填推理的依据）．∴AD//l．故答案为：，，两组对边分别相等的四边形是平行四边形．【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行四边形的判定．25.【答案】见解析【分析】由平行四边形的性质得出OB=OD，由SAS证明△OBE≌△ODF，即可得出BE=DF．【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB=OD，在△OBE和△ODF中，，∴△OBE≌△ODF（SAS），∴BE=DF．【点睛】本题主要考查的是全等三角形的性质和判定、平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．26.【答案】【分析】求出直线与坐标轴的交点坐标即可解决问题，本题考查一次函数的应用、三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于常考题型．【详解】解：∵∴令时，则，解得；∴令时，则，即直线与坐标轴的交点为和，依题意，，∴，∴当时，直线与坐标轴所围成的三角形的面积等于1．27.【答案】（1）不是（2）14（3）见解析（答案不唯一）【分析】（1）先利用勾股定理分别求出的长，再利用勾股定理的逆定理进行判断即可得；（2）利用分割法求解即可得；（3）先利用平行四边形的性质找到格点，再利用等高模型画出图形即可．【小问1详解】解：，，，，不是直角，故答案为：不是．【小问2详解】解：四边形的面积为，故答案为：14．【小问3详解】解：如图，点和四边形即为所求．【点睛】本题考查了勾股定理与网格问题、勾股定理的逆定理、平行四边形的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于常考题型．28.【答案】（1）（2）之后到骑行结束，乙骑行在甲的前面【分析】（1）用待定系数法求出函数解析式即可；（2）根据题意求出两人相遇的时间，即可得出答案．【小问1详解】解：设时，，把代入得：，解得：，∴此时；设时，，把和代入得：，解得：，∴此时；综上分析可知，．【小问2详解】解：，∴，∵同时出发，开始时乙的速度小于甲的速度，甲在乙的前面，后两人相遇，∴之后到骑行结束，乙骑行在甲的前面．【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，求出一次函数解析式，解题的关键是熟练掌握待定系数法求出函数解析式，列出方程．29.【答案】（1）见解析（2）【分析】（1）证明，得出，证明，得出四边形为平行四边形，根据，得出四边形为矩形；（2）根据平行线的面积公式求出，证明，根据勾股定理求出即可．【小问1详解】证明：∵四边形为平行四边形，∴，，，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴四边形为平行四边形，∵，∴，∴四边形为矩形；【小问2详解】解：∵，的面积为20，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴．【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定，勾股定理，平行线的性质，三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定和性质．30.【答案】（1）（2）【分析】（1）根据平移得到，再将，代入解析式即可得解；（2）根据题意，可得时直线在直线的下方，利用图像法求出的取值范围即可．【小问1详解】解：∵一次函数的图像由函数的图像平移得到，∴．∵一次函数的图像经过点，∴．∴．∴这个一次函数的解析式为．【小问2详解】解：由题意，得：时直线在直线的下方，如图：当直线在之间时，满足题意：当与平行时，，当过点时：，∴当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值．【点睛】本题考查一次函数的综合应用．熟练掌握一次函数图像的平移，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键．31.【答案】（1）见解析（2）①1；0；②；；