2024年高中京师数学建模竞赛压轴题解析及完整答案

2024年高中京师数学建模竞赛压轴题解析及完整答案

一、单项选择题（每题2分，共20分）1.在建立某市共享单车投放量模型时，若把“早晚高峰时段地铁口客流密度”作为关键自变量，则其量纲应归为A.人次·公里⁻² B.人次·小时⁻¹ C.辆·公里⁻² D.小时⁻¹2.用Logistic模型拟合谣言传播数据时，若发现实际曲线在后期出现“二次抬头”，最合理的修正办法是A.提高环境容纳量K B.引入二次传播率β₂ C.降低初始值x₀ D.改用指数模型3.对2020—2023年某省月度CPI建立ARIMA(1,1,1)模型，若MA系数θ₁估计值为–0.84且通过显著性检验，则说明A.序列存在强季节性 B.当期扰动对下月CPI有反向修正C.序列需二次差分 D.自回归部分过拟合4.在“双减”政策评估模型中，设置处理组与对照组时，最需优先检验的假设是A.线性 B.正态性 C.平行趋势 D.异方差5.用DEA方法评价20所高中的办学效率时，若某校规模报酬递减，则其A.投入冗余为零 B.处于生产前沿面 C.应缩小办学规模 D.技术效率为16.对2024年春运客流做蒙特卡洛仿真时，若把“高速拥堵概率”设为0.3，则该参数应置于A.决策变量层 B.随机变量层 C.目标函数层 D.约束条件层7.在建立“高考选科”预测模型时，若采用多层Logit，则“学校层面随机截距”主要捕捉A.教师学历结构 B.区域经济差异 C.班级同伴效应 D.个体家庭背景8.若用灰色关联度分析影响PM2.5的因子，对原始数据作初值化处理是为了A.消除量纲 B.提高光滑度 C.降低噪声 D.增强非线性9.在“校园食堂满意度”结构方程模型中，若CFI=0.91，RMSEA=0.09，则A.模型需修正 B.拟合优度极佳 C.应删除所有潜变量 D.样本量不足10.用Floyd算法求解“应急疏散最短路径”时，时间复杂度为A.O(n²) B.O(n³) C.O(nlogn) D.O(n!)二、填空题（每题2分，共20分）11.若某市2023年GDP为1.2万亿元，年能耗0.35亿tce，则单位GDP能耗为______吨标准煤/万元。12.在Leslie人口预测矩阵中，若f₁₅=0.92，表示15岁妇女生育______个女孩。13.用熵权法确定指标权重时，若某指标熵值为0.98，则其权重接近于______。14.对某传染病采用SIR模型，若R₀=3.2，则理论上免疫阈值需达到______%才能阻断传播。15.在“无人机配送”VRP模型中，若车辆载重约束写成∑ᵢ≤Q，则Q的量纲为______。16.若某校近5年一本率年均增长2.1个百分点，按线性外推，第6年一本率将增加______个百分点。17.用BP神经网络做负荷预测时，若隐含层节点数设为输入层2倍，则当输入层7节点时，隐含层为______节点。18.对“双11”销售额做季节调整，若12个月移动平均位于第t期，则其中心对应______期。19.在“碳交易”博弈模型中，若企业边际减排成本函数C′(e)=80–4e，则当碳价为60元/吨时，企业最优减排量为______吨。20.用TOPSIS法评价5座城市，若某市与正理想解距离0.32，与负理想解距离0.48，则其相对接近度为______（保留两位小数）。三、判断题（每题2分，共20分）21.在系统动力学模型中，水平变量的量纲一定包含“时间”的一次幂。22.若线性回归的VIF值大于10，则一定存在严重多重共线性。23.用k-means聚类时，欧氏距离对异常值不敏感。24.在“高考加分”公平性模型中，采用基尼系数评价，值越接近1越公平。25.对同一数据，灰色预测GM(1,1)的后期预测误差一定小于线性回归。26.若某图的最小生成树唯一，则图中任意两条边权值必不相等。27.在“宿舍分配”多目标规划模型中，Pareto前沿上的解无法进一步改进任一目标而不损害其他目标。28.用AHP构造成对比较矩阵时，若CR<0.1，则判断矩阵具有满意一致性。29.对“校园贷”风险做Logit回归时，若样本存在选择偏差，会导致参数估计不一致。30.在“双碳”目标优化模型中，若约束条件写成线性，则目标函数也必须线性才能保证全局最优。四、简答题（每题5分，共20分）31.简述在“城市共享单车调度”问题中，如何构建以最小化调度成本与满足需求缺口为目标的多目标混合整数规划模型，并说明关键变量与约束。32.说明在“高考选科”预测中，采用多层Logit相比单层Logit能更好地解决哪些内生性问题，并给出检验学校层面随机效应显著性的方法。33.阐述在“校园食品安全”预警模型中，如何利用控制图原理对食堂每日留样菌落总数进行实时监控，并给出上下限计算公式。34.概述在“双减”政策效果评估中，如何利用合成控制法构造“反事实”城市，并说明权重估计的核心优化目标。五、讨论题（每题5分，共20分）35.试讨论在“AI辅助阅卷”推广背景下，如何设计一个兼顾公平性与准确性的动态贝叶斯网络模型，以识别并纠正可能的系统评分偏差，需考虑哪些节点与边。36.针对“碳排放交易”市场可能出现的串谋行为，请构建一个基于博弈论的监督模型，讨论监管方与企业间的混合策略纳什均衡，并分析罚款额度与稽查概率的关系。37.结合“数字鸿沟”现象，讨论在多源数据融合的学生成绩预测模型中，如何引入公平性约束，使得模型对弱势群体不具有显著歧视，并给出量化指标。38.在“大型活动应急疏散”仿真中，若考虑行人恐慌心理传播，请讨论如何基于元胞自动机扩展传统模型，并评估不同广播策略对疏散时间的边际效应。答案与解析一、单项选择题1.B 2.B 3.B 4.C 5.C 6.B 7.C 8.A 9.A 10.B二、填空题11.2.92 12.0.92 13.0.02 14.68.75 15.千克 16.2.1 17.14 18.t-6 19.5 20.0.60三、判断题21.√ 22.√ 23.× 24.× 25.× 26.× 27.√ 28.√ 29.√ 30.×四、简答题（每题约200字）31.设x_ijt为第t时段从区域i调度j类车辆数，d_it为需求缺口，c_ij为单位调度成本。目标：min∑c_ijx_ijt+λ∑d_it。约束：库存平衡、载重上限、调度车辆整数、非负。关键：引入需求缺口惩罚系数λ，将双目标转化为单目标，并用Benders分解求解。32.多层Logit引入学校层面随机截距，可缓解因未观测学校特征导致的聚集性误差。检验方法：用似然比比较零模型与随机截距模型，若χ²值显著，则随机效应存在；或计算ICC>0.05即认为需保留多层结构。33.以过去30天菌落均值μ与标准差σ建图，上控限UCL=μ+3σ，下控限LCL=μ–3σ。每日实测值超出即报警；若连续7点上升，亦判异常。公式基于正态假设，若数据偏态，可经Box-Cox变换。34.选取与处理城市特征相似的池，对权重w_j求min∑w_jX_j–X₀²，s.t.w_j≥0,∑w_j=1。构造合成城市后，比较处理前后差异即为政策效应。核心目标是最小化预处理期特征差距的均方误差。五、讨论题（每题约200字）35.节点包括：原始系统分、人工复查分、学生背景、卷面特征、教师特征。边表示条件依赖，如“系统分→人工复查分”反映偏差修正。动态更新采用EM算法，每批次后验作为先验，实现自适应纠偏。公平性通过加入“群体属性→系统分”边系数正则化，确保不同性别、地区期望分差趋零。36.模型设企业选择隐瞒或诚实，监管方选择稽查或放松。支付矩阵引入罚款F与稽查成本S。混合策略均衡满足企业隐瞒概率使监管方稽查期望收益=不稽查期望收益，即p=F/(F+S)。提高F可降低p，但过高或致企业退出，需社会福利最大化权衡。37.公平性约束采用均衡机会差：|P(ŷ=1|A=0,y=1)–P(ŷ=1|A=1,y=1)|≤ε。将ε作为正则项加入损失函数，或用adversarialdebiasing，使预测器无法