正方形第1课时课件2025-2026学年人教版数学八年级下册

第二十一章四边形第1课时数学人教版八年级下册

掌握正方形的定义与性质，理解它与平行四边形、矩形、菱形的关系.能运用正方形性质进行简单几何证明与计算.通过观察、折叠、证明等活动，经历“特殊化”探究过程，提升几何直观与逻辑推理能力.感受特殊与一般的辩证关系，体会几何图形的严谨性与应用价值.1234

从一扇古窗到一个图形，正方形的“方”背后，藏着怎样的数学密码?今天，我们穿越古今，探寻正方形的性质.视频粘贴处

古代城楼的窗户，其窗棂构成精致的正方形格子.“古人造窗，为何偏爱‘方’形?”活动一：探究正方形的定义01

如下图，左右平移矩形ABCD的一条边CD，当CD移动到C'D'位置，且AD'=AB时，此时的图形是什么形状?想一想：满足什么条件的矩形是正方形？

有一组邻边相等的矩形是正方形．DAB∟CD'AB∟C'正方形02把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，你发现了什么？正方形想一想：满足什么条件的菱形是正方形？

有一个角是直角的菱形是正方形．活动一：探究正方形的定义

正方形必备的三个条件：(1)是平行四边形；(2)有一个角是直角；(3)有一组邻边相等.三者缺一不可.正方形对于一个平行四边形，如果它不仅有一组邻边相等，而且有一个角是直角，那么它就是正方形.正方形既是有一组邻边相等的矩形，也是有一个角是直角的菱形.一组邻边相等正方形矩形正方形一个角是直角菱形活动一：探究正方形的定义活动二：探究正方形的性质正方形既是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形、菱形，因此它具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质.根据图形所具有的性质，在下表相应的空格中打“√”.性质\图形平行四边形矩形菱形正方形边对边平行且相等四边相等角四个角都是直角对角线对角线相互平分对角线相互垂直对角线相等每条对角线平分一组对角√√√√√√√√√√√√√√√√√√0304你能给出证明吗？证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠A=90°，AB=AD（正方形的定义）.又∵正方形是平行四边形，所以四边形ABCD是矩形（矩形的定义），且四边形ABCD是菱形（菱形的定义）.∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=AD.ABCD已知：如图，四边形ABCD是正方形.求证：正方形ABCD四条边都相等，四个角都是直角.活动二：探究正方形的性质已知：如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC，BD相交于点O.求证：AO=BO=CO=DO，AC⊥BD.证明：在四边形ABCD中，∵正方形是矩形，∴AO=BO=CO=DO.又∵正方形是菱形，∴AC⊥BD.ABOCD04你能给出证明吗？活动二：探究正方形的性质

ABCDO正方形的性质：边：对边平行四条边都相等角：四个角都是直角对角线：对角线相等对角线互相垂直平分每一条对角线平分一组对角活动二：探究正方形的性质05

正方形是轴对称图形.它有四条对称轴，分别是对边中点的连线以及两条对角线所在的直线.思考：正方形是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？活动二：探究正方形的性质活动三：探究特殊平行四边形之间的关系有一组邻边相等矩形菱形正方形平行四边形有一个角是直角有一个角是直角有一组邻边相等有一个角是直角且有一组邻边相等06正方形、菱形、矩形、平行四边形之间有什么关系？与同学讨论一下，并列表或画框图表示这些关系.06正方形、菱形、矩形、平行四边形之间有什么关系？与同学讨论一下，并列表或画框图表示这些关系.图形是否是平行四边形特殊性质(区别于普通平行四边形)与其他图形的关系平行四边形是(本身)

无(对边平行且相等，对角相等)

最一般的四边形，是矩形、菱形、正方形的父类矩形是有一个角是直角(或对角线相等)是角特殊的平行四边形菱形是有一组邻边相等(四边相等，对角线互相垂直)是边特殊的平行四边形正方形是既有直角，又有四条边相等是矩形+菱形的交集，是最特殊的平行四边形活动三：探究特殊平行四边形之间的关系矩形菱形正方形平行四边形06正方形、菱形、矩形、平行四边形之间有什么关系？与同学讨论一下，并列表或画框图表示这些关系.正方形是具有矩形和菱形所有优良特性的“完美”平行四边形.活动三：探究特殊平行四边形之间的关系求证：正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形.已知：如图，四边形ABCD

是正方形，对角线AC，BD

相交于点O.求证：△ABO，△BCO，△CDO，△DAO

是全等的等腰直角三角形.

首先根据命题画出草图，写出已知、求证，再进行证明.ABDCO证明：∵四边形ABCD

是正方形，∴AC=BD，AC⊥BD(正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分).∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠AOD=90°，AO=BO=CO=DO

.∴△ABO，△BCO，△CDO，△DAO

都是等腰直角三角形，并且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO.图中共有多少个等腰直角三角形?ABDCO解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，BC＝DC，DC＝AD，AD＝AB.∴△ABC，△BCD，△CDA，△DAB

也是等腰直角三角形．∴图中共有8个等腰直角三角形．

正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形；两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形.ABDCO如图，在正方形ABCD中，P为BD上一点，PE⟂BC于E，PF⟂DC于F.试说明：AP=EF.ABCDEFP

连接PC，AC，证AP=PC.由正方形性质得PECF为矩形，故PC=EF，等量代换得AP=EF.ABCDEFP连接PC，AC.∵四边形ABCD是正方形，∴∠FCE=90°，AC垂直平分BD,∴AP=PC.又∵PE⟂BC，PF⟂DC,∴四边形PECF是矩形,∴PC=EF.∴AP=EF.

如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，BD

与CE

相交于点F，连接AF.求∠AFD

的度数.ABCDEF

正方形及等边三角形的性质

ABF=45°,

BAF=

BCF=

BEC=15°

AFD=

BAF+

ABF=15°+45°=60°ABCDEF

1.(1)把一张长方形纸片按如图方式折一下，就可以裁出正方形纸片.为什么？

(2)如何从一块矩形木板中裁出一块面积最大的正方形木板呢？ABDC解：(1)如图，由折叠知AB=AD，∠B=∠ADC=90°.∵∠BAD=90°，∴四边形ABCD

是矩形，且AB=AD，由正方形是有一组邻边相等的矩形可知，四边形ABCD

是正方形.

1.(1)把一张长方形纸片按如图方式折一下，就可以裁出正方形纸片.为什么？

(2)如何从一块矩形木板中裁出一块面积最大的正方形木板呢？ABDC解：(2)如(1)所示的正方形面积最大，即令正方形的边长等于长方形的宽.原理：正方形的边长不能超过矩形的宽，否则无法容纳在矩形内，所以以矩形的宽为边长得到的正方形，就是该矩形中面积最大的正方形.2.如图，一块正方形场地的四个顶点分别是A，B，C，D.李明和张华在边AB

上取了一点E，EC=30m，EB=10m.这块场地的面积和对角线长分别是多少？ABCDE2.如图，一块正方形场地的四个顶点分别是A，B，C，D.李明和张华在边AB

上取了一点E，EC=30m，EB=10m.这块场地的面积和对角线长分别是多少？ABCDE

3.如图，一个正方形草坪的四个顶点分别是A，B，C，D.要修建BE

和AF

两条路，使点E，F

分别在边AD，CD上，且DE=CF.这两条路等长吗？它们有什么位置关系？为什么？ACDEFB解：这两条路等长，它们互相垂直.理由：如图，设AF与BE交于点O.∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD=CD，∠BAE=∠D=90°.又DE=CF，∴AD－DE=CD－CF，即AE=DF.∴△ABE≌△DAF（SAS）.∴BE=AF，∠AEB=∠DFA.∵∠D=90°，∴∠DFA+∠DAF=90°.∴∠AEB+∠DAF=90°.∴∠AOE=90°，即BE⊥AF.O

任务：1.寻找拍摄：在家中或校园寻找至少2个正