案例15 二面角及其度量的教学新设计

《二面角及其度量》的教学新设计华南师范大学数学科学学院（510631）张佳淳何小亚（编者按：本教学设计获教育部“第九届东芝杯・中国师范大学师范专业理科大学生教学技能创新实践大赛”数学组二等奖（49名参赛选手中排名第二））“数学教育的未来之路是以理解、探究、问题解决为价值取向，追求数学素养的达成，并促进学生核心素养的发展.”[1]于是，教数学就不能只是达到“知其然而不知其所以然”的工具性理解水平，而应该要达到“知其然且知其所以然”的关系性理解水平.2011年上海松江区特级教师阮晓明等老师的调查表明[2]，教师、学生都认为二面角是高中数学十大难点概念之一，教师认为其难度排第七，学生认为其难度排第一.学生的认知障碍是：（1）空间想象能力差、作不出平面角；（2）不理解二面角的大小为什么要用其平面角的大小来度量，更不清楚为什么二面角能用二面角的平面角进行度量？为了解决这些问题，我们给出了基于探究活动的教学新设计.授课课题《普通高中课程标准实验教科书数学(A版)》必修2（人教版），第二章点、直线、平面之间的位置关系2.3.2节二面角及其度量，第一课时.教材分析二面角是直线与直线所成的角、直线与平面所成的角之后的另一种“角”，用它可以去描述两个平面相交时的位置关系.学好这一概念对后续理解两个平面的垂直关系和计算两个平面所成角的大小是一个重要的基础.两个平面相交时，它们的相对位置可由两个平面所成的“角”确定，而如何度量二面角的大小是一个难点.根据定义异面直线所成角和线面角的经验，可以用化归为“平面角”度量的思想来定义两个半平面所成的角.学情分析1.认知基础：在本节课之前，学生已学过斜投影、正投影；等角定理、异面直线所成角的定义，并初步接触到空间问题化归为平面问题的思想；线面垂直的判定、线面角的定义.2.认知障碍：二面角大小的度量.教学目标1.知识与技能：（1）理解二面角及其平面角的定义；（2）学会用定义法作二面角的平面角.2.过程与方法：经历二面角平面角的概念建构过程，领悟化归的数学思想，积累水平数学化(horizontalmathematization)[2]的活动经验.3.情感、态度与价值观：（1）感受二面角平面角的发现乐趣，培养探究精神；（2）感受数学实验活动的魅力，激发学生对数学的兴趣.教学重点二面角及其平面角的定义，定义法作二面角平面角.教学难点二面角大小的度量；度量的本质.教学关键类比异面直线所成角和线面角，将二面角化归为平面角；从长度、面积、体积、角、重量的度量去概括度量的本质.教学方法问题驱动、引导探究.教学工具镜子、手电筒、自制二面角投影模型、工字钉、激光笔、吸管、三角板、PPT、几何画板.教学流程设计各个流程的设计意图：新知引入新知引入设计意图：根据桑代克试误学习理论中的“准备律”，应用“曹冲称象”引入“化归思想”，利用生活中的二面角实例（镜子）创设情境，使学生处于学习的“饥饿状态”，从而激发学生产生弥补心理缺口的学习动力。探索新知设计意图：通过数学实验活动，探究出二面角的度量方法，弥补“心理缺口”，归纳出二面角平面角的定义，理解二面角平面角的定义合理性.小试牛刀设计意图：通过变式练习，让学生掌握二面角平面角的作法，体会二面角平面角的意义：度量两个半平面所成角的大小。根据最近发展区理论，设计一系列的、逐步递进的变式题，帮助学生积累经验增长才智。小结提升设计意图：回顾整节课所学内容，并让学生感受化归思想的力量，认识到追求简单化是数学的灵魂。作业布置设计意图：通过金字塔计算二面角，让学生尝试解决无棱二面角问题；小组作业使学生对化归思想有更深刻的认识，反思问题使学生认识到中学数学度量的本质。教学过程设计新知引入（3min）时间教师活动学生活动设计意图3min各位听过“曹冲称象”的故事吗？你们知道曹冲聪明在何处吗？他将称大象的问题化归为称石头的问题，这种把复杂问题转化为简单问题的思想叫做“化归”思想.学生听讲思考根据桑代克试误学习理论中的“准备律”，应用“曹冲称象”引入“化归思想”，利用生活中的二面角实例（镜子）创设情境，使学生处于学习的“饥饿状态”，从而激发学生产生弥补心理缺口的学习动力.探索新知（15min）时间教师活动学生活动设计意图0.5min先利用镜子模型，引入新概念“二面角”，类比平面角，引入定义、组成及表示.那么如何度量呢？这就是我们今天要探究的内容了.观察发现二面角可大可小.1min联系其它空间角的度量异面直线所成角和线面角，怎么度量？它们都是把复杂的空间问题化归为简单的平面问题.现在我们要度量的第三种空间角——二面角是不是也可以化归为平面角来度量呢？发现空间角都化归为平面角度量.5min数学实验活动之投影平移显然不行，那投影呢？接着，出示二面角模型.图3二面角模型实物图(1)实验目标：用正投影（即手电筒光线和投影面垂直）并在投影面上看到由射线-点-射线组成的平面角.(2)实验过程：初次实验发现得不到平面角，逐步移动手电筒，在投影面上得到平面角.(3)实验结果：平面角的形成①点的形成：用工字钉确定点的位置，用激光笔代替手电筒，发现光线穿过棱，使“线成点”；②射线的形成：垂直投影面的光线，使“面成线”；③射线的特殊性：由棱与投影面垂直，根据线面垂直的判定，得到投影面上形成的两条射线垂直于棱.观察实验操作通过数学实验活动，探究出二面角的度量方法，弥补“心理缺口”.5min平面角的作图：归纳概念但每次度量使用投影很麻烦，想象投影面往前移动直至与二面角相切，平面角也能移到二面角上，如何确定顶点和两边？(1)角的顶点落在什么位置？在棱上.(2)角的射线落在什么位置？两个半平面内.(3)角的射线与棱有什么关系？分别与棱垂直.深入思考1：顶点是固定的吗？不是，投影面可以调节位置，也可以利用等角定理进行严谨证明.用等角定理说明角的位置不唯一.与学生一起归纳总结二面角平面角的定义，得到度量方法.归纳总结二面角平面角的定义利用过程性教学归纳出二面角平面角的定义.3.5min深入思考2：不定义垂直的作法也可以得到平面角，它们可以用来度量二面角吗？数学实验活动之定义合理性探究借助二面角模型和吸管、三角板进行其他作法尝试：一边与棱夹角60°，另一边与棱夹角30°，如图4；图4两边于棱夹角都为60°，如图5.图5如图6，比对两种作法得到的角和正投影得到的角，大小一致吗？（生：不一致）所以这两种作法行不行（生：不行）.图6其实改变射线与棱的夹角，会延伸出无数种角的作法，这些作法和两个反例一样和正投影之角不一致所以都不可行.而垂直这个作法的合理性有两点：（1）根据等角定理，当两条射线与棱垂直时，角的大小唯一；与正投影之角一致.所以只有垂直这一种定义方式可行，作出来的角就叫二面角的平面角.学生听讲思考理解二面角平面角的定义的合理性.小试牛刀（14min）时间教师活动学生活动设计意图8min图7【例1】如图7，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，找出并计算二面角C1-BD-C的平面角.图7变式1：二面角A1-AB-D变式2：二面角C1-BD-A变式3：二面角D1-AB-D学生听讲并动手解决问题强化二面角平面角在度量二面角大小的应用，并体现“追求简单化”这一数学的灵魂.通过变式练习，让学生掌握二面角平面角的作法，体会二面角平面角的意义：度量两个半平面所成角的大小.根据最近发展区理论，设计一系列、逐步递进的变式题，帮助学生积累经验增长才智.6min图8【变式4】如图8，已知三棱锥D-ABC的三个侧面与底面全等，且AB=AC=，BC=2，E为BC的中点，求以BC为棱，以面BCD与面BCA为面的二面角的大小？图8（四）小结提升（5min）时间教师活动学生活动设计意图5min受“曹冲称象”所用“化归思想”的启发，尝试解决“度量镜子”的问题.类比其他空间角的度量，将二面角化归为平面角进行度量，再次体会到“化归思想”的力量.用化归思想解决了三种空间角的度量问题.学生回顾思考回顾整节课所学内容，并让学生感受化归思想的力量，认识到追求简单化是数学的灵魂.（五）布置作业（3min）时间教师活动学生活动设计意图3min图9(生活问题)埃及的金字塔世界闻名，如图9所示金字塔，已知PA与正方形ABCD所在的平面垂直，且PA=PB，求平面PAB与平面PCD所成二面角的度数.图9小组作业：回顾你之前学过的哪些知识或问题解决时用到了化归思想.你能否用化归思想解决一个数学问题或生活问题，数学来源于生活，又应用于生活.挑战性反思：从我们学过的线段的度量、面积的度量、体积的度量、角、重量的度量去思考——度量的本质是什么？学生思考完成课后作业通过金字塔计算二面角，让学生尝试解决无棱二面角问题；小组作业使学生对化归思想有更深刻的认识，反思问题使学生认识到度量的本质.板书设计（略）附：本教学设计的创新之处用教材没有的数学实验活动——光线正投影照射二面角模型，探索二面角大小的度量，使学生积累了水平数学化的活动经验.2.在概念教学中实现了化归思想的渗透，将“追求简单化”这一数学的灵魂贯穿始终；并通过小组作业，体会数学思想的实用价值，数学是有用的！3.弥补了教材中的标题没有“度量”这个词汇的遗憾，将二面角的度量作为教学主线贯穿始终.并通过对挑战性问题的反思，提升学生对度量的认识水平：中学数学中度量的本质就是以小量大！参考文献何小亚．追求数学素养达成的教学