第6讲　利用导数研究函数的零点

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第6讲利用导数研究函数的零点高考总复习优化设计GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI2026基础自测思维引航考点进阶素养淬炼目录索引基础自测思维引航基础自测1.(2023全国乙,文8)若函数f(x)=x3+ax+2存在3个零点,则a的取值范围是(

)A.(-∞,-2) B.(-∞,-3)C.(-4,-1) D.(-3,0)B

2.(人A选必二第五章例题)给定函数f(x)=(x+1)ex.(1)判断函数f(x)的单调性,并求出f(x)的极值;(2)画出函数f(x)的大致图象;(3)求出方程f(x)=a(a∈R)的解的个数.

x(-∞,-2)-2(-2,+∞)f'(x)-0+f(x)单调递减单调递增

3.(人A选必二第五章习题)已知函数f(x)=ae2x+(a-2)ex-x.(1)讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)有两个零点,求实数a的取值范围.

思维引航1.三次函数零点的个数与极值的关系:①3个零点⇔极大值大于0且极小值小于0;②2个零点⇔极大值等于0或极小值等于0;③1个零点⇔不存在极值.2.注意分析函数值的正负情况及变化趋势.3.分类讨论求解.考点进阶素养淬炼考点一探究零点的个数

x(0,2)2(2,+∞)f'(x)-0+f(x)单调递减极小值单调递增所以f(x)的单调递减区间为(0,2),单调递增区间为(2,+∞),函数f(x)在x=2处取得极小值f(2)=4-8ln

2,无极大值.

考点二根据零点个数求参数取值范围

当a>1时,-ln

a<0,当x<-ln

a时,f'(x)>0,当-ln

a<x<0时,f'(x)<0,当x>0时,f'(x)>0,所以f(x)在区间(-∞,-ln

a)上单调递增,在区间(-ln

a,0)上单调递减,在区间(0,+∞)上单调递增.综上所述,若a≤0,f(x)在区间(-∞,0)上单调递增,在区间(0,+∞)上单调递减;若0<a<1,f(x)在区间(-∞,0)上单调递增,在区间(0,-ln

a)上单调递减,在区间(-ln

a,+∞)上单调递增;当a=1时,f(x)在区间(-∞,+∞)上单调递增;当a>1时,f(x)在区间(-∞,-ln

a)上单调递增,在区间(-ln

a,0)上单调递减,在区间(0,+∞)上单调递增.

【对点训练2】(2025天津,20节选)已知a∈R,函数f(x)=ax-(lnx)2.(1)当a=1时,求函数y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)已知f(x)有3个零点x1,x2,x3,且x1<x2<x3.求a的取值范围.

考点三隐零点问题例3

(2025浙江杭州模拟)已知函数f(x)=x(aex-1),a∈R.(1)当a=1时,求f(x)的极小值;(2)若g(x)=f(x)+(2-lnx-x)e3+x,求证:当a>1时,g(x)>0.(1)解

当a=1时,f(x)=x(ex-1),则f'(x)=ex(x+1)-1,当x>0时,f'(x)>0,函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递增;当x<0时,0<ex<1,x+1<1,则f'(x)<0,f(x)在区间

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