第3讲　随机变量及其分布

第3讲随机变量及其分布高考总复习优化设计GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI2026基础自测思维引航考点进阶素养淬炼目录索引基础自测思维引航基础自测1.(2022新高考Ⅱ,13)已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2),且P(2<X≤2.5)=0.36,则P(X>2.5)=

.

0.14解析

因为X~N(2,σ2),所以P(X<2)=P(X>2)=0.5,因此P(X>2.5)=P(X>2)-P(2<X≤2.5)=0.5-0.36=0.14.2.(人A选必三7.3.2节习题改编)已知随机变量X的分布列为

X1234P0.20.30.40.1则D(X)=

.

0.84解析

由题意知,E(X)=1×0.2+2×0.3+3×0.4+4×0.1=2.4,所以D(X)=(1-2.4)2×0.2+(2-2.4)2×0.3+(3-2.4)2×0.4+(4-2.4)2×0.1=0.84.3.(人A选必三7.4.1节例题改编)将一枚质地均匀的硬币重复抛掷10次,恰好出现5次正面朝上的概率是

.

1

思维引航

Xx1x2…xnPp1p2…pn

考点进阶素养淬炼考点一分布列的性质及应用例1

(1)(多选题)(2025四川第一次教学质量联合测评(2月联考))已知随机变量X的分布列如下,则(

)X1234P4p3p2pp

BD解析

由4p+3p+2p+p=1,可得p=0.1,P(X<3)=4p+3p=0.7,E(X)=1×0.4+2×0.3+3×0.2+4×0.1=2,D(X)=(1-2)2×0.4+(2-2)2×0.3+(3-2)2×0.2+(4-2)2×0.1=1.故选BD.(2)(2025河南南阳邓州第一高级中学模拟)某保险公司新开设了一项保险业务,若在一年内事件E发生,该公司要赔偿a元.设在一年内E发生的概率为p,为使公司收益的期望值等于a的百分之十,公司应要求顾客交保险金为

元.

(p+0.1)a解析

设保险公司要求顾客交x元保险金,若ξ表示公司每年的收益额,则ξ是一个随机变量,ξ的取值集合为{x-a,x},P(ξ=x-a)=p,P(ξ=x)=1-p,则ξ的分布列为ξx-axPp1-p因此,公司每年收益的期望E(ξ)=p(x-a)+x(1-p)=x-ap,为使公司收益的期望值等于a的百分之十,所以x-ap=0.1a,解得x=ap+0.1a=(p+0.1)a.【对点训练1】(多选题)(2025贵州贵阳第一中学第一次联考)离散型随机变量X的分布列如下表所示,m,n是非零实数,则下列说法正确的是(

)X20242025PmnA.m+n=1B.X服从两点分布C.2024<E(X)<2025D.D(X)=mnACD解析

对于A,由分布列的性质,则满足m+n=1,故A正确;对于B,根据两点分布知,随机变量X的取值为0和1,故B不正确;对于C,由期望的公式,可得E(X)=2

024m+2

025n=2

024(1-n)+2

025n=2

024+n,因为0<n<1,所以2

024<2

024+n<2

025,即2

024<E(X)<2

025,故C正确;对于D,由方差的公式,可得D(X)=[2

024-(2

024+n)]2·m+[2

025-(2

024+n)]2·n=n2·m+(1-n)2·n=mn2+m2n=mn(m+n)=mn,即D(X)=mn,故D正确.故选ACD.考点二二项分布

(1)求选手甲第一阶段不被淘汰的概率;(2)求选手甲在该次比赛中得分为40分的概率;(3)已知该次比赛选手甲进入了高分组,记选手甲在该次比赛中得分数为X,求随机变量X的分布列和期望值.

X020406080P

C

(2)(2025天津,13)某同学每周在操场跑圈2次,一次跑5圈或6圈.已知:该同学第一次跑5圈或6圈的概率均为0.5.若第一次跑5圈,则第二次跑5圈的概率为0.4,跑6圈的概率为0.6;若第一次跑6圈,则第二次跑5圈的概率为0.6,跑6圈的概率为0.4.(ⅰ)该同学一周跑11圈的概率为

;

(ⅱ)若该同学一周至少跑11圈为运动量达标,连续跑4周.记达标的周数为随机变量X,则X的期望E(X)=

.

0.63.2解析

(ⅰ)该同学一周跑11圈的概率为0.5×0.6+0.5×0.6=0.6.(ⅱ)该同学一周跑12圈的概率为0.5×0.4=0.2,故该同学运动量达标的概率为0.6+0.2=0.8,∴X~B(4,0.8),则E(X)=4×0.8=3.2.考点三超几何分布

ξ012P

【对点训练3】某校为了参加市里举办的足球联赛,从学校的足球队中选出了水平较高的18人组成了代表队参加比赛,已知这18名队员来自高三年级的4个班级,每班对应的人数如下表所示.班级高三(1)班高三(2)班高三(3)班高三(4)班人数4635(1)从这18名队员中随机选出两人,求这两人来自同一个班级的概率;(2)经过队员们的奋力拼搏,获得了这次联赛的冠军,若要从这18人中选出两人作为球员代表发言,设选出的两人中来自高三(1)班的人数为X,求X的分布列和期望E(X).

X012P考点四正态分布例4

(多选题)(2025湖北七市州3月联合统一调研测试)若小明坐公交上班的用时X(单位:分钟)和骑自行车上班的用时Y(单位:分钟)分别满足X~N(30,62),Y~N(34,22),且同一坐标系中X的密度曲线与Y的密度曲线在t=38分钟时相交,则下列说法正确的是(

)A.P(X>38)<P(Y>38)B.P(24≤X≤36)=P(32≤Y≤36)C.若X的密度曲线与Y的密度曲线相交所对应的另一个时间为t1,则t1<30D.若要在34分钟内上班不迟到,小明最好选择坐公交BD解析

由题意知坐公交用时的方差比骑自行车的方差大,即X的密度曲线较矮胖,Y的密度曲线更瘦高,则X的密度曲线在38分钟后在Y的密度曲线的上方,可在同一坐标系中作出密度曲线,易知P(X>38)>P(Y>38),故A错误;由3σ原则可知P(30-6≤X≤30+6)=P(34-2≤Y≤34+2),故B正确;

图1(6)当μ取定值时,曲线的形状由σ确定,当σ较小时,峰值高,曲线“瘦高”,表示随机变量X的分布比较集中;当σ较大时,峰值低,曲线“矮胖”,表示随机变量X的分布比较分散,如图2所示.图22.3σ原则假设X~N(μ,σ2),可以证明:对给定的k∈N*,P(μ-kσ≤X≤μ+kσ)是一个只与k有关的定值.3.正态分布的均值与方差若X~N(μ,σ2),则X的均值E(X)=μ,方差D(X)=σ2.【对点训练4】(1)(2025重庆第二次联合诊断检测)某高校全体大一新生参加一项体能测试,将测试结果转换为相应分值,满分为100分,统计发现得分X~N(50,σ2).若得分在(40,50)的学生有300人,则得分在(50,70)的学生人数Y满足(

)A.Y≤300 B.300<Y<600C.Y=600 D.Y>600B解析

因为得分X~N(50,σ2),