余弦定理、正弦定理应用举例课件2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

讲课人：日期：6.3.3.3余弦定理、正弦定理应用举例学习目标学习目标核心素养1.利用正弦、余弦定理探求三角形中边与角的关系.数学抽象2.利用正弦、余弦定理判断三角形的形状.数学建模3.掌握正弦、余弦定理的简单应用.数学建模复习回顾1.什么是正弦定理？运用正弦定理能解怎样的三角形？（1）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即②已知三角形的任意两边与其中一边的对角.（2）正弦定理能解决的三角形类型①已知三角形的任意两角及其一边；复习回顾2.什么是余弦定理？运用余弦定理能解怎样的三角形？（1）余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍，即①已知三边求三角；（2）余弦定理能解决的三角形类型：②已知两边及它们的夹角，求第三边.如图5.31,在直角坐标系内，设任意角α的终边与单位圆交于点P1.(1)作P1关于原点的对称点P2,以。P2为终边的角β与角α有什么关系？角β,α的三角函数值之间有什么关系？(2)如果作P1关于x轴（或S轴）的对称点P3（或P4),那么又可以得到什么结论？新课引入在实践中，我们经常会遇到测量距离、高度、角度等实际问题.解决这类问题，通常需要借助经纬仪以及卷尺等测量角和距离的工具进行测量.具体测量时，我们常常遇到“不能到达”的困难，这就需要设计恰当的测量方案.下面我们通过几道例题来说明这种情况.需要注意的是，题中为什么要给出这些已知条件，而不是其他的条件.事实上，这些条件往往隐含着相应测量问题在某种特定情境和条件限制下的一个测量方案，而且是这种情境与条件限制下的恰当方案.探索新知1.测量距离例1如图,A，B两点都在河的对岸（不可到达),设计一种测量A，B两点间距离的方法,并求出A，B间的距离.探索新知AB

解：测量者可以在河岸边选定两点C，D，测得CD=a，并且在C，D两点分别测得∠BCA=α,∠ACD=β,∠CDB=γ,∠BDA=δ.在ΔADC和ΔBDC中，应用正弦定理得DC例1如图,A，B两点都在河的对岸（不可到达),设计一种测量A，B两点间距离的方法,并求出A，B间的距离.探索新知例1如图,A，B两点都在河的对岸（不可到达),设计一种测量A，B两点间距离的方法,并求出A，B间的距离.计算出AC和BC后，再在ΔABC中，应用余弦定理计算出AB两点间的距离探索新知思考：在上述测量方案下,还有其他计算A,B两点间距离的方法吗?在测量过程中,我们把根据测量的需要而确定的线段叫做基线基线的性质：基线越长,测量的精确度越高探索新知为使测量具有较高的精确度，应根据实际需要选取合适的基线长度.一般来说，基线越长，测量的精确度越高.地球上所能用的最长的基线是地球椭圆轨道的长轴

探索新知(1)测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，

一般可转化为已知两个角和一条边解三角形的问题，从而运用正弦定理去解决.(2)测量两个不可到达的点之间的距离问题，

一般先把球距离问题转化为运用余弦定理,求三角形的边长的问题，然后把球未知的边长问题转化为只有一点不能到达的两点之间距离的测量问题，最后运用正弦定理解决.策略(1)选定或构造的三角形，要确定及确定在哪一个三角形中求解.(2)当角边对应，且角的条件较多时，一般用正弦定理；

当角的条件较少，且角边不对应时，一般用余弦定理.注意点探索新知探究：实际应用问题中有关的名称、术语

问题：你了解实际应用问题中有关的哪些名称、术语？提示：仰角、俯角、视角、坡角、方向角、方位角等.总结：探索新知探究：实际应用问题中有关的名称、术语

方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角.方位角：指北方向线顺时针旋转到目标方向线所成的角.问题5：如图：

（1）点A在北偏东

，方位角

.

（2）点B在北偏西

，方位角

.

（3）点C在南偏西

，方位角

.

（4）点D在南偏东

，方位角

.提示：(1)60°,60°；(2)

30°,330°；(3)45°,225°；(4)20°,160°探索新知例2

如图,AB是底部B不可到达的一座建筑物，A为建筑物的最高点.设计一种测量建筑物高度AB的方法,并求出建筑物的高度.CD分析：只要获得一点C(点C到地面的距离可求)到建筑物的顶部A的距离CA，并测出由点C观察A的仰角，就可以计算出建筑物的高度．再选取一点D，构造另一个含有CA的△ACD，并进行相关的长度和角度的测量，然后通过解三角形的方法计算出CA．探索新知CαDβGHah所以，这座建筑物的高度为探索新知(1)“空间”向“平面”的转化：测量高度问题往往是空间中的问题，因此先要选好所求线段所在的平面，将空间问题转化为平面问题.(2)“解直角三角形”与“解斜三角形”结合，全面分析所有三角形，仔细规划解题思路.技巧总结：测量高度问题的解题策略探索新知例3

位于某海域A处的甲船获悉，在其正东方向相距20nmile的B处有一艘渔船遇险后抛针等待营救.甲船立即前往救援，同时把消息告知位于甲船南偏西30o，且与甲船相距7nmile的C处的乙船.那么乙船前往营救遇险渔船时的目标方向线（由观测点看目标的视线）的方向是北偏东多少度（精确到1o）？需要航行的距离是多少海里（精确到1nmile)？分析：首先应根据"正东方向""南偏西30o""目标方向线"等信息,画出示意图探索新知

探索新知思考：运用正、余弦定理解决实际问题的基本步骤是什么？(1)分析：理解题意，弄清已知与未知，画出示意图（一个或几个三角形）；(2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与待求量尽可能地集中在有关三角形中，建立一个解三角形的数学模型；(3)求解：利用正弦定理、余弦定理解三角形，求得数学模型的解；(4)检验：检验所求的解是否符合实际问题，从而得出实际问题的解.课堂小结(1)分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图.(2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型.(3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解.(4)检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解.解三角形应用题的一般步骤：课堂检测C课堂检测课堂检测2.如图示，在山脚A测得山顶P的仰角为α，沿倾斜角为β的斜坡向上走a

m到达B处，在B处测得山顶P的仰角为γ.求证:课堂检测3、地图测绘人员在点A测得某一目标参照物P在他的北偏东30°的方向，且距离为

m，之后该测绘人员沿正北方向行走了40m，到达点B.试确定此时目标参照物P在他北偏东的度数以及他与目标参照物P的距离.课堂检测解如图，在△PAB中，∠PAB＝30°，由余弦定理，得因为AB＝40m，所以AB＝PB，所