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文档简介

融合创新函数与导数下的新定义高考总复习优化设计GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI2026创新点1函数与导数中的新定义问题创新点2以高等数学为背景的新定义问题目录索引从高考命题趋势来看,函数与导数下的新定义问题逐渐成为高考中的热点与难点,占比有逐渐增加的趋势,难度也相对较大;这类问题形式新颖,其核心仍依托函数与导数的基础知识,深入理解函数与导数的本质;考查学生对函数与导数基础知识的掌握程度,更注重对学生创新思维、逻辑推理以及知识迁移能力的检验.创新点1函数与导数中的新定义问题例1

(2025上海杨浦二模)已知函数y=f(x)的导函数为y=f'(x),若函数y=f(x)的定义域为R,且不等式f(x)>f'(x)对任意x∈R成立,则称函数y=f(x)是“超导函数”.(1)判断f(x)=ex+1是否为“超导函数”,并说明理由;(2)若函数y=g(x)与y=h(x)都是“超导函数”,且对任意x∈R,都有h'(x)>0,g'(x)<0,记F(x)=g(x)h(x),求证:函数y=F(x)是“超导函数”;(3)已知函数y=φ(x)是“超导函数”且φ(1)=e,若有且仅有一个实数t满足φ(lnt+1-at)=elnt+1-at,求实数a的取值范围.(1)解

f(x)是“超导函数”.理由如下,因为f(x)=ex+1,所以f'(x)=ex,因此f(x)=ex+1>ex=f'(x),故f(x)是“超导函数”.(2)证明

因为F(x)=g(x)h(x),所以F'(x)=g'(x)h(x)+g(x)h'(x).则F(x)-F'(x)=g(x)h(x)-g'(x)h(x)-g(x)h'(x)=[g(x)-g'(x)][h(x)-h'(x)]-g'(x)h'(x).由于函数y=g(x)与y=h(x)都是“超导函数”,所以g(x)-g'(x)>0,h(x)-h'(x)>0.又对任意x∈R,都有h'(x)>0,g'(x)<0,所以g'(x)h'(x)<0,因此F(x)-F'(x)>0,即F(x)>F'(x),所以函数y=F(x)是

“超导函数”.

创新点2

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