初中七年级数学下册期末综合能力提升复习教案

初中七年级数学下册期末综合能力提升复习教案

一、课程定位与目标

（一）课程定位

本课程立足于《义务教育数学课程标准（2022年版）》所倡导的核心素养导向，以大单元教学理念为统领，针对七年级学生数学思维从“算术”向“代数”、从“直观”向“推理”转型的关键期，实施跨章节、重迁移、强应用的综合复习。课程旨在打破相交线与平行线、实数、平面直角坐标系、二元一次方程组、不等式与不等式组、数据的收集整理与描述六个独立章节的壁垒，通过知识结构化重组、思想方法提炼、真实问题解决，实现从“掌握知识点”到“形成学科能力”的跃升，达成期末综合能力的实质性突破。

（二）教学目标

1.知识与技能目标：系统复述并关联全册48个核心概念、12条基本定理、5种基本作图、3类数学模型（方程、不等式、函数雏形）。能准确进行实数的混合运算与平方根立方根的非负性应用；熟练运用代入消元法和加减消元法解二元一次方程组，并能根据方程组的解的特征求参数；掌握不等式的三条基本性质，能借助数轴确定一元一次不等式组的解集，解决含参不等式组的整数解问题；能综合运用平行线的判定与性质进行几何推理，并添加恰当的辅助线解决拐点问题；能在平面直角坐标系中根据坐标描点、求图形面积、描述平移变换；能完整经历数据的收集、整理、描述全过程，补全频数分布表与直方图。【非常重要】【高频考点】

2.过程与方法目标：通过“概念图建构—题组分层练—变式迁移用”的三阶学习路径，提炼并自觉运用化归思想（解方程组、不等式）、数形结合思想（不等式解集、坐标系、平行线）、建模思想（方程组与不等式应用题）、分类讨论思想（含参问题、动点问题）。在项目式任务中经历“问题情境—建立模型—求解验证—解释反思”的完整建模过程。【重要】【热点】

3.情感态度价值观目标：在具有挑战性的综合题面前保持探究韧性，在小组概念图共创中体验协作智慧，在方案设计类问题中体会数学的现实价值，形成严谨求实的科学态度和理性精神。【一般】

二、教学重点与难点

（一）教学重点

1.平行线的判定与性质在复杂图形中的综合推理，特别是过拐点构造平行线的辅助线策略。【非常重要】【高频考点】【难点】

2.二元一次方程组和一元一次不等式（组）的实际应用建模，以及二者组合形成的方案决策问题。【非常重要】【高频考点】【难点】

3.平面直角坐标系内几何图形面积的割补计算与坐标表示下的平移规律。【重要】【热点】

4.实数非负性在方程与不等式中的综合运用。【重要】【高频考点】

（二）教学难点

5.含参数的一元一次不等式组的整数解问题，临界点的确定与取舍。【非常重要】【难点】【高频考点】

6.平行线拐点模型中，根据不同图形特征灵活构造平行线，并建立角之间的等量关系。【非常重要】【难点】

7.二元一次方程组与平面直角坐标系、几何图形面积相结合的跨章节综合题。【重要】【难点】

8.动点问题中几何图形面积与时间参数的函数关系构建及不等式求解。【重要】【难点】

三、教学方法与策略

采用“大单元统领·问题链驱动·差异化达成”的复习教学策略。具体实施三种核心方法：

其一，概念图建构法。课前布置绘制章节知识树，课中小组优化、全班共建，教师点拨上位联系，将六个章节凝练为“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”三大领域，揭示方程与不等式的同构关系、坐标系与平行线的数形对应。

其二，变式题组教学法。每一模块均设计“基础巩固—综合应用—创新挑战”三级题组，同一核心知识在不同情境中反复呈现，通过一题多变、一题多解、多题归一，实现深度理解与灵活迁移。

其三，项目沉浸学习法。将应用题改造为微项目，如“校园篮球采购方案”“运动会方阵平移设计”，赋予数学问题真实背景，在决策、优化中培育数学建模素养。

信息技术深度融合：利用几何画板动态呈现平行线拐点辅助线生成过程、不等式组解集随参数变化趋势；利用希沃白板实时投屏展示学生典型解法与典型错例；使用班级优化大师随机抽选、即时评价，保持高参与度。

四、教学资源准备

人教版七年级数学下册教材；自编《期末综合能力提升导学案》（含三级题组与概念图支架）；几何画板课件“平行线拐点模型.gsp”“参数不等式解集动态演示.gsp”；微课视频《平方根与立方根易错辨析》《铅垂高法求面积》；彩色粉笔（红、黄、蓝三色）；三角板、量角器、直尺；磁力贴片（用于移动图形）；智能答题器（全班42人配置）。

五、教学实施过程

本模块共计3课时，每课时45分钟。教学实施过程以全程师生互动、思维外显为特征，逐层推进。

第一课时：数与代数模块整合复习——实数、二元一次方程组、不等式与不等式组

（一）课前诊断与知识唤醒（5分钟）

1.前测题精准把脉。教师通过智能答题系统推送三道诊断题：（1）计算：√25+³√-27-|2-√6|；（2）解方程组：{3x-2y=8，4x+y=7}；（3）解不等式组：{2x-3≤5，(x-2)/3>1}。系统即时生成正确率统计：第（1）题绝对值化简错误率高达41%，主要问题在于2-√6符号判断；第（2）题代入消元法回代错误占28%；第（3）题去分母漏乘不含分母项占33%。【重要】

2.归因与精讲。教师选取典型错例投影展示，不直接给出正确答案，而是引导学生分析错因：“绝对值化简一定要先判断内层整体的正负”“解二元一次方程组后必须代入原方程检验”“去分母时不等式每一项都要乘最简公分母”。教师顺势板书三条“警示线”，强化程序性知识的规范性。【重要】

（二）核心知识网状建构（10分钟）

3.小组概念图共创。学生4人一组，利用学案背面空白区绘制“数与代数”概念图，要求必须包含实数、二元一次方程组、不等式与不等式组三章内容，并用箭头标注概念之间的逻辑关联，如“平方根与立方根统称方根”“方程组通过消元转化为一元一次方程”“不等式的解集在数轴上表示”。【非常重要】

4.全班整合优化。教师随机选取两组概念图拍照上传对比：第一组按章节并列摆放，呈串行结构；第二组将“消元法”“化归思想”置于中心，三章知识环绕周围，呈放射状。教师肯定第二组的结构化水平，并在此基础上补充“方程与不等式的同构性”——两者均是刻画数量关系的数学模型，区别在于等与不等；同时引入“函数”作为延伸点，指出二元一次方程可视为一次函数的表达式。最终形成结构化板书：【非常重要】【高频考点】

——实数模块：平方根（非负性√a≥0）、立方根（任意性）、实数运算（先算乘方开方，再乘除后加减）、近似数与科学记数法。【重要】

——二元一次方程组模块：定义（整式、两个未知数、次数1）、解法（代入消元核心：用一个未知数表示另一个；加减消元核心：系数相等或相反）、应用（行程问题：相向、追及；工程问题：工作总量=工作效率×时间；分配问题：总量不变）。【非常重要】【高频考点】

——不等式模块：性质（乘除负数变号）、解法（去分母—去括号—移项—合并—系数化1）、解集数轴表示（实心点与空心点）、不等式组（同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解）。【非常重要】【高频考点】【难点】

（三）题组精练与思维进阶（25分钟）

5.基础巩固层【一般】

（1）计算题组：①-1⁴+√16÷(-2)²+³√-64；②已知|a+1|+√b-3=0，求a²⁰²⁵+b的值。

详细解析：①-1⁴表示1的四次方的相反数，结果为-1；√16=4；(-2)²=4；4÷4=1；³√-64=-4；原式=-1+1+(-4)=-4。强调幂运算与根号运算顺序。②非负数和为零，每项为零：a+1=0且b-3=0，得a=-1，b=3；a²⁰²⁵=(-1)²⁰²⁵=-1；结果为2。

（2）方程组题组：{4x-3y=11，2x+y=13}（加减消元法）；{3x+y=2，7x-4y=3}（代入消元法）。要求写出完整步骤并口头阐述消元思路。组内交换批改，典型错误聚焦：加减消元时同号相减、异号相加混淆；代入消元时将y=13-2x误写为y=2x-13。

（3）不等式组题组：解集{2x-7<3(1-x)，4x+3≥1-2x}，并将解集在数轴上表示。教师巡视，发现数轴表示常见错误：方向画反、端点虚实标反。邀请两位学生在黑板板演，集体评议。

6.综合应用层【重要】【热点】

（1）非负性与方程组的综合：若√(2a+3b-a)+(a-b+1)²=0，解方程组{ax+by=7，bx+ay=8}。

教学流程：第一步，由非负性得2a+3b-a=0且a-b+1=0，化简为{a+3b=0，a-b=-1}。第二步，解此关于a、b的方程组，得a=-3/4，b=1/4。第三步，代入所求方程组得{-3/4x+1/4y=7，1/4x-3/4y=8}，整理为{-3x+y=28，x-3y=32}。第四步，解此方程组，得x=-13，y=-15。教师追问：若将平方改为绝对值，解法是否改变？引导学生体会非负性条件的本质——构造方程的工具。【非常重要】【高频考点】

（2）方程组解与不等式的综合：已知关于x、y的方程组{2x+y=5k+6，x-2y=-17}的解满足x+y<1，求k的非负整数值。

解题路径：常规解法——先解方程组（用含k的式子表示x、y），得x=2k-1，y=k+8；代入不等式(2k-1)+(k+8)<1，得3k+7<1，3k<-6，k<-2；故k的非负整数值不存在。教师设问：若将x+y<1改为x+y>1，k的非负整数值是什么？k≥-2，非负整数有0、1、2……无数个？此时必须结合原题中k是否隐含其他条件？没有，则答案为所有非负整数。通过变式让学生理解参数取值范围的不确定性。【非常重要】【高频考点】【难点】

7.创新挑战层【难点】【热点】

（1）含参不等式组整数解问题（核心难点）：已知关于x的不等式组{x-a≥0，5-2x>1}的整数解共有5个，求a的取值范围。

突破四步法：第一步，化简不等式组，得{x≥a，x<2}。第二步，数轴定位：在数轴上画出x<2的区域（向左，空心在2处）。第三步，确定整数解：x<2的整数有……1、0、-1、-2……共有5个，则这5个整数解必定是1、0、-1、-2、-3。第四步，确定a的范围：x≥a必须包含这5个整数但不能包含第6个整数（即-4），所以a必须在-3和-4之间，且要具体分析端点：当a=-3时，解集为-3≤x<2，包含-3、-2、-1、0、1，正好5个；当a=-4时，解集为-4≤x<2，包含-4、-3、-2、-1、0、1，共6个，不符合。故a的取值范围是-4<a≤-3。几何画板动态演示：拖动点a在数轴上移动，整数点个数实时变化，学生直观感受临界点的“取等”与“不取等”。【非常重要】【高频考点】【难点】

（2）新定义运算与方程组：定义一种运算“⊗”，m⊗n=am+bn+c（其中a、b、c为常数），已知1⊗2=9，2⊗1=8，3⊗3=15，求4⊗5的值。

思维支架：将定义转化为三元一次方程组。列式{a+2b+c=9，2a+b+c=8，3a+3b+c=15}。解法指导：先消c，①-②得-a+b=1；③-②得a+2b=7；联立解得a=5/3？此处故意设计非整数系数，检验学生运算耐心。正确解得a=5/3，b=8/3，c=6；代入4⊗5=4a+5b+c=20/3+40/3+6=60/3+6=20+6=26。此题既考查消元思想，又渗透待定系数法，为函数学习铺垫。【重要】【热点】

（四）建模应用与项目学习（5分钟）

真实问题情境：学校计划为七年级篮球赛购买篮球和足球。篮球每个95元，足球每个75元。总经费不超过1500元，且篮球和足球共购买20个。请问有哪几种购买方案？若要使篮球尽可能多，最多能买几个篮球？

实施流程：学生独立审题，设篮球x个，足球(20-x)个，列不等式95x+75(20-x)≤1500，化简得20x≤0，x≤0。出现矛盾！此处故意设置陷阱：经费预算并非1500元，而是1500元？经学生质疑，教师纠正数据为95x+75(20-x)≤1520，解得x≤10。结合实际x为非负整数，且足球个数也为非负，得0≤x≤10，共11种方案。最多篮球10个。追问：若篮球不少于8个，且总经费不超过1520元，最多篮球是多少？解不等式组{x≥8，x≤10}，得x=8,9,10，最多10个。提炼建模步骤：审（未知数、关键词）—设（设元）—列（不等关系）—解（不等式组）—验（实际意义）—答（完整语句）。【非常重要】【高频考点】【热点】

第二课时：图形与几何模块整合复习——相交线与平行线、平面直角坐标系

（一）空间观念唤醒（3分钟）

情境导入：展示本校校园平面局部图（教学楼、升旗台、花坛）。问题链：如何用数学语言描述升旗台相对于教学楼的位置？怎样保证升旗杆与地面垂直？怎样通过平移将教学楼前的花坛整体左移5米？学生回答中自然引出“有序数对”“垂直”“平移”等关键词，教师顺势板书课题：用代数眼光看几何世界。【重要】

（二）双线并进知识网（12分钟）

1.相交线与平行线知识图谱【非常重要】【高频考点】【难点】

（1）概念群梳理：两条直线的位置关系（相交、平行）；相交线的特殊情形（垂直、垂线、垂线段、点到直线的距离）；三线八角（同位角F型、内错角Z型、同旁内角U型）。

（2）判定与性质对照表：以平行线为核心，左边列判定方法（同位角相等、内错角相等、同旁内角互补、平行公理推论、同一平面内垂直于同一直线），右边列性质（两线平行→同位角相等、内错角相等、同旁内角互补）。强调判定是由角的关系得到线的关系，性质是由线的关系得到角的关系，二者互逆。

（3）平移：平移的两要素（方向、距离）；平移的性质（对应点连线平行且相等、对应线段平行且相等、对应角相等）。

2.平面直角坐标系知识图谱【重要】【热点】

（1）坐标基础：有序实数对；象限符号（++，-+，--，+-）；坐标轴上点特征（x轴y=0，y轴x=0，原点0,0）。

（2）对称与平移规律：关于x轴对称（横同纵反）、关于y轴对称（横反纵同）、关于原点对称（横纵皆反）；左右平移（左减右加纵不变）、上下平移（上加下减横不变）。

（3）应用：用坐标表示地理位置（建立坐标系、确定单位长度、描点）、用坐标表示平移（图形平移即点平移）。

3.跨模块联结——代数化的几何【非常重要】【热点】

教师呈现经典过渡题：如图，AB∥CD，∠A=(3x-10)°，∠C=(x+30)°，若∠A与∠C是同位角，求x值。学生列方程3x-10=x+30，得x=20。教师点明：几何中的角关系可转化为代数方程，这是数形结合的第一层。反之，坐标系中的点与线又可转化为几何图形问题。

（三）变式训练与推理进阶（25分钟）

4.基础推理层【一般】

（1）填空式推理证明：如图，已知∠1=∠2，∠A=∠F，求证：∠C=∠D。教师提供推理框架，学生填写理由（对顶角相等、等量代换、内错角相等两直线平行、两直线平行内错角相等等）。重点训练推理书写格式的严谨性，每一步注明依据。

（2）坐标系对称点训练：点P(2,-3)关于x轴的对称点P1坐标是______；关于y轴的对称点P2坐标是______；将P先向右平移3单位，再向下平移2单位得P3，P3坐标______。独立完成后同桌互查，强化坐标变化规律。

5.综合探究层【重要】【难点】

（1）平行线拐点模型专题【非常重要】【高频考点】【难点】

呈现教材原型题：如图1，AB∥CD，点P在AB、CD之间，求证：∠APC=∠A+∠C。

策略生成：学生独立思考后小组交流，展示三种辅助线作法——过P作PE∥AB；延长AP交CD于F；连接AC。教师优先肯定第一种，并用几何画板演示：当P在区域内任意移动，∠A、∠C、∠APC三个角的度数始终保持此关系。变式1：点P移动到AB上方，如图2，∠APC、∠A、∠C的关系变为∠APC=∠C-∠A；变式2：点P移动到CD下方，得∠APC=∠A-∠C；变式3：点P在AB与CD之间但位于右侧，关系如何？学生总结规律：无论拐点在何处，只需过拐点作平行于已知直线的辅助线，即可将未知角转化为已知角的和差。此环节为整节课思维高潮，必须放慢节奏，让每个学生经历“猜想—验证—归纳”全过程。【非常重要】【高频考点】【难点】

（2）坐标系中图形面积问题【重要】【热点】

例题：已知A(-1,2)，B(3,1)，C(1,-2)，求三角形ABC的面积。

方法一：割补法。将三角形补成矩形，减去三个直角三角形面积。矩形顶点为(-1,2)、(3,2)、(3,-2)、(-1,-2)，面积4×4=16；三个直角三角形面积分别为½×4×1=2，½×2×4=4，½×4×1=2，总面积16-8=8。

方法二：铅垂高法。教师示范：选择水平宽为A、C的横坐标差2，铅垂高为B到直线AC的纵距离。先求AC解析式（引入函数思想），再求B到AC的铅垂高，公式S=½×水平宽×铅垂高。此法虽然涉及后续知识，但此处作为渗透，学有余力者理解。重点掌握割补法，并引申：若三角形三边均不与坐标轴平行，常用此法。

6.创新迁移层【难点】【热点】

（1）平移与方程组综合题：在平面直角坐标系中，线段AB两端点坐标A(0,2)、B(3,5)，将线段AB平移后得到线段A'B'，已知A'(a,1)，B'(1,b)，求a、b及平移向量。

解题路径：由A到A'，纵坐标从2变为1，减少1，故向下平移1单位；那么B也向下平移1单位，B'纵坐标b=5-1=4；但B'横坐标为1，而B横坐标为3，说明还向左平移2单位，故A'横坐标a=0-2=-2。平移向量为(-2,-1)。此题将平移规律逆向运用，并要求用方程组思想：{0+m=a，2+n=1，3+m=1，5+n=b}，更显代数优势。【重要】

（2）几何背景新定义问题：在坐标系中，对于任意两点P(x₁,y₁)、Q(x₂,y₂)，定义“△PQ”的运算结果为|x₁y₂-x₂y₁|。已知A(1,0)、B(0,2)、C(m,1)，且△AB=△BC，求m的值。

分析：△AB=|1×2-0×0|=2；△BC=|0×1-m×2|=|-2m|=2|m|；由2=2|m|得|m|=1，m=±1。教师解释该运算的几何意义：实际上表示以OP、OQ为邻边的平行四边形面积（或三角形面积的2倍）。此题将代数运算与几何意义深度融合，极具思维张力。【重要】

（四）全课总结与思想升华（5分钟）

学生谈收获：从知识层面，巩固了平行线三大模型、坐标系三大变换；从方法层面，领悟了“拐点就作平行线”“求面积用割补铅垂”；从思想层面，深刻感受数形结合——几何图形为代数运算提供直观，代数运算为几何问题提供定量工具。教师以对联作结：代数几何形影不离，横纵坐标表里相依。横批：数形合一。

第三课时：统计与概率及综合模拟演练——数据的收集整理描述、跨学科综合

（一）统计知识快照（5分钟）

1.知识微盘点【一般】【热点】

（1）调查方式甄别：普查（全面调查）与抽样调查。适用场景：总体中个体较少、要求精确度高用普查；总体中个体非常多、具有破坏性用抽样调查。举例：调查某班视力——普查；调查某市七年级学生视力——抽样。

（2）基本概念：总体（考察对象的全体）、个体（每一个考察对象）、样本（抽取的部分个体）、样本容量（样本中个体的数目，不带单位）。

（3）统计图表家族：条形图（显示具体数值）、扇形图（显示比例）、折线图（显示变化趋势）、直方图（显示频数分布）。

（4）直方图绘制五步：求极差→定组距与组数→列频数分布表→画频数分布直方图→（等距分组时纵轴为频数/组距或频数均可，需注明）。

2.例题微诊断：某校计划了解七年级500名学生每周课外阅读时间，从中抽取50名学生进行调查。指出总体、个体、样本、样本容量；若将数据分组，组距定为0.5小时，第一组0~0.5，第二组0.5~1.0，……请预估组数。学生回答后教师强调：组数=极差/组距，向上取整。【重要】

（二）直方图绘制实操（10分钟）

3.数据呈现：教师投影40名七年级男生引体向上测试次数（单位：次/分钟）：6,8,9,7,10,12,11,8,9,7,5,4,6,8,10,13,11,10,9,7,6,5,8,10,12,14,9,8,7,6,5,9,11,10,8,7,6,9,12,11。此为原始数据，共计40个。

4.分组活动：学生4人一组，依据学案表格完成任务。

（1）求极差：最大14，最小4，极差10。

（2）定组距与组数：若组距取2，组数=10/2=5；若组距取1.5，组数≈6.67，取7。为方便，通常取整组距，此处取组距2，组数5。

（3）列频数分布表：分组4≤x＜6，6≤x＜8，8≤x＜10，10≤x＜12，12≤x＜14，14≤x＜16。教师强调边界归属：一般“上限不在内”。

（4）画频数分布直方图：横轴为成绩，纵轴为频数。各组频数依次为4,11,13,8,3,1（40个数据核查）。教师巡视，发现典型错误：纵轴单位标错；直方条之间不留间隙（直方图无间隙，条形图有间隙）；横轴分组点标注不清晰。

5.师生共评：选取两组作品对比，分析优缺点。教师总结直方图核心：清晰展示数据分布集中趋势（8~10次人数最多）与离散程度。【重要】

（三）跨域综合题闯关（25分钟）

6.统计与方程组综合【重要】【热点】

某校开展社团满意度调查，随机抽取部分学生，每人从“非常满意”“满意”“一般”“不满意”四个选项中选一项。根据调查结果绘制扇形统计图，其中“满意”占40%，“一般”占25%，“不满意”占5%，但“非常满意”的圆心角度数被墨水污染。已知“满意”人数比“一般”人数多12人，求本次调查的总人数以及“非常满意”的圆心角度数。

解题引导：设总人数为x，则满意人数0.4x，一般人数0.25x，由0.4x-0.25x=12，得0.15x=12，x=80（人）。非常满意比例=1-40%-25%-5%=30%，圆心角=30%×360°=108°。本题综合考查扇形图百分比与方程，难度适中，但易忽略单位“1”。

7.几何与不等式综合——动点问题【非常重要】【高频考点】【难点】

在长方形ABCD中，AB=6cm，BC=10cm。点P从点A出发，沿A→B→C方向以1cm/s的速度匀速运动；点Q从点C出发，沿C→D→A方向以2cm/s的速度匀速运动，两点同时出发，当点Q到达A点时，P、Q同时停止运动。设运动时间为t秒。

（1）当0≤t≤5时，点P在线段AB上，AP=t，PB=6-t；点Q在线段CD上，CQ=2t，QD=10-2t？注意单位统一：AB=6，BC=10，所以CD=6，DA=10。C在CD上，从C到D，CD长度6，Q速度2，所以0≤t≤3时Q在CD上；3<t≤8时Q在DA上。此题需分类讨论，是七年级极有挑战性的综合题。

教师分解设问：先求△PBQ的面积S与t的函数关系式（分段）。第一段：0≤t≤3，P在AB，Q在CD，△PBQ可看作以PB为底、以BC为高？不，PB是线段，高为B到CQ的距离？更简方法：用长方形面积减去三个直角三角形面积。第二段：3<t≤5，P在AB，Q在DA上，此时△PBQ为一般三角形，可作辅助线。第三段：5<t≤8，P在BC上，Q在DA上。此题仅要求第一问列式，不求解完整函数，重在体会“时间引起位置变化—位置变化引起图形形状变化—图形形状变化导致面积公式不同”的分类讨论思想。

（2）当S≤10时，直接给出t的范围（简化数据，重点在不等式建模）。

本题作为思维拓展，教师完整板书第一段解法，后两段引导学生在学案上尝试，课后小组研讨。体现期末复习对综合素养的高要求。【非常重要】【高频考点】【难点】

8.三元一次方程组拓展【重要】【热点】

选做但不考试要求：解方程组{x+y+z=6，2x+y-z=3，3x-y+2z=7}。教师示范消元策略：①+②得3x+2y=9；②×2+③得7x+y=13；联立解得x=1，y=3，z=2。旨在让学生接触多元方程组，感悟消元法普适性，为八上二元一次方程组的进一步学习及九上三元一次方程组正式学习做铺垫。【重要】

（四）自主构建思维导图（5分钟）

学生独立在A4白纸上绘制全册六章思维导图。要求：中心主题“七年级数学下册”，向外辐射三大领域，再细分六章，末级知识点要求覆盖至少40个核心条目。教师巡视，对学生遗漏的“平移作图”“频数频率”等及时提醒。此图作为本次综合复习的个人成果，课后收缴，教师批阅后反馈，纳入期末过程性评价。【非常重要】

六、板书设计

（黑板左侧）

数与代数·三章贯通

实数：平方根↔立方根↔非负性↔运算

方程组：消元（代入/加减）→一元一次方程

不等式：性质→解集数轴→组解口诀

建模：审、设、列、解、验、答

（黑板右侧