人教版初中数学九年级下册《位似图形》第一课时教案

人教版初中数学九年级下册《位似图形》第一课时教案

一、学科语境与课程定位

本节课程隶属于初中数学学科九年级下册“相似”单元中的拓展与深化内容。在初中数学的知识体系中，“图形的相似”是继“图形的全等”之后，对图形变换关系的进一步探索，是连接初等几何与高等几何（如射影几何）的重要桥梁。位似变换，作为一种特殊的相似变换，其本质是图形在缩放过程中的一种中心投影关系。它不仅保持了图形的形状（角度不变），更通过固定的位似中心与位似比，揭示了图形间一种精确的、可量化的放大与缩小规律。

从学科逻辑看，本节课是学生在掌握了“比例线段”、“相似多边形”的概念与判定之后，对相似关系从“识别与判定”到“主动构造与精密控制”的一次认知飞跃。它深刻体现了数学的“变换思想”，将静态的图形关系转化为动态的生成过程。在学科核心素养层面，本节课是培育学生“直观想象”、“数学抽象”、“逻辑推理”和“数学建模”素养的绝佳载体。通过位似图形的学习，学生能够用数学的眼光观察现实世界中的缩放现象（如地图、模型、投影），用数学的思维分析其背后的几何原理，并用数学的语言（如位似中心、位似比）进行精确表述。

二、课标解读与核心素养映射

根据《义务教育数学课程标准（2022年版）》对第三学段（7-9年级）“图形的变化”领域的要求，学生需要“通过具体实例认识图形的相似”，“了解相似图形的性质”，并能“在平面直角坐标系中，探索图形位置的变化与坐标之间的关系”。位似图形作为相似图形的特例，其教学应超越简单的识记，引导学生达成以下目标：

1.数学抽象与概念形成：从具体的实物缩放、图片放大等生活实例中，剥离非本质属性，抽象出“对应点连线交于一点（位似中心）”、“对应点到位似中心的距离之比等于定值（位似比）”这两个核心数学特征，精准建构位似图形的数学定义。

2.直观想象与空间观念：能够在头脑中想象图形以某一点为中心进行放大或缩小的动态过程。能够根据位似中心和位似比，在纸上或利用几何软件，精确地画出已知图形的位似图形（包括内位似和外位似）。

3.逻辑推理与性质探究：从位似图形的定义出发，通过演绎推理，自主探究并证明位似图形所具有的一系列性质（如对应边平行或共线、周长比等于位似比、面积比等于位似比的平方等），建立知识之间的逻辑联系。

4.数学建模与跨学科应用：初步建立“位似变换”的数学模型，理解其作为描述现实世界中中心缩放现象的工具价值。能够将位似知识初步应用于解读地图比例尺、设计图案、理解光学成像（小孔成像、透镜成像原理）等跨学科情境，体会数学的广泛应用性。

三、教材分析与整合

在本套人教版教材中，“位似”被安排在“相似”单元的最后一节，具有总结、提升与应用的多重功能。教材首先通过照片放大、放映幻灯片等情境引入位似的直观感受，然后给出严格定义，接着重点讲解位似图形的画法，最后简单提及平面直角坐标系中的位似。这种编排符合从感性到理性、从具体到抽象的认识规律。

然而，为了达到顶尖教学水准，我们需要对教材进行深度整合与适度拓展：

1.纵向深化：不仅讲授画法步骤，更揭示画法背后的几何原理（如平行线截线段成比例），将操作技能与数学原理紧密结合。

2.横向联系：将位似与之前学过的“图形的平移、旋转、轴对称（全等变换）”、“相似变换”进行对比，构建完整的“图形变换”知识网络。同时，与“平面直角坐标系”中的坐标变换建立初步联系，为高中学习“伸缩变换”埋下伏笔。

3.跨学科渗透：有意识地链接物理（光学）、地理（制图）、信息技术（图像处理）、艺术（图案设计）等相关知识，展现数学的基础工具地位。

4.技术融合：预设使用动态几何软件（如GeoGebra）作为探究工具，让学生直观、动态地体验位似参数（中心、比）的变化对图形的影响，实现传统尺规作图与数字化探究的互补。

四、学情分析

认知基础：

1.优势：九年级学生已经系统学习了全等变换和相似多边形的基本知识，掌握了比例的基本性质和平行线分线段成比例定理，具备一定的尺规作图能力和逻辑推理能力。在生活中，对放大、缩小现象有丰富的感性经验。

2.薄弱点与迷思概念：学生容易将“位似”与一般的“相似”混淆，难以抓住“所有对应点连线交于一点”这一核心特征。在作图时，可能机械记忆步骤而不明其理。对于“外位似”与“内位似”的区别，初次接触时可能理解困难。此外，位似比的正负与图形方向的关系是一个抽象的难点。

心理与能力特征：

1.九年级学生抽象逻辑思维进入快速发展期，能够理解和建构相对复杂的数学概念，但仍有赖于直观经验的支撑。

2.他们开始对具有挑战性和探索性的任务产生兴趣，不满足于被动接受知识，渴望自主发现和论证。

3.部分学生空间想象能力发展不均衡，对图形运动变换的想象可能存在困难。

因此，教学设计必须搭好脚手架：从最鲜活的生活实例入手，通过层层递进的问题串引导学生自主发现位似的本质特征；在探究画法时，将“怎么做”与“为什么这样做”融为一体；利用信息技术化解空间想象的难点，让思维过程可视化。

五、核心素养导向的教学目标

1.知识与技能：

1.2.理解位似图形、位似中心、位似比的概念，能准确表述位似图形的定义。

2.3.掌握位似图形的基本性质，并能进行简单的推理证明。

3.4.能够熟练利用尺规或方格纸，根据指定的位似中心和位似比，作出一个多边形的位似图形（涵盖放大、缩小、内位似、外位似等多种情况）。

5.过程与方法：

1.6.经历从生活实例抽象出数学概念的过程，发展数学抽象能力。

2.7.通过观察、猜想、验证、推理等活动探究位似图形的性质，体验数学研究的一般方法。

3.8.在解决位似作图问题的过程中，体会“转化”和“数形结合”的数学思想，提升几何作图与问题解决能力。

4.9.通过小组合作探究，提升交流协作与批判性思维能力。

10.情感、态度与价值观：

1.11.感受位似变换的对称美、规律美，激发数学学习兴趣。

2.12.体会数学与生活、科技、艺术的紧密联系，认识数学的应用价值和文化价值。

3.13.在探究中养成严谨求实、一丝不苟的科学态度和勇于探索的精神。

六、教学重点与难点

1.教学重点：位似图形的概念及其核心特征；位似图形的画法原理与操作。

2.教学难点：位似概念的抽象与精准理解（特别是“任意一对对应点”的要求）；位似比的正负与图形位置（内、外位似）的关系；复杂情境下位似图形的构造与识别。

七、教法学法设计

1.教学方法：

1.2.情境探究教学法：创设富有启发性的现实情境和数学情境，驱动学生主动探究。

2.3.问题链驱动法：设计环环相扣、层层深入的问题串，引导学生的思维走向深入。

3.4.演示实验法：运用动态几何软件进行实时演示，将抽象概念和动态过程直观化。

4.5.对比辨析法：将位似与平移、旋转、轴对称、一般相似进行对比，在辨析中深化理解。

6.学法指导：

1.7.自主探究与合作交流相结合：鼓励学生独立思考，同时在小组内进行观点碰撞、协作完成任务。

2.8.操作体验与思辨论证相结合：让学生在“做中学”，通过动手作图体验知识生成，并进一步追问原理，实现操作技能与理性思维的同步发展。

3.9.归纳总结与迁移应用相结合：引导学生及时归纳核心知识点和思想方法，并尝试在新情境中灵活应用。

八、教学准备

1.教师准备：

1.2.教学课件（PPT），内含丰富的图片、动画和GeoGebra交互页面。

2.3.预设的探究任务单、课堂练习与分层作业设计。

3.4.几何作图工具（尺、规）。

4.5.可连接投影的平板电脑或交互式电子白板。

6.学生准备：

1.7.复习相似多边形、平行线分线段成比例定理。

2.8.准备直尺、圆规、量角器、方格本。

3.9.熟悉GeoGebra软件的基本操作（若条件允许）。

九、教学过程实施（详细阐述）

（一）创设情境，激趣引新（预计时间：8分钟）

活动1：生活中的“神奇”放大

1.投影展示：

1.2.一组用同一张底片冲印出的不同尺寸的照片。

2.3.幻灯机将幻灯片上的图案投射到屏幕上的动画模拟。

3.4.博物馆中一个青铜鼎及其旁边放置的等比例缩小的精致模型。

4.5.通过放大镜观察书本上的一个复杂图案。

6.问题链启思：

1.7.“这些场景中，图形发生了什么共同的变化？”（放大或缩小）

2.8.“这种放大缩小，与我们之前学过的图形的平移、旋转、轴对称有何根本不同？”（引导思考：变换中形状不变，但大小改变，且似乎围绕一个“中心”在变化）。

3.9.“放大镜下的图案，其每一个点是如何‘移动’到新位置的？你能发现什么规律吗？”（初步感知“点与点之间的对应关系”）。

10.技术直观演示：

1.11.打开GeoGebra，绘制一个任意多边形ABC…和一个点O。

2.12.用滑块控制一个比值k，动态展示将多边形上每一个点A、B、C…与O连接，并在线段OA、OB、OC…上取点A‘、B’、C‘…，使得OA’/OA=OB‘/OB=…=k的过程。随着k的变化，一个新的多边形A‘B’C‘…实时生成、放大或缩小。

13.引出课题：

1.14.教师总结：“像这样，每组对应点所在的直线都相交于同一个定点，且对应点到这定点的距离之比都等于同一个常数的图形变换，就是我们今天要深入研究的——位似变换。这个定点称为位似中心，这个常数称为位似比。”

2.15.【设计意图】：从多个跨学科的生动实例出发，迅速吸引学生注意，引发认知冲突。GeoGebra的动态演示，将生活中模糊的“缩放”感觉，转化为精确、可视的数学过程，为抽象概念的形成提供了强大的直观支撑，使新课的引入既自然又充满数学味。

（二）合作探究，建构概念（预计时间：15分钟）

活动2：解剖“位似”

1.定义初探（小组讨论）：

1.2.基于动态演示和教师的描述，请学生分小组尝试用自己的语言描述“位似图形”。

2.3.教师巡视，收集典型描述，并有意关注表述中的不严谨之处（如遗漏“任意一对对应点”、“同侧或异侧”等）。

4.正例与反例辨析（全班研讨）：

1.5.教师呈现一组几何图形对，请学生判断哪些是位似图形，并说明理由。

1.2.6.正例1：明显符合定义的多边形位似图形（对应点连线明显交于一点）。

2.3.7.正例2：位似中心在图形外、图形上、图形内的不同情况。

3.4.8.反例1：一般相似图形（如两个相似的三角形，但其对应点连线不共点）。

4.5.9.反例2：一个图形及其平移后的图形。

6.10.在辨析中，引导学生不断修正和完善自己的描述，最终共同归纳出严谨的数学定义。

11.定义精炼与符号化：

1.12.板书精确定义：“如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，且对应点到这个点的距离之比都相等，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这个比值叫做位似比。”

2.13.符号强调：强调位似比k

k

k的意义。若k

>

0

k>0

k>0，对应点位于位似中心同侧，称为外位似（图形“并排”）；若k

<

0

k<0

k<0，对应点位于位似中心异侧，称为内位似（图形“交错”，位似中心在两图形之间）。利用GeoGebra动态切换k的正负值，让学生直观感受这一关键区别。

14.概念网络化：

1.15.引导学生用韦恩图或思维导图的形式，厘清“全等图形”、“相似图形”、“位似图形”三者之间的包含关系：全等图形是相似比为1的相似图形；位似图形是满足特殊位置关系（点连线共点）的相似图形。因此，位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形。

2.16.【设计意图】：概念的建构不是被动灌输，而是通过“尝试描述-正反辨析-精炼定义”的探究过程主动完成。反例的运用尤为关键，它能有效破除迷思，深化对定义中核心条件的理解。引入位似比的正负，是对概念的深化，也为后续作图区分内外位似打下理论基础。构建概念网络，有助于学生将新知有机融入已有的知识体系。

（三）追本溯源，探究性质（预计时间：12分钟）

活动3：从“定义”能推出什么？

1.性质猜想：

1.2.提问：“根据位似图形的定义，我们可以推导出它有哪些性质？请先独立思考，再小组交流。”引导学生从“对应点关系”出发，推理“对应线段”、“对应角”、“周长”、“面积”等的关系。

3.推理与验证：

1.4.性质1（对应边平行或共线）：请学生尝试证明。关键思路：由定义，点O、A、A‘共线，O、B、B’共线，且OA‘/OA=OB’/OB。结合平行线分线段成比例定理的逆定理，可证A’B‘∥AB（当k≠1时）。当k=1时，图形全等且关于O点中心对称，对应边反向平行或共线。教师用GeoGebra拖动顶点验证。

2.5.性质2（位似比与线段比、周长比）：由相似直接可得：对应线段之比等于位似比|k|，周长比等于|k|。

3.6.性质3（面积比）：引导学生回忆相似图形面积比等于相似比的平方，进而得出位似图形面积比等于位似比绝对值的平方，即S

放大图

:

S

原图

=

k

2

S_{放大图}:S_{原图}=k^2

S放大图​:S原图​=k2。

4.7.性质4（位似中心的位置）：总结位似中心可以在图形外、图形上、图形内，这取决于原图形与位似图形的相对位置。

8.性质体系化表述：师生共同整理，形成完整的位似图形性质清单。

1.9.【设计意图】：数学教学不仅要教“是什么”，更要教“为什么”。引导学生从定义出发进行逻辑推导，是对其逻辑推理能力的扎实训练。将性质的发现权交给学生，让他们体验数学知识的发生过程。GeoGebra的验证功能，为猜想提供了即时反馈，增强了探究的趣味性和说服力。

（四）掌握原理，精研画法（预计时间：20分钟）

活动4：如何“创造”一个位似图形？

这是本节课技能培养的核心环节，分层次展开：

层次一：在方格纸上作图（感性认识，降低起点）

1.任务：方格纸上有一个△ABC，以点O为位似中心，位似比k=2，画出放大后的图形。

2.学生尝试：允许学生自由探索。常见方法：数格子，将OA、OB、OC长度翻倍找到A‘、B’、C‘。

3.原理追问：“为什么这样画出来的一定是位似图形？”引导学生用定义解释：因为保证了O、A、A‘共线且OA’=2OA，同理其他点，所以符合定义。

层次二：尺规作图法（原理探究，技能提升）

1.任务：给定任意△ABC和位似中心O（在形外），位似比k=3，请用尺规作出其位似图形。

2.探究引导：

1.3.关键问题：“没有方格了，如何确保找到的点A‘满足OA’=3OA？”（尺规作图的核心是作一条线段等于已知线段的3倍，然后“放置”在OA所在直线上）。

2.4.方法提炼（外位似）：

1.3.5.步骤1：连接OA、OB、OC并延长。

2.4.6.步骤2：以O为端点，在OA延长线上截取OA‘=3OA。如何用尺规实现“3倍”？引导学生思考：可先作OA的2倍，再加一倍；或利用平行线等分线段原理。教师规范演示一种精确作法。

3.5.7.步骤3：同理，作出B‘、C’。

4.6.8.步骤4：连接A‘B’、B‘C’、C‘A’，得△A‘B’C‘。

7.9.变式挑战（内位似）：

1.8.10.提问：“如果位似比k=-2，即要求作内位似图形，步骤有何不同？”引导学生发现：关键在于点A‘应取在线段OA的反向延长线上，且OA’=2OA。作图步骤类似，但取点方向相反。

11.作图原理深度剖析：

1.12.提问：“为什么用上述方法作出的△A‘B’C‘，其边A’B‘会平行于AB？”引导学生联系刚刚证明的性质，理解画法本身是建立在位似性质（对应边平行）的逆用之上，作图过程与数学原理完全统一。

2.13.错误预警：强调连接顺序必须对应，避免出现“交叉连接”导致的图形错误。

层次三：归纳步骤，形成范式

1.师生共同总结位似作图的一般步骤：

1.2.定：确定位似中心和位似比（明确k的正负，判断是外位似还是内位似）。

2.3.连：连接位似中心和原图形的关键点（如多边形的顶点）并延长（或反向延长）。

3.4.截：根据位似比，在各条射线上截取对应点，使新点到位似中心的距离与原点到位似中心的距离之比等于|k|，方向由k的正负决定。

4.5.顺连：依次连接所得的新点，构成位似图形。

6.【设计意图】：画法教学是几何教学的重点。本设计遵循“从易到难、从感性到理性、从操作到原理”的认知规律。方格纸作图起铺垫和验证作用；尺规作图是核心，重在揭示操作背后的几何原理。通过追问“为什么”，将技能训练提升为思维训练。归纳步骤形成范式，有助于学生迁移应用。

（五）巩固应用，拓展升华（预计时间：15分钟）

活动5：分层演练与创意实践

1.基础巩固题（辨一辨，画一画）：

1.2.判断教材或课件中的几组图形是否为位似图形，若是，指出位似中心和位似比。

2.3.已知四边形ABCD和位似中心O（在图上给出），位似比k=1/2，作出缩小后的图形。

4.能力提升题（想一想，解一解）：

1.5.“要画一个五边形的位似图形，位似中心在五边形的一个顶点上，位似比为3。你可以想出几种不同的画法思路？”（此题开放，鼓励多解，涉及位似中心在图形上的特殊情况处理）。

2.6.“如图，△ABC与△A‘B’C‘是位似图形，位似中心为O。若AA’、BB‘、CC’的长度已知，你能求出位似比k吗？”（深化对位似比与线段比例关系的理解）。

7.综合应用与创意题（做一做，创一创）：

1.8.跨学科链接（物理）：展示一个简单的小孔成像光路图。“请用位似的知识解释，为什么屏幕上的像是倒立的？如何用位似比描述像的大小与物距、像距的关系？”（建立位似中心-小孔，物与像构成内位似，k为负值）。

2.9.数学与艺术：提供一幅简单的卡通轮廓图。“请你作为设计师，以图内某一点为位似中心，设计一系列由大到小、层层嵌套的图案，形成具有节奏感和视觉冲击力的作品。”（在方格纸上完成）。

3.10.信息技术探究：在GeoGebra任务单上，学生自主调整位似中心O的位置和位似比k的值（正负、大小），观察图形变化，并记录下当k的绝对值大于1、等于1、小于1时图形的变化规律。

4.11.【设计意图】：练习设计体现层次性、开放性和应用性。基础题确保全体学生掌握核心知识与技能；能力提升题锻炼思维的灵活性与深刻性；综合应用与创意题将数学与生活、科学、艺术深度融合，让学生真正体会到数学的威力和魅力，实现从解题到解决问题、从学习到创造的升华。

（六）反思总结，凝练思想（预计时间：5分钟）

活动6：这节课，我收获了……

1.知识树构建：请学生以“位似”为中心词，绘制本节课的知识脉络图（包括：定义、核心要素、性质、画法、应用）。

2.思想方法提炼：引导学生反思，在学习过程中用到了哪些重要的数学思想方法？（如：从特殊到一般、数形结合、转化、类比、数学模型等）。

3.困惑与期待：鼓励学生提出仍未完全理解的问题，或表达对后续学习内容的期待（如：“位似在坐标系中怎么表示？”）。

4.教师总结陈词：“同学们，今天我们一起揭开了‘位似变换’的神秘面纱。它不仅仅是一种图形的放大缩小，更是一种精密的数学规则，是连接微观与宏观、图纸与现实的一座桥梁。希望你们能用这双‘位似’的数学眼睛，去发现生活中更多美妙的规律。”

1.5.【设计意图】：通过结构化总结，帮助学生将零散的知识点系统化、网络化。思想方法的提炼，是比知识本身更上位的收获，有助于学生形成可迁移的数学能力。留有余地的结束，既照顾了学生的个体差异，也为下一课时的学习埋下伏笔。

十、板书设计（纲要式）

课题：27.3位似图形（一）

一、定义

1.两个相似图形

2.每组对应点连线交于一点O(位似中心)

3.对应点到O的距离之比等于定值k(位似比)

4.k

>

0

k>0

k>0：同侧（外位似）；k

<

0

k<0

k<0：异侧（内位似）

二、性质

1.对应边平行(或共线)

2.对应角相等

3.周长比=|k|

4.面积比=k

2

k^2

k2

三、画法（步骤）

1.定中心，明比（符号、大小）

2.连关键点，延射线（方向依k定）

3.按比截取