九年级数学下册：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似教案

九年级数学下册：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似教案

一、教学设计的宏观背景与指导思想

（一）课程改革的深层意蕴与本节内容的定位

在《义务教育数学课程标准（2022年版）》的框架下，初中数学教学的核心目标已从单一的知识传递转向学生数学核心素养的培育。本节内容“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”（通常表述为“SAS”相似判定定理）在初中几何体系中占据着承上启下的枢纽地位。它上承全等三角形的“SAS”判定定理，下启相似三角形的性质与应用，是学生从“形之等同”逻辑走向“形之变换”思想的关键阶梯。本节课的教学设计，必须超越定理本身的机械记忆与套用，致力于引导学生经历完整的数学发现、抽象、推理与建模过程，从而深刻理解相似的本质是图形的缩放变换，初步感悟几何变换思想，发展直观想象、逻辑推理和数学抽象等核心素养。

（二）学情分析与教学起点研判

授课对象为九年级下学期学生。经过之前的学习，学生已具备以下认知基础：

1.知识基础：牢固掌握了三角形全等的“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”等判定方法；已学习了相似多边形的定义（对应角相等，对应边成比例）以及相似三角形的预备定理（平行线分线段成比例推论）；掌握了“两角分别相等的两个三角形相似”（AA）判定定理。

2.能力基础：具备一定的尺规作图能力、观察归纳能力，以及进行简单几何说理的逻辑基础。

3.思维障碍预判：学生极易将全等判定中的“SAS”与相似判定中的“两边成比例且夹角相等”进行简单类比，但可能忽略“成比例”这一条件的深层含义——它涉及两组对应边的比值关系，而非具体边长相等。此外，从“两边夹一角”的条件构造出相似三角形，需要学生主动进行“缩放”操作，这对部分学生的空间想象与操作能力构成挑战。证明过程中，如何构造辅助线（平移或截取），将新问题转化为已学的“AA”判定，是逻辑推理上的难点。

（三）跨学科视野与真实情境链接

为体现数学的广泛应用性，本节课将打破学科壁垒，渗透跨学科视角：

1.物理学链接：结合光学中的反射定律（入射角等于反射角），解释在特定角度下，尽管物体与镜像大小不同，但形状完全相同（相似），为“夹角相等”提供物理原型。

2.工程与测绘：引入地图绘制、建筑设计图纸（比例图）等实例，说明在无法直接测量所有边角时，如何利用有限条件（如知道一个角和夹此角的两边比例关系）来确定或一个图形的形状，体现本定理的工具价值。

3.艺术与计算机图形学：简要提及图像缩放、3D建模中的纹理映射等技术背后，都蕴含着图形相似变换的数学原理。

二、教学目标与重难点分析

（一）教学目标（三维度融合）

1.知识与技能：

1.2.理解并掌握“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”这一定理的内容。

2.3.能准确叙述定理的条件与结论，并能用几何符号语言规范表达。

3.4.能熟练运用该定理判定两个三角形是否相似，并解决相关的计算与证明问题。

4.5.掌握该定理的证明思路与方法，理解其中蕴含的转化思想。

6.过程与方法：

1.7.经历“观察猜想—操作验证—推理证明—应用深化”的完整数学探究过程。

2.8.通过尺规作图、测量计算、几何画板动态演示等活动，积累数学活动经验，增强几何直观。

3.9.学会运用类比（与全等判定）、转化（化归为AA判定）等数学思想方法分析和解决问题。

10.情感、态度与价值观：

1.11.在探究活动中体验数学发现的乐趣和严谨性，增强学习几何的自信心。

2.12.感受数学定理的和谐统一之美（全等是相似比为1的特例）。

3.13.通过实际问题情境，体会数学与现实世界的紧密联系，认识数学的应用价值。

（二）教学重点与难点

1.教学重点：“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”定理的探索、理解与应用。

2.教学难点：

1.3.定理的证明，特别是辅助线的构造思路（如何通过构造，创造出一对等角）。

2.4.在复杂图形中，准确识别出满足定理条件的对应边和夹角，并灵活应用。

三、教学策略与资源准备

（一）教学策略选择

1.主导策略——探究发现式教学：创设问题情境，引导学生主动进行实验、观察、猜想，教师作为组织者、引导者和合作者，引领学生走向严谨的数学证明。

2.辅助策略：

1.3.类比迁移：与全等三角形的“SAS”判定进行对比，求同存异，建立知识联系。

2.4.信息技术融合：使用几何画板进行动态演示，直观展示当夹角固定、两边按比例变化时，三角形形状保持不变的规律，以及辅助线构造的动态过程。

3.5.合作学习：在探究环节设置小组讨论，鼓励生生互动，思维碰撞。

4.6.变式教学：通过多层次、多角度的例题与练习，深化对定理的理解，提升应用能力。

（二）教学资源准备

1.教师准备：多媒体课件（含问题情境、动画演示）、几何画板软件、三角板、圆规。

2.学生准备：直尺、圆规、量角器、三角板、课堂练习本。

3.学习任务单：设计包含作图区、猜想记录、证明思路梳理等栏目的探究学习单。

四、教学过程实施（核心环节详案）

第一环节：创设情境，温故孕新(预计时间：8分钟)

活动1：回顾旧知，建立联系

教师提问：

1.我们已经学过哪些判定两个三角形相似的方法？（定义法、平行线法、两角分别相等法(AA)）。

2.三角形全等有哪些判定方法？（SSS,SAS,ASA,AAS,HL）。其中，SAS判定是怎样的？

（学生回答：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等）。

3.（追问）在全等的“SAS”中，“两边相等”意味着这两组对应边的比是多少？（1:1）。那么，如果这两组对应边的比不是一个固定的值，比如是2:3，而夹角依然相等，这两个三角形的形状会有什么关系呢？它们还会相似吗？

设计意图：从学生最熟悉的全等判定入手，通过改变“边相等”为“边成比例”，自然引出本节课的核心问题。这种类比式提问，既能激活旧知，又能引发认知冲突，激发探究欲望。

活动2：情境导入，感知问题

呈现情境：投影显示一幅比例尺为1:1000的小区平面图，图中有一个三角形区域代表花园。

提问：在实际测量中，工程师只需要在地面上测量出花园的一个角和这个角的两条边的实际长度，就能在图纸上画出相似的三角形。这背后的数学道理是什么？

引导学生初步感知：一个角固定，这个角的两条边按相同比例缩放，图形的形状不变。

第二环节：动手探究，大胆猜想(预计时间：12分钟)

活动：实验操作，收集数据

学生以小组为单位，完成学习单上的探究任务。

任务：在纸上任意画一个△ABC。

1.画∠DA‘E=∠A。

2.在射线A‘D上截取A‘B‘=k·AB(例如取k=2)，在射线A‘E上截取A‘C‘=k·AC。

3.连接B‘C‘，得到△A‘B‘C‘。

4.用量角器测量∠B‘和∠C‘，分别与∠B和∠C比较；用刻度尺测量B‘C‘的长度，计算B‘C‘:BC，并与k值比较。

5.改变k的值（如k=0.5,1.5），重复步骤2-4。

6.改变原三角形（锐角、直角、钝角三角形），重复以上过程。

教师巡视指导，关注学生的作图规范性和数据测量的准确性。

活动：分享数据，形成猜想

各小组汇报测量和计算结果。

教师利用几何画板进行动态演示进行验证：固定∠A，拖动滑块改变比例系数k，实时显示△ABC和△A‘B‘C‘的各角度数以及非夹边的比值。学生观察发现：无论k如何变化，总有∠B‘=∠B,∠C‘=∠C，且B‘C‘/BC=k。

引导学生归纳猜想：

在△ABC和△A‘B‘C‘中，如果∠A‘=∠A，且A‘B‘/AB=A‘C‘/AC，那么△A‘B‘C‘∽△ABC。

设计意图：让学生亲自动手操作，从具体数据中寻找规律，这是数学发现的第一步。几何画板的动态验证，将有限的静态实验推广到无限的动态情形，增强了猜想的可信度，为后续的严格证明提供了强烈的动机。

第三环节：推理论证，构建定理(预计时间：15分钟)

这是突破教学难点的关键环节，采用“教师引导，师生共证”的模式。

活动1：分析思路，化归转化

教师引导：我们的猜想是“两边成比例且夹角相等，则三角形相似”。我们已经有哪些证明相似的方法？（定义法、AA法）。定义法需要三边成比例且三角相等，条件较多。AA法只需要两对角相等。我们能否将当前的条件，转化为满足“AA”的条件？

关键点：目前已知∠A‘=∠A，还需要再找一对角相等。如何利用“两边成比例”这个条件来创造另一对等角？

活动2：构造辅助线，演绎证明

师生共同完成证明的书写与分析。

已知：在△ABC和△A‘B‘C‘中，∠A‘=∠A，A‘B‘/AB=A‘C‘/AC。

求证：△A‘B‘C‘∽△ABC。

证明思路分析：

为了利用“AA”判定，我们可以在较大的三角形（假设为△ABC）上，通过截取的方法，“造”出一个与△A‘B‘C‘全等的小三角形，从而将问题转化为证明这个小三角形与△ABC相似（实际上就是平行线分线段成比例推论的应用）。

证明过程：

假设AB>A‘B‘（情况不唯一，但思路一致）。

1.在线段AB（或延长线）上截取AD=A‘B‘，过点D作DE//BC，交AC于点E。

（教师用几何画板演示这一构造过程，强调作平行线的目的：利用平行产生相似和等角）。

2.∵DE//BC，

∴△ADE∽△ABC。（平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的三角形与原三角形相似）

3.∴AD/AB=AE/AC。（相似三角形对应边成比例）

4.又∵AD=A‘B‘，且已知A‘B‘/AB=A‘C‘/AC，

∴A‘B‘/AB=A‘C‘/AC=AE/AC。

∴A‘C‘=AE。

5.在△A‘B‘C‘和△ADE中，

∵A‘B‘=AD,∠A‘=∠A,A‘C‘=AE，

∴△A‘B‘C‘≌△ADE(SAS)。

6.∴△A‘B‘C‘∽△ABC。（因为△ADE∽△ABC，且△A‘B‘C‘≌△ADE）

活动3：凝练定理，规范表述

证明完成后，师生共同用文字语言、图形语言和符号语言三种形式精准表述定理。

1.文字语言：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。

2.符号语言：在△ABC和△A‘B‘C‘中，若∠A=∠A‘，且AB/A‘B‘=AC/A‘C‘，则△ABC∽△A‘B‘C‘。

3.强调：“夹角相等”是至关重要的条件。通过几何画板演示，仅两边成比例而夹角不相等，两个三角形不一定相似（可展示反例）。

设计意图：将证明过程作为培养学生逻辑推理能力的核心载体。重点剖析“为什么要作平行线”（化归思想）以及“如何从比例式得到线段相等”（代数推理与几何关系的结合）。通过三种语言的转化，深化对定理结构化、形式化的理解。

第四环节：辨析应用，深化理解(预计时间：10分钟)

活动1：概念辨析，巩固条件

判断题（口答）：

1.两边成比例且有一个角相等的两个三角形相似。（强调“夹角”）

2.一个三角形的两边长分别为3和4，另一个三角形的两边长分别为6和8，且它们的夹角均为50°，则这两个三角形相似。（强调“对应”成比例，3对应6，4对应8，比例均为1:2）

3.两个等腰三角形，若腰的比等于底边的比，则它们相似。（不一定，需要看对应的角是否相等，即顶角或底角是否是对应相等的夹角）

活动2：基础应用，规范书写

例1：根据下列条件，判断△ABC与△DEF是否相似，并说明理由。

(1)AB=4cm,BC=6cm,∠B=60°；DE=6cm,EF=9cm,∠E=60°。

(2)AB=12,AC=15,∠A=50°；DE=16,DF=20,∠D=50°。

教学处理：学生独立完成，教师板书示范解题格式。重点训练：①将条件按对应关系排列；②写出比例式计算过程；③明确给出结论及理由（定理名称）。

例2：如图，已知AB•AD=AC•AE，且∠1=∠2。求证：△ABC∽△AED。

（此题需要学生先将等积式化为比例式AB/AC=AE/AD，再识别出∠BAC与∠EAD是夹角）

设计意图：通过辨析题扫清认知误区，通过基础例题巩固定理的直接应用，并规范几何解题的书写逻辑。例2引入了等积式，训练条件转化和图形识别的能力。

第五环节：综合拓展，链接实际(预计时间：10分钟)

活动：解决实际问题，感悟定理价值

问题：如图，为了估算一条河的宽度（AB），测量者在对岸选定一个目标点C，在近岸点D处测得∠ADC=90°，然后沿河岸前进到点E，测得∠AEC=120°。已知DE=40米，且测得AD=30米，EC=60米。你能估算出河宽AB吗？（数据可根据教学实际情况调整）

引导分析：

1.图中哪些三角形可能相似？目标量AB在哪？

2.观察△ABD和△ACE，发现∠ADB=∠AEC=120°吗？不，∠ADB是90°。此路不通。

3.重新审视：∠ADC=90°，即AD⊥DC。能否利用直角三角形？观察△ADC和△BEC？无明显关系。

4.关键提示：能否构造出包含AB且可能与已知三角形相似的三角形？连接BC。观察△ABC和△DBE？条件不足。

5.提供支架：实际上，此题的经典解法是利用两次相似或三角函数。但为紧扣本节定理，可改编条件：假设测得的是∠ACB和∠ADE相等，且知道AD、DE、AC的部分长度关系。

（为节省时间并确保聚焦本节课重点，教师可以直接呈现一个适配本节课定理的简化实际问题，例如测量金字塔高度或旗杆高度的经典模型，利用阳光下的影子构成相似三角形，其中包含两组边比例和夹角相等的条件。）

调整后的适配例题：

阳光下一个金字塔，测量者竖立一根2米长的木杆CD，测得它的影长DE为3米。同时测得金字塔底部一点B到塔尖A的影长端点F的距离BF为200米，金字塔底边长BC已知为120米（可视为等腰三角形），且∠ABC≈∠EDF（阳光可视为平行光）。估算金字塔的高度。

（此例中，通过平行光条件得到两组角相等，进而得到三角形相似，可以兼容AA定理，但教师可以侧重强调在已知部分边长比例和夹角信息时，本定理同样适用，并引导学生进行多思路解题。）

设计意图：本环节旨在提升思维层次，将定理置于综合性问题情境中。通过带有一定挑战性的实际问题，让学生体验数学建模的过程：从复杂现实中抽象出几何图形，识别和构造相似关系，综合利用知识解决问题。即使时间所限未能完全解决，其分析过程也具有重要价值。

第六环节：归纳反思，体系建构(预计时间：5分钟)

活动1：课堂小结

引导学生从以下方面进行总结：

1.知识内容：我们今天学习了哪个新的相似三角形判定定理？它的内容是什么？证明的关键是什么？

2.思想方法：在探索和证明定理的过程中，我们用到了哪些重要的数学思想？（类比思想、从特殊到一般、转化与化归思想）。

3.知识结构：到目前为止，我们学习了哪些相似三角形的判定方法？请将它们与三角形全等的判定方法进行对比，画出知识结构图（可课后完善）。

（相似判定：定义法、平行线法、AA、SAS、SSS（下节课内容）；全等判定：SSS、SAS、ASA、AAS、HL。指出全等是相似当相似比k=1时的特例）。

活动2：布置分层作业

1.必做题：教材课后练习对应习题；完成一份关于本定理证明思路和例题整理的学习笔记。

2.选做题/探究题：

1.3.尝试用不同于课本的方法（例如，在较小三角形的基础上进行延长构造）来证明本定理。

2.4.调研：在生活中（如摄影、工程制图、地图导航）还有哪些地方应用了图形相似“SAS”判定的原理？写一份简短的报告或举出实例图片说明。

3.5.（为下节课铺垫）思考：如果两个三角形的三组对应边的比都相等，它们是否一定相似？为什么？

五、教学评价设计

1.过程性评价：

1.2.课堂观察：关注学生在探究活动中的参与度、合作交流情况、操作规范性和思维活跃度。

2.3.问答反馈：通过课堂提问，即时诊断学生对定理条件和证明思路的理解程度。

3.4.学习