正弦与余弦课件北师大版数学九年级下册

2025-2026学年北师大版数学九年级下册第一章

直角三角形的边角关系1.1.2正弦与余弦复习导入1.如图，Rt△ABC中，tanA=

，tanB=

.ABC1.1.2正弦与余弦

教学过程一、教学基本信息-课题：1.1.2正弦与余弦（人教版初中数学九年级下册或北师大版初中数学九年级上册）-课时：1课时（45分钟）-授课对象：初中九年级学生-学情分析：学生已掌握直角三角形性质、勾股定理及正切的定义与应用，明确“用比值刻画锐角大小”的思想，具备一定观察推理能力，但对正弦、余弦与正切的区别联系及综合应用需重点引导。二、教学目标1.知识与技能：理解正弦、余弦的定义，掌握直角三角形中锐角正弦、余弦的表示方法；能根据边长求锐角的正弦、余弦值，或根据值与边长求另一边长；明确正弦、余弦与正切的区别与联系，了解其随锐角变化的基本规律。2.过程与方法：通过“复习迁移—探究验证—定义抽象—对比应用”的过程，深化“从特殊到一般”“数形结合”思想，提升几何直观与逻辑推理能力。3.情感态度与价值观：感受锐角三角函数在生活中的广泛应用，增强数学应用意识；通过合作探究，培养团队协作与语言表达能力。三、教学重难点-重点：正弦、余弦的定义及直角三角形中锐角正弦、余弦值的计算；正弦、余弦与正切的区别联系。-难点：理解正弦、余弦的本质是“锐角的函数”（值与锐角唯一对应，与边长无关）；灵活运用正弦、余弦解决实际问题及综合计算。四、教学准备-多媒体课件（包含情境图片、几何图形、练习题）-学生分组学具：含30°、45°、60°的直角三角形模型（每组各2个，边长不同但锐角对应相等）、刻度尺、计算器五、教学过程（一）复习迁移，导入新课（5分钟）-复习回顾：师：上节课我们学习了正切，谁能说说在Rt△ABC中，∠C=90°时，tanA的定义是什么？它刻画了角的什么特征？（生回答：tanA=∠A的对边/∠A的邻边，刻画倾斜程度）-情境延伸：课件展示屋顶斜面图，提问：除了倾斜程度，我们还可能关注屋顶斜面与水平面夹角的其他数量特征吗？比如用“对边与斜边的比”“邻边与斜边的比”能否刻画这个角的大小？-引出课题：师：今天我们就来学习直角三角形中另外两个重要的锐角三角函数——正弦与余弦。（板书课题）（二）探究新知，抽象定义（15分钟）1.类比正切，探究正弦比值规律-任务：每组拿出含30°的两个直角三角形（△ABC和△A'B'C'，∠C=∠C'=90°，∠A=∠A'=30°，边长不同），测量“∠A的对边”和“斜边”的长度，计算“对边长度/斜边长度”的比值，记录结果。-学生操作：分组测量、计算，教师巡视指导，提醒测量时保留一位小数。-成果展示：各小组汇报数据，教师板书。引导发现：虽边长不同，但“∠A的对边/斜边”的比值均为0.5，是固定值。-师：换用含45°、60°的直角三角形，测量“锐角对边与斜边的比”，会有类似规律吗？-学生活动：测量计算后汇报，发现：45°角的对边/斜边≈0.71，60°角的对边/斜边≈0.87，均为固定值。-师：类比正切，若将“锐角邻边与斜边的比”作为研究对象，是否也有固定规律？请用同样的三角形测量计算，验证猜想。（生操作后确认：锐角固定，邻边与斜边的比也固定）2.抽象定义，明确正弦、余弦表示-定义与板书：在Rt△ABC中，∠C=90°，把∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA；把∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA。板书：sinA=∠A的对边/斜边=BC/AB，cosA=∠A的邻边/斜边=AC/AB-重点强调：①sinA、cosA均为比值，无单位；②

下标“A”对应锐角，不可省略；③

明确“对边、邻边、斜边”的对应关系，结合图形标注；④

对比正切：tanA是“对边/邻边”，sinA是“对边/斜边”，cosA是“邻边/斜边”，三者均与锐角有关，与边长无关。3.探究性质，对比三者变化规律-师生互动：结合30°、45°、60°的sin、cos、tan值（课件展示），引导学生总结：在锐角范围内，sinA、tanA随锐角增大而增大，cosA随锐角增大而减小；且sinA、cosA的值始终在0到1之间（因为对边、邻边均小于斜边）。-即时小练：在Rt△DEF中，∠F=90°，∠D=50°，DE=10，DF=6，求sinD、cosD、tanD的值（生口答，师纠正）。1.基础题型：已知边长求sin、cos值-例1：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，求AB、sinA、cosA、sinB、cosB的值。-解题步骤：①

用勾股定理求斜边AB=√(3²+4²)=5；②

确定对应边：∠A的对边BC=4，邻边AC=3，sinA=BC/AB=4/5，cosA=AC/AB=3/5；③∠B的对边AC=3，邻边BC=4，sinB=AC/AB=3/5，cosB=BC/AB=4/5；④

引导发现：sinA=cosB，cosA=sinB（互余角的三角函数关系）。2.提升题型：已知sin/cos值与边长求边长-例2：在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=3/5，AB=10，求AC和BC的长度。-解题思路：①

由sinA=BC/AB=3/5，AB=10，得BC=10×3/5=6；②

用勾股定理求AC=√(AB²-BC²)=√(10²-6²)=8；③

拓展：求cosA和tanA的值（cosA=AC/AB=4/5，tanA=BC/AC=3/4）。3.实际应用：解决屋顶坡度问题（四）巩固练习，反馈提升（7分钟）-基础题：Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5，AB=13，求sinA、cosA、sinB、cosB。（生独立完成，同桌互查）（五）课堂小结，梳理知识（3分钟）-正切的定义：Rt△中，锐角的对边与邻边的比，记作tanA=对边/邻边；-正切的性质：锐角越大，正切值越大；-正切的应用：求边长、比较倾斜程度。（六）布置作业，分层落实（2分钟）六、板书设计七、教学反思（课后填写）-变式题：Rt△ABC中，∠C=90°，cosB=4/5，AC=6，求AB和BC的长。（引导用互余关系：cosB=sinA=AC/AB）-综合题：比较sin30°、cos45°、tan60°的大小（结合特殊角值计算，强化规律记忆）。-核心定义：Rt△中，∠C=90°，sinA=对边/斜边，cosA=邻边/斜边，tanA=对边/邻边；-关键性质：互余角（∠A+∠B=90°）：sinA=cosB，cosA=sinB；锐角增大时，sinA、tanA增大，cosA减小；-应用要点：先确定直角三角形及对应边，再选择合适的三角函数计算。-必做题：教材习题1.2第1、3、5题（巩固定义与基础计算）；-选做题：测量家中楼梯的倾斜角，计算该角的sin、cos、tan值，说明其实际意义。1.1.2正弦与余弦一、定义（Rt△ABC，∠C=90°）：sinA=∠A的对边/斜边=BC/ABcosA=∠A的邻边/斜边=AC/ABtanA=∠A的对边/∠A的邻边=BC/AC

（无单位，与锐角有关，与边长无关）二、性质：1.互余角：sinA=cosB，cosA=sinB2.变化：锐角增大，sinA、tanA增大，cosA减小3.范围：0<sinA<1，0<cosA<1三、例题：

例1：Rt△ABC，∠C=90°，AC=3，BC=4，AB=5sinA=4/5，cosA=3/5，sinB=3/5，cosB=4/5

例2：Rt△ABC，∠C=90°，sinA=3/5，AB=10BC=6，AC=8，cosA=4/5四、应用：解决实际测量与计算问题-学生对正弦、余弦与正切的区别是否清晰？哪些地方易混淆？-互余角的三角函数关系学生是否能灵活运用？-实际应用问题的引导是否充分？是否需要增加生活化案例？10┐ABC2.在Rt△ABC中，∠C＝90°，，AC＝10，求BC的长.解：ABC∠A的对边∠A的邻边斜边┌如图，当Rt△ABC中的一个锐角A确定时，它的对边与邻边的比便随之确定.此时，其它边之间的比值也确定吗？探究新知（1）Rt△AB1C1和Rt△AB2C2的关系是_________________.

（2）________.

（3）如果改变B2在斜边上的位置，

则__________.B1B2AC1C2探究活动1如图：Rt△AB1C1∽Rt△AB2C2B1B2AC1C2探究活动1思考：从上面的问题可以看出：当直角三角形的一个锐角的大小已确定时，它的对边与斜边的比值________，根据是___________________.随之确定三角形相似的性质它的邻边与斜边的比值呢？ABC∠A的对边∠A的邻边斜边┌在Rt△ABC中，如果锐角A确定，那么∠A的对边与斜边的比、邻边与斜边的比也随之确定.ABC∠A的对边∠A的邻边斜边┌概念归纳∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即ABC∠A的对边∠A的邻边斜边┌概念归纳ABC∠A的对边∠A的邻边斜边┌概念归纳锐角A的正弦、余弦、正切，都是∠A的三角函数.AC2C1B1探究活动2我们知道，梯子的倾斜程度与tanA有关系，tanA越大，梯子越陡，那么梯子的倾斜程度与sinA和cosA有关系吗？是怎样的关系？sinA的值越大，梯子越陡；cosA的值越小，梯子越陡.例2如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=200，sinA=0.6，求BC的长.ABC解:在Rt△ABC中,∴BC=AC·sinA=200×0.6=120.例题详解你还能求出cosC吗？对比sinA和cosC，你发现了什么？在其他直角三角形中是不是也一样呢？sinC与cosA呢？在直角三角形中，一个锐角的正弦等于另一个锐角的余弦.ABC规律小结在此图中，即：sinA=cosCsinC=cosA随堂练习1.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，

，

AC=10，AB等于多少？sinB呢？ABC解:在Rt△ABC中，2.在等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=6，求：sinB，cosB，tanB.ABC解：过A点作AD⊥BC，则BD=DC=3，AD=4.D3.在△ABC中，∠C=90°，

，BC=20，

求△