独立性检验问题课件-高二上学期数学北师大版选择性

第七章

统计案例

7.3独立性检验问题2025年5月31日是第38个世界无烟日.今年活动的主题是“拒绝烟草诱惑对第一支烟说不”.都说吸烟有害健康，那么吸烟和健康之间有因果关系吗？每一个吸烟者的健康问题都是由吸烟引起的吗？如果你认为“健康问题不一定是由吸烟引起的，那么可以吸烟”的说法对吗?吸烟与患肺癌是否有关系？分类变量是否吸烟是否患肺癌2.28%为调查吸烟是否对患肺癌有影响，某肿瘤研究所随机地调查了9965人，得到如下结果（单位：人）不患肺癌患肺癌总计不吸烟7775427817吸烟2099492148总计9874919965那么吸烟是否对患肺癌有影响？①初步估计：在不吸烟者中患肺癌的比重是___________；在吸烟者中患肺癌的比重是_____________.0.54%结论：吸烟群体和不吸烟群体患肺癌的可能性存在差异.这样列出的两个分类变量的频数表，称为列联表问题2：有多大把握认为吸烟和患肺癌有关？独立性检验由英国著名的统计学家，被公认为“现代统计学之父”的KarlPearson首创.

想要知道有多大的把握认为“吸烟与患肺癌有关”，可以先假设：H0：吸烟与患肺癌没有关系；用A表示不吸烟，B表示不患肺癌，则“吸烟与患肺癌没有关系”等价于“吸烟与患肺癌相互独立”，即假设

H0等价于

P(AB)=P(A)P(B)；把表中的数字用字母代替，得到如下用字母表示的列联表：B：不患肺癌患肺癌总计A：不吸烟aba

+b吸烟cdc

+d总计a+cb

+dn=a

+b

+c

+d有多大把握认为吸烟和患肺癌有关？

在表中，a恰好为事件

AB

发生的频数；a+b

和

a+c

恰好分别为事件

A

和

B

发生的频数；由于频率接近于概率，所以在

H0成立的条件下应该有：B：不患肺癌患肺癌总计A：不吸烟aba

+b吸烟cdc

+d总计a+cb

+dn=a

+b

+c

+d

其中，n=a+b+c+d为样本容量，则

(a+b+c+d)·a≈(a+b)·(a+c)，即

ad≈bc.注：(1)P(AB)的值与P(A)·P(B)的值差距越小，说明A、B越接近于独立，A、B越不相关，即A、B相互独立的可能性越大；(2)P(AB)的值与P(A)·P(B)的值差距越大，说明A、B越不独立，A、B越相关，即A、B相关联的可能性越大.因此|ad-bc|越小，说明吸烟与患肺癌之间关系越弱；|ad-bc|越大，说明吸烟与患肺癌之间关系越强.B：不患肺癌患肺癌总计A：不吸烟aba

+b吸烟cdc

+d总计a+cb

+dn=a

+b

+c

+d（2）为使不同样本容量的数据有统一的评判标准，我们构造一个随机变量

不患肺癌患肺癌合计不吸烟7775(a)42(b)7817(a+b)吸烟2099(c)49(d)2148(c+d)合计9874(a+c)91(b+d)9965(n)3.查

χ2

表：

χ2

独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值.α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828例如，对于小概率值

α=0.05，我们有如下的具体检验规则：（1）当

χ2

≥xα

=3.841时，我们就推断

H0不成立（数学结论），即认为

X

和

Y

不独立，该推断犯错误的概率不超过0.05（实际结论）；（2）当

χ2

<

xα

=3.841时，我们没有充分证据推断

H0不成立（数学结论），可以认为

X

和

Y独立（实际结论）4.根据检验规则得出推断结论：

χ2

=56.632≥6.635=x0.01；（4）结论：按

α

=0.01的独立性检验，我们推断

H0不成立

(数学结论)，即认为吸烟与患肺癌有关联关系，推断错误的概率不大于0.01(实际结论).

χ2

独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值.α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828独立性检验解决实际问题大致应包括以下几个主要环节：（1）零假设：提出零假设

H0：X和

Y相互独立，并在实际问题中解释；（2）计算

χ2

：根据抽样数据整理出2×2列联表，计算的值

χ2，并与临界值

χα

比较；（3）查临界值：根据检验规则得出推断结论；（4）下结论：在

X

和

Y

不独立的情况下，根据需要，通比较相应的频率，分析

X

和

Y

间的影响规律.独立性检验的思想类似于我们常用的反证法，试着指出二者之间的相同和不同之处？

例：某省进行新课程改革，为了解教师对新课程教学模式的使用情况，对某学校教师进行了问卷调查，共调查了

50人，其中有老教师

20人，青年教师

30人.老教师对新课程教学模式赞同的有

10人，不赞同的有

10人；青年教师对新课程教学模式赞同的有

24人，不赞同的有

6人.（1）根据以上数据建立一个2×2列联表；（2）试根据小概率值

α=0.01的独立性检验，分析对新课程教学模式的赞同情况与教师年龄是否有关系.解：（1）2×2列联表

如下表所示：教师年龄对新课程教学模式合计赞同不赞同老教师101020青年教师24630合计341650（2）试根据小概率值

α=0.01的独立性检验，分析对新课程教学模式的赞同情况与教师年龄是否有关系.（2）零假设H0

(相互独立)：对新课程教学模式的赞同情况与教师年龄无关.由公式得

χ2

≈4.963<6.635=x0.01，根据小概率值

α=0.01的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立（数学结论），即认为对新课程教学模式的赞同情况与教师年龄无关（实际结论）.教师年龄对新课程教学模式合计赞同不赞同老教师101020青年教师24630合计341650练一练：某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到如下列联表：能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？顾客性别与满意评价列联表附：

α0.10.050.01xα2.7063.8416.635满意不满意合计男顾客401050女顾客302050合计7030100

顾客性别与满意评价列联表附：

α0.10.050.01xα2.7063.8416.635满意不满意合计男顾客401050女顾客302050合计7030100回顾：结合本课所学，说说用独立性检验解决实际问题的一般步骤.（1）零假设：提出零假设

H0：X和