人教版初中数学九年级下册《27.3 位似（第1课时）：定义与作图》教案

人教版初中数学九年级下册《27.3位似（第1课时）：定义与作图》教案

一、课程基本信息与设计理念

（一）课程信息定位

本课内容选自人民教育出版社《义务教育教科书·数学》九年级下册第二十七章“相似”中的第27.3节“位似”。位似是相似图形的特殊情形，也是继图形的全等、相似之后，初中阶段“图形与几何”领域学习的又一个核心变换概念。它不仅是相似知识的深化与应用，更是连接初等几何与高等几何（如射影几何）的重要桥梁，在测量、绘图、计算机图形学、艺术设计等领域具有广泛的实际应用价值。

（二）设计理念与指导思想

1.核心素养导向：本节课的设计严格遵循《义务教育数学课程标准（2022年版）》的要求，以发展学生核心素养为目标。着重培养学生的几何直观（通过观察、操作感知位似图形的特征）、空间观念（在二维平面上构想图形的位置与缩放关系）、推理能力（从具体实例中抽象概括位似定义，并依据定义进行作图与论证）和模型思想（将位似视为一种重要的几何变换模型）。

2.建构主义学习观：尊重学生的主体地位，创设从生活实际到数学抽象、从特殊案例到一般定义的认知路径。通过问题链驱动，引导学生自主观察、比较、归纳、概括，主动建构位似图形的概念体系。

3.跨学科视野融合：打破学科壁垒，有机融入物理学（透镜成像原理）、地理学（地图与比例尺）、信息技术（图像缩放算法）、艺术（透视与素描）等领域的相关情境，展现数学作为基础科学的工具性与文化性，提升学生的综合素养和跨学科理解能力。

4.技术赋能教学：合理运用现代教育技术，如动态几何软件（GeoGebra）、交互式白板、实物投影等，动态演示位似图形的生成过程，突破静态图像的局限，帮助学生直观理解“对应点连线交于一点”的核心特征，化解教学难点。

二、教材分析与学情研判

（一）教材深度解析

1.知识结构脉络：本章节知识结构清晰，呈现递进关系。学生在八年级已经学习了“全等三角形”，在本章前两节系统学习了“图形的相似”与“相似三角形”，掌握了相似多边形的定义、性质及判定。本节“位似”在此基础上，引入“位似中心”和“位似比”两个核心要素，将相似图形的位置关系具体化、特殊化。它是相似知识的自然延伸和深化应用，也为后续高中学习“平面向量”、“仿射变换”乃至大学的“射影几何”埋下伏笔。

2.内容处理匠心：教材通过一组图片（如放映机成像）引入，直观呈现位似现象，然后给出严谨的数学定义。在画法部分，教材提供了在位似中心同侧和异侧两种情形下的作图示例，并引导学生探究位似图形与相似图形、位似比与相似比之间的关系。教材编排体现了从感性认识到理性认识，从具体操作到抽象思维的认知规律。

3.教学价值挖掘：本节课的价值不仅在于掌握一个定义和两种画法，更在于：

1.4.思维层面：学习从“定性”（相似）到“定量+定位”（位似）的数学刻画方法，体会数学定义的精确性与普适性。

2.5.方法层面：掌握利用位似中心进行放缩作图的尺规作图技能，这是重要的几何基本技能。

3.6.应用层面：理解位似是建立数学模型解决实际问题（如绘制放大图、设计图案）的有效工具。

（二）学情精准研判

1.认知基础：九年级学生已具备较强的抽象逻辑思维能力，掌握了相似多边形的基本概念和性质，能够识别相似图形并计算相似比。具备基本的尺规作图能力和利用坐标系描述图形位置的经验。

2.潜在难点：

1.3.概念理解：容易混淆“位似”与“相似”，难以准确把握“对应点连线相交于一点”这一核心的、本质的特征，而过分关注图形的“放大缩小”表象。

2.4.作图理解：对于位似中心在图形内部、外部、边上等不同位置，以及位似比k>1、0<k<1、k<0（异侧位似）等多种情况，容易产生思维混乱。特别是理解“反向位似”（异侧，k为负）是教学中的一大难点。

3.5.数学语言：用严谨的数学语言（文字、图形、符号）表述位似的定义和性质可能存在困难。

6.学习心理：学生对富有视觉冲击和实际应用背景的内容兴趣浓厚，但面对抽象的几何定义和严密的逻辑推演可能产生畏难情绪。需要通过层层递进的活动设计，维持其探究热情，体验成功。

三、教学目标与重难点

（一）教学目标

基于以上分析，确立以下三维教学目标：

1.知识与技能：

1.2.理解位似图形的概念，掌握位似图形的本质特征（对应点连线交于一点）。

2.3.能准确区分位似图形与相似图形，理解位似是相似的特殊情况。

3.4.掌握以一点为位似中心，按给定相似比放大或缩小已知图形的作图方法（包括同侧和异侧两种情况）。

4.5.能利用位似的定义和性质解决简单的几何问题和实际问题。

6.过程与方法：

1.7.经历从生活实例中抽象出位似图形共同特征的过程，体会数学抽象的思想。

2.8.通过动手画图、观察比较、合作交流，归纳概括出位似图形的定义，发展归纳概括能力。

3.9.在探索位似图形画法的过程中，体会分类讨论、数形结合、从特殊到一般等数学思想方法。

4.10.尝试运用位似知识解释或解决跨学科情境中的简单问题。

11.情感、态度与价值观：

1.12.通过欣赏自然界和人文艺术中的位似图案（如雪花、分形、透视画），感受数学的对称美、和谐美与应用价值，激发学习兴趣。

2.13.在探究活动中培养勇于探索、合作交流、严谨求实的科学态度。

3.14.体会数学与生活、科技、艺术的紧密联系，增强应用意识与创新意识。

（二）教学重难点

1.教学重点：位似图形的概念及其核心特征；位似图形的画法。

2.教学难点：位似概念中“对应点连线交于一点”这一本质特征的抽象与理解；位似中心在任意位置时，按给定相似比进行图形放大或缩小的作图（特别是异侧位似）。

四、教学准备

1.教师准备：多媒体课件（内含丰富的位似图片、GeoGebra动态演示文件）、三角板、圆规、直尺、实物投影仪、绘制好网格的学案。

2.学生准备：三角板、圆规、直尺、练习本、网格纸。

五、教学过程实施（核心环节，详细展开）

第一环节：创设情境，激趣引新（预计用时：8分钟）

活动1：视觉感知，发现共性

1.多媒体展示一组精心选取的图片：

1.2.情境A（物理科技）：放映机将胶片上的图像投射到银幕上的动画过程。

2.3.情境B（地理信息）：同一区域不同比例尺的两幅地图（如1:10000和1:50000）。

3.4.情境C（艺术创作）：画家运用透视原理绘制的铁路轨道伸向远方的素描图。

4.5.情境D（生物形态）：一棵树的分支结构与整棵树形状的微观与宏观对比照片。

6.问题链驱动思考：

1.7.“观察这四组图片，每组中的两个图形之间有什么共同的关系？”（引导学生回顾：它们是相似的。）

2.8.“除了形状相同，每组中两个图形的位置摆放有什么特别之处吗？请尝试描述它们之间的位置关系。”（鼓励学生用语言描述，如“一个好像是把另一个放大/缩小后放在某个点周围”、“它们好像从一个点发射出来”、“对应点好像能连到同一个点上”。）

3.9.关键提问：“你能在每组图中找到一个特殊的点吗？使得一个图形上的点与另一个图形上的对应点都与这个点在同一条直线上？”（教师可在动态演示中，用GeoGebra高亮显示“放映灯泡”、“地图缩放中心”、“透视灭点”等，并动态连接几组对应点，显示其交点。）

设计意图：从多学科、多领域的现实情境出发，激活学生的已有经验（相似），并引导其关注相似图形间一种特殊的位置关系。动态演示将隐含的“交点”显性化，为学生发现和归纳位似特征提供强有力的直观支持，激发探究欲望。

第二环节：合作探究，建构概念（预计用时：15分钟）

活动2：操作实验，归纳特征

1.动手画图：学生在网格纸上完成以下任务。

1.2.任务一：任画一个△ABC。在△ABC外任取一点O。连接OA，在射线OA上取点A‘，使OA’=2OA。同理得到B‘、C’。连接A‘B’、B‘C’、C‘A’，得到△A‘B’C‘。

2.3.任务二：改变点O的位置（可尝试在△ABC内部、边上），重复上述操作。

3.4.任务三：在任务一的基础上，在射线OA的反向延长线上取点A‘’，使OA‘’=2OA。同理得到B‘’、C‘’。连接得到△A‘’B‘’C‘’。

5.观察与思考（小组讨论）：

1.6.△ABC与△A‘B’C‘、△A‘’B‘’C‘’分别是什么关系？（相似）

2.7.测量并比较对应边的比（如A‘B’/AB），你有什么发现？（比值相等，等于2）

3.8.核心探究：连接AA‘、BB’、CC‘，观察这三条线有什么特点？改变点O的位置后，这个特点还成立吗？对于△A‘’B‘’C‘’，连接AA‘’、BB‘’、CC‘’，情况又如何？

4.9.尝试用语言概括你所发现的图形（△ABC与△A‘B’C‘或△A‘’B‘’C‘’）之间的特殊关系。

10.抽象与定义：

1.11.各小组汇报发现，教师引导、修正和提炼关键词：对应点、连线、相交于一点O、对应边平行或在同一直线上、比值相等。

2.12.教师利用GeoGebra，动态验证学生发现：任意拖动原图形的顶点或位似中心O，对应点连线始终交于O点，且对应线段之比恒定。

3.13.给出严谨定义（板书）：

如果两个相似多边形对应顶点的连线相交于一点，并且对应边平行（或在同一直线上），那么这样的两个图形叫做位似图形，这个交点叫做位似中心。这时，相似比又称为位似比。

4.14.深化理解：

1.5.15.“对应边平行”是“对应点连线交于一点”的必然结果吗？引导学生通过几何推理初步感知其联系。

2.6.16.强调定义的两个关键条件：①相似；②对应点连线交于一点。二者缺一不可。

3.7.17.介绍同侧位似（如△ABC与△A‘B’C‘，对应点位于位似中心同侧）和异侧位似（如△ABC与△A‘’B‘’C‘’，对应点位于位似中心两侧）。异侧位似时，位似比通常记为负值（k<0），但初中阶段更关注其绝对值（相似比的大小）。

设计意图：通过学生亲身画图、测量、观察，将上一环节的直观感知转化为具体的数学操作。网格纸降低了作图难度，使学生能专注于图形关系的探究。小组讨论促进思维碰撞，语言概括锻炼数学表达能力。GeoGebra的动态验证，将有限的静态实例提升为普遍的动态规律，帮助学生完成从具体到抽象的概念建构过程，深刻理解位似的本质。

第三环节：剖析辨析，深化理解（预计用时：10分钟）

活动3：概念辨析与关系梳理

1.辨析判断题（抢答或小组竞赛形式）：

1.2.两个位似图形一定是相似图形。（√）

2.3.两个相似图形一定是位似图形。（×）反例：两个大小不同的正五边形，随意摆放。

3.4.位似中心一定在图形外部。（×）演示位似中心在图形内部、边上的情况。

4.5.位似比等于1时，两个图形全等且关于位似中心对称。（√）此时位似实为中心对称。

5.6.位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比都等于位似比。（√）

7.关系图构建（师生共同完成板书）：

图形关系

├──全等（特殊）

└──相似（一般）

└──位似（特殊：满足特定位置关系）

强调：位似是相似的特殊情况，相似是位似的必要条件。所有的位似图形都相似，但相似的图形不一定位似。

8.回归情境：请学生用刚学的位似知识，解释导入环节中四组图片的数学本质。例如，放映机成像中，胶片与银幕上的图像是位似图形，灯泡的位置就是位似中心。

设计意图：通过辨析正反例，澄清概念的内涵与外延，特别是厘清“位似”与“相似”的包含关系，突破易混点。构建知识关系图，将新知纳入已有的认知结构，促进知识系统化。回归情境，实现知识的迁移与应用，完成从“生活—数学—生活”的认知闭环。

第四环节：掌握画法，形成技能（预计用时：12分钟）

活动4：探索位似图形的作图方法

1.问题导向：“根据位似的定义，我们如何把一个图形放大或缩小成它的位似图形呢？关键是确定什么？”（引导学生得出：关键是确定位似中心和位似比。）

2.探究画法：

1.3.情形一：位似中心在图形外（同侧位似）。

1.2.4.示例：已知四边形ABCD和位似中心O，求作四边形ABCD的位似图形，使位似比为2:1（放大）。

2.3.5.教师引导分析：作图依据是定义：连接关键点（顶点）与O，并按要求比例截取。

3.4.6.师生同步作图（教师板演，学生跟随）：

(1)连接OA，在射线OA上截取OA‘=2OA。

(2)同理，作出点B’、C‘、D’。

(3)顺次连接A‘、B’、C‘、D’，所得四边形即为所求。

4.5.7.变式思考：若位似比为1:3（缩小），如何作图？（截取OA‘=(1/3)OA）

6.8.情形二：位似中心在图形外（异侧位似）。

1.7.9.提问：如果想让放大后的图形与原图形在位似中心的两侧呢？

2.8.10.学生尝试：请学生类比情形一，自行尝试作图（位似比仍为2:1）。

3.9.11.展示交流：请学生上台演示，关键步骤：连接OA，在射线AO的反向延长线上截取OA‘’=2OA。同理得其他点。

4.10.12.总结：异侧位似作图，只需将截取线段的射线改为反向延长线即可。

13.方法归纳（板书作图步骤）：

1.14.确定位似中心和位似比（k）。

2.15.分别连接位似中心和原图形的关键点（如多边形顶点）。

3.16.根据位似比k，在位似中心与各关键点连线的射线（k>0，同侧）或反向延长线（k<0，异侧）上截取对应点，使新点到位似中心的距离与原点到位似中心的距离之比等于|k|。

4.17.顺次连接这些对应点，得到放大或缩小后的图形。

18.技术演示：用GeoGebra软件，动态调整位似中心的位置（拖动点O到四边形内部、边上）、调整位似比k（从负值到正值），实时生成各种位似图形，让学生直观感受作图的普适性。

设计意图：将定义直接转化为作图方法，体现数学知识的工具性。通过两种基本情形的对比教学，引导学生掌握分类讨论的数学思想。由教师示范到学生尝试，再到方法归纳，循序渐进地培养学生的尺规作图技能和空间想象能力。技术演示将各种可能情况一体化呈现，拓展学生视野，深化对作图原理的理解。

第五环节：分层演练，巩固提升（预计用时：10分钟）

活动5：阶梯式课堂练习

1.基础巩固层（全体必做）：

1.2.教材课后练习第1题：判断给出的各组图形是否是位似图形。若是，指出位似中心。

2.3.已知△ABC和位似中心O，位似比为1:2，请画出缩小的同侧位似图形△A‘B’C‘。

4.能力提升层（大部分学生完成）：

1.5.如图，△ABC与△ADE是位似图形，BC//DE。已知BC=4cm，DE=6cm，△ABC的面积为8cm²。求：(1)位似比；(2)△ADE的面积。

1.2.6.设计意图：综合考查位似识别、性质（对应边平行、面积比等于相似比的平方）的应用。

3.7.在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍。若点A坐标为(2,3)，则其对应点A‘的坐标可能是什么？你能找到几个？

1.4.8.设计意图：为下节课“位似与坐标”埋下伏笔，渗透分类思想（同侧与异侧对应不同的坐标变化）。

9.思维拓展层（学有余力者选做）：

1.10.挑战题：已知一个五角星图案，请设计一种方法，利用位似原理，将它精确地放大一倍。描述你的步骤。

2.11.跨学科联想：试分析照相机的变焦过程、显微镜观察细胞，与位似变换有什么联系和区别？

活动实施：学生独立练习，教师巡视指导，重点关注学困生的作图过程和理解情况。对于提升层和拓展层问题，可组织小组内或全班范围的交流讨论，由学生讲解思路，教师点评升华。

第六环节：反思小结，升华认知（预计用时：5分钟）

活动6：课堂总结与展望

1.知识梳理：引导学生从“是什么”、“怎么画”、“有何用”三个方面回顾本节课。

1.2.是什么：位似图形的定义、核心特征（对应点连线交于一点）、位似中心、位似比、同侧与异侧。

2.3.怎么画：确定位似中心和位似比，连线、截取、连接。

3.4.有何用：解释成像、绘图、模型缩放等实际问题。

5.思想方法：本节课我们用到了哪些数学思想方法？（观察归纳、抽象概括、分类讨论、数形结合、从特殊到一般）

6.情感收获：分享一个让你印象最深的关于位似的生活实例或学习瞬间。

7.布置作业：

1.8.必做题：教材习题27.3第2、3题。

2.9.选做题/实践作业：

(1)利用位似原理，为你家的某个房间或小区的一块空地，设计一个简单的比例缩放平面图。

(2)搜集生活中、自然界中或艺术作品中的位似图案，拍成照片或画下来，并尝试用数学语言描述它们。

3.10.预习作业：阅读教材下一部分内容，思考：在平面直角坐标系中，如何更简洁地描述和进行位似变换？

设计意图：通过系统化的梳理，帮助学生构建清晰的知识网络。总结数学思想方法，提升思维层次。分享情感收获，关注学习体验。分层作业设计，兼顾巩固与拓展，实践作业旨在加强数学与生活的联系，培养应用能力和创新意识。

六、板书设计

主板书：

27.3位似（第一课时）

一、定义：

两个相似图形，如果对应顶点的连线相交于一点，

那么这两个图形叫做位似图形，这个交点叫做位似中心。

（相似+对应点连线交于一点）

二、核心特征：

1.对应点连线交于一点（位似中心O）。

2.对应边平行（或在同一直线上）。

3.任意对应点到位似中心的距离之比等于位似比|k|。

三、分类：

同侧位似(k>0)异侧位似(k<0)

四、作图步骤（以放大为例，k=2）：

1.定心(O)、定比(k)。

2.连心线(OA,OB...)。

3.截取(OA'=2OA，射线/反向延长线)。

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