山东菏泽市单县第一中学2026届高三第二学期一模综合测试数学试题（含答案）

2025—2026高三第二学期一模综合测试数学试题一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若集合A={−1,0,A.{−1,C.{−2,−2.已知复数z=2+i，设z,z在复平面内对应的向量分别为aA.5B.3C.5D.33.已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左、右顶点分别为A,B，点P是C上异于A.y=±12xB.y4.某智慧交通管理平台为优化城市主干道通行效率,实时监测并记录各路口信号灯的运行模式.每个时段(例如早、晚高峰或特定监控周期)的运行模式对应一个代码(如下表):运行模式代码绿波协调0红灯截流控制1区域协调-1现按时间顺序记录某路口5个时段的运行模式,如编码0,1,0,−1,1表示5A.40B.51C.131D.2105.已知空间中三条直线a,b,c与平面α分别交于不同的三点A,B,C,则“A,A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.若函数fx=lnx+a+x2是定义在A.−2,1B.0,7.如图，在一个底面边长为4，侧棱长为210的正四棱锥P−ABCD中，大球O1内切于该四棱锥,小球O2与大球O1A.23πB.26π8.若过P2,t可作曲线y=x3−x的三条切线,切点的横坐标分别为A.−5,0B.−4二、多选题:本题共3小题,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.9.下列结论正确的是()A.若随机变量X∼N3,1,且B.在回归分析中,残差图中残差比较均匀地分布在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域内,且宽度越窄表示拟合效果越好C.对a,b两个变量进行相关性检验,得到相关系数为-0.8728,对m,n两个变量进行相关性检验,得到相关系数为0.8278,则a与b负相关,m与n正相关,其中m与D.一组数1,2,2,2,3,3,3,4,5,6的第80百分位数为4.510.如图,已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2,点P是侧面BCC1B1A.平面D1EFB.平面D1EF⊥C.若μ=0,则PE+PDD.若AP=5，则点P的轨迹长度为11.如图,曲线y=x下有一系列正三角形,设第n个正三角形Qn−1QnPnQ0为坐标原点)的边长为an,数列A.aB.数列anC.数列1Sn的前n项的和为D.若m,n,p∈N∗三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.12.设某死亡生物经过t年后,其机体内碳14所剩的质量Ct=C012t5730(C0为碳14的初始质量).当该死亡生物经过11460年，其机体内碳14所剩质量与原有质量的比值为_____；当其机体内碳13.若函数fx=asinx−bcosxa>14.数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中,揭示了规律性,是一种科学的真实美.在平面直角坐标系中,曲线C:x2+y2=2x+2y就是一条形状优美的曲线,若四、解答题15.在钝角三角形ABC中,内角A,B,C所对的边分别为(1)若c=2a，求(2)若△ABC的面积S=32a216.已知函数fx(1)若a<0，求f(2)若存在a∈−3,−1，对任意x∈12,117.如图,在三棱柱ABC−A1B1C1中，四边形AA1B1B是正方形，AB=BC(1)证明:AC1//平面(2)求平面MB1C与平面18.某人工智能实验室测试一款新型深度强化学习智能体,每次测试中,智能体会随机接受A类或B类任务,每次测试相互独立.已知每类任务出现的概率均为12,且智能体成功完成类任务的概率为12,B类任务的概率为13.记成功完成A类任务得1分,B类任务得(1)求智能体经过1次测试后得2分的概率；(2)记智能体经过n次测试后的总得分为X.(i)若n=2,求在X≥3的条件下,第(ii)求EX附:若Xi为随机变量,则E19.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>(1)求C的方程；(2)过点E0,−35的直线交C于M，(i)求证:以MN为直径的圆过定点;(ii)当直线MN的斜率存在时,记△AMN的外接圆和内切圆的半径分别为R,r,且2r+R1.C易知x2+2x−3<0⇒−由集合中元素的互异性可得A∪故选:C.2.B复数z=2+i,则所以a=故a⋅故选:B3.B由题知A−a,0,点P是C上异于A,B的一点,故x02因为kPA所以kPA因为直线PA,PB的斜率之积为C的离心率的22倍,离心率所以b2令b2a2=t即2t2−t−1=0,解得t=1或所以C的渐近线方程为y=±故选:B4.B出现绿波协调3个的可能种数有:C5出现绿波协调4个的可能种数有:C5出现绿波协调5个的可能种数有:C5则出现绿波协调不少于3个的所有可能种数为40+故选:B5.B如图所示,空间中三条直线a,b,c与平面α且A,B,C三点共线,但直线所以“A,B,C三点共线”是“直线若直线a,b,c共面,设其为β,则A,B,C均在平面则A,B,C在平面β与α的交线上,所以所以“A,B,C三点共线”是“直线所以“A,B,C三点共线”是“直线故选:B.6.A因为fx=lnx+a+所以f0=lna=0,解得a令gx=x+1因为1+x2>x,所以1+即gx在R上单调递增,又y=lnx是增函数,所以fx在因为fx2+fx又fx=lnx+1+x2故选:A.7.A正四棱锥的底面边长为4,侧棱长为210,所以斜高为2102−2设底面中心为O,AD的中点为M,如图,截面POM中,设N为球O1与平面PAD的切点,则N在PM上,且设球O1的半径为R,则O因为sin∠MPO=OMPM=26=1所以PO=PO1+设球O1与球O2相切于点Q,则PQ=PO−2R=2R同理可得PQ=4r,所以r=R2=22故选:A8.B设切点坐标为m,m3−m,曲线y=x3−x的切线方程为y=3m令fm令f′m=0,则m=当m∈−∞,0和m∈2,+∞时,f′m>0,当m∈0,2时,所以函数在m=0和m=2处分别取得极大值和极小值,要想函数fm有三个不同零点,此时fm对比可得x1故选:B.9.ABD由题意得μ=则PX>4=PX>μ表明数据越集中,模型的拟合效果越好,故选项B正确;∵−0.8728<0<0.8278∴a与b负相关,m与n正相关,且a与b的相关性更强,故选项C对于D,80%×10=8,所以一组数1,2,2,2,3,3,3,4,5,6的第80百分位数为第8个数字和第9个数字的平均值,即故选:ABD.10.BD对A:作出过D1EF延长D1E和DA的延长线交于点M,延长D1F和DC因为E为AA1中点,所以A为MD中点,同理C为DN则AB=12DN,AB//DN，即连接MN,则MN过点B,连接BE,BF,则四边形D1EBF为过点所以平面D1EF截该正方体所得的截面是四边形,故A对B:连接AC,BD因为ABCD−A1B1C1D1为正方体，E又AC⊥BD,AC⊥BB1,BD,BB1⊂平面所以EF⊥平面BDD1B1,又EF⊂平面D1EF,所以平面D对C:当μ=0时,BP=λBB10≤λ所以PE≥AB=2,λ所以PE+PD>2+所以PE+PD的最小值为不可能为17，故对D:因为AP2=AB2+所以P点轨迹是以B为圆心,1为半径的圆周的14所以P点轨迹长度为:14×2π=π2故选:BD11.ABD对于A,由题意可知△Q0P1Q1为等边三角形,如图,OQ1=a1,则同理P2a1+12a2,32a2,可得32a2=a1+12a2,解得a2=43(负值舍去),故A正确;由Pn+1在曲线上,可得34a当n≥2时,由Sn=3两式相减可得an化为an+1+anan+1−an所以数列an是首项和公差均为23的等差数列,所以an=23对于C,由于an=23n则1S所以1S1+1对于D,因为SS由m+nmn≤所以Sm⋅Sn≤S故选:ABD12.1已知公式Ct=C012C11460=C01已知CtC0=24,即C012因为24=212根据指数的性质,可得t5730=32故答案为:1413.−由题意得:a2a2+b2=所以fx则fπ故答案为:−14.11曲线C:当x≥0,y≥0时,曲线当x≤0,y≥0时,曲线当x≥0,y≤0时,曲线当x≤0,y≤0时,曲线作出曲线如图:Ta,b到直线4x+3y则4a+3b−18即为5d,要求得只需考虑x≥0当x≥0,y≥0时,曲线曲线为圆心为1,1,半径为2而1,1到直线4x+3y−由圆的性质得曲线C上一点到直线4x+3y−18=故4a+3b−18故答案为:11−15.13(2)cb(1)∵m⊥∴sinBcosC−2∵钝角三角形ABC中,所以cosC∴sinB=2sinA∵c∴cosC=a2+b2−c(2)由(1)可知b=2a∴S∴sinC∵C∴C=π3当C=2π3时，c2=a当C=π3时,此时b=2a,c=32b,所以综上,cb的值为716.(1)单调递减区间为−1a,+∞(2)-2(1)由题意可知x>令f′x=0令f′x>0,得0<x<−1a所以fx的单调递减区间为−1a,+∞(2)令gx=fx+1令hx=ax2+x−1所以gx在12要使得对任意的x∈1所以b≤gxmin因为存在实数a∈−3,−1所以b≤a−1max所以b的最大值为-2.17.(1)设B1C∩BC易知四边形BCC1B1是平行四边形,故N为BC1的中点,又M因此MN//又AC1⊄平面MB1C且故AC1//平面(2)因为BB1=AB=BC,故四边形所以△BCC1为等边三角形,故又AB=1故AB2+BC又因为AB⊥BB1且故AB⊥平面BC取P为CC1的中点,连接BP,则因此BP,B以点B为坐标原点,分别以BP,BB1,BABCM设平面MB1C的一个法向量为由CM⋅n1=0令y1=1,xB设平面A1BC1的一个法向量为n2=x2,令x2=1,y设平面MB1C与平面A1BC则cosθ所以平面MB1C与平面A1B18.1(2)(i)38(ii)(1)记“智能体经过1次测试后得2分”为事件C,由题意得PC(2)(i)记“智能体2次测试总得分至少为3分”为事件M，“第一次测试得1分”为事件N,智能体接受并成功完成A类任务的概率为12所以智能体2次测试总得分为3分的概率为2×2次测试总得分为4分的概率为16所以PM所以PN(ii)设第i次的得分为Xi,则XiPP所以EX所以EX19.(1)由题意得b=1ca=32a2=b2+(2)(i)因为椭圆关于y轴对称，过点E的任意一条直线均有一条直线与之关于y轴对称，所以以MN为直径的任意一个圆都存在另一个圆与之关于y轴对称,所以MN为直径的圆过定点,则由对称性可知该定点必在y轴上,设为