山东青岛第五十八中学2026届高三下学期一模调研检测数学试题（含答案）

山东青岛第五十八中学2026届高三下学期一模调研检测数学试题全卷满分150分,考试用时120分钟.注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后,将本试卷与答题卡一并交回.一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.1+x7的展开式中xA.1B.7C.21D.422.已知集合A={−1,0,A.{0}B.{0,3.设非零向量a,b,c，满足a=b=c，A.150∘B.120∘C.604.已知函数fx=x3+2ax2+A.-3B.-1C.1D.35.已知正项等差数列an的前n项和为Sn,S9=45A.20B.25C.40D.506.将函数y=sin2x+π3的图象按向量a平移后所得的图象关于点−πA.−π12,0B.−7.已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点分别为F1,F2A.3+12B.3C.8.有四根长都为2的直铁条,若再选两根长都为a的直铁条,使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架,则a的取值范围为()A.0,6+2B.1二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.复数z1,z2满足A.z1⋅C.zD.z10.函数fx=sinxA.B.C.D.11.已知圆C过抛物线Γ:y2=2pxp>0A.圆C面积的最小值为45B.圆C与抛物线Γ的公共点个数为3C.若圆C与抛物线Γ还有另外两个交点P、Q,则P、D.若圆C与抛物线Γ还有另外两个交点P、Q,则直线PQ三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.若sinα−cosβ=213.已知曲线y=ex−1与曲线y14.组合数学常应用于计算机编程,计算机中著名的康威生命问题与开关问题有相似的地方.下图为一个开关阵列,每个开关只有“开”和“关”两种状态,按其中一个开关一次,将导致自身和周围所有相邻的开关改变状态,例如,按2,2将导致1,2,2,1(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)(3,1)(3,2)(3,3)四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.如图,正方体ABCD−A1(1)证明:A1C1//平面(2)求平面ABCD与平面ACD1(3)求点B1到平面ACD16.设函数fx(I)讨论fx的导函数f′(II)证明:当a>0时17.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c(2)若a=2,c=5,AC,(i)求BE;(ii)求cos∠EMF18.箱中装有大小相同的黄、白两种颜色的乒乓球,黄、白乒乓球的数量比为s:(1)求取球一次分别取到黄球、白球的概率(2)现从箱中每次任意取出一个球，若取出的是黄球则结束，若取出的是白球，则将其放回箱中，并继续从箱中任意取出一个球，但取球的次数最多不超过n次，以ξ表示取球结束时已取到白球的次数.(i)求ξ的分布列;(ii)求ξ的数学期望.19.已知半椭圆x2a2+y2b2=1x≥0与半椭圆y2b2+x2c2=1x≤0(1)若三角形F0F1F(2)若AA1>B1B(3)一条直线与果圆交于两点，两点的连线段称为果圆的弦.是否存在实数k，使得斜率为k的直线交果圆于两点,得到的弦的中点的轨迹方程落在某个椭圆上?若存在,求出所有k的值;若不存在,说明理由.1.C1+x7展开式中x2故选:C.2.B由lnx+1<1又A={−1,0,故选:B3.B由等式a+b=c则a2+2a⋅b+b2cos⟨a,b⟩=a故选:B.4.B函数求导得f′由题意知f′则a+1a+3=0,解得当a=−1时,由f′x>0⇒x<13所以函数fx在13,1上单调递减,在所以函数fx在x=当a=−3时，f由f′x>0⇒x<1所以函数fx在−∞,1上单调递增,在1所以函数fx在x=∴满足条件的是a=−5.B由题意得S9=92a由等差中项的性质可得2a5=a1∴a由题意知a2根据基本不等式a2a8≤a2∴a2a6.C设平移向量a=my=sin2x−m+故x=−π12代入得:k=0时,故选:C.7.C显然直线y=3x与F1F由双曲线对称性知,若四边形AF1BF2设点Ax1,y由y=3xx2a2−y则AB=则4abb2−3a2=2c解得b2则e=故选:C.8.A根据两根长都为a的直铁条的相对位置,将底面三角形的三边长分为两种情况:①当底面是边长为2的正三角形,三条侧棱长为2,a,a，即两根长都为a的直铁条相邻，取BC中点为D,连接由正三角形可知,AD=在△ADS中,由于SA−AD<SD解得6−②当底面三角形边长分别为a,2,2，三条侧棱长为a,2,2，即两根长都为a的直铁条不相邻，取AB中点为由△ABS,△ABC为等腰三角形,得在△SCD中，SD+CD>SC，即24综上所述，a的取值范围是0,6故选:A.9.ABD依题意得,复数z1,z2是方程x2−4x+8解得x=4±4i所以z1⋅z2z1−z2z1+z2z1z2=故选:ABD.10.AC函数fx其中tanφ因为a≠0,所以又函数fx是由y=1+a2AC符合题意,故选:AC11.AC因为点A1,2在抛物线所以22=2p,解得p=2对于A,因为圆C过抛物线上的两点A1则以AB为直径时,圆的面积最小,半径r=此时圆C的面积为π×3522=对于B,直线AB方程为y=−线段AB中垂线方程为y=12x−94,与当圆心坐标为92,0时,根据对称性,可知圆C与抛物线Γ的公共点个数为4,故对于D,由已知可知直线PQ的斜率存在,设为k,则直线PQ的方程设为y=设过A,B,P,方程左边xy的系数为k−因为A,B所以k−2=0,即k=2对于C,直线PQ的方程为y=2x+m,与得y2−2y+2m=0,设P,Q的纵坐标为y15由题意可得,sinαcos两式相加得,2+2cosαsin故答案为:513.1由已知曲线y=ex−1得方程ex−1=a则lnx+1>0故a=ex−1则f′而ux=1+lnx−1x所以当x∈1e,1当x∈1,+∞时,故fx而当x→1e时,fx→+∞;当x所以a=故答案为:114.5根据题意可知:只有在1,1假设开始按动前所有开关均为闭合状态,要只改变1,1的状态,在按动1,1后,下一步可同时恢复或逐一恢复,同时恢复需按动2,2,但会导致周边的2,3,3,2也改变,这样沿着周边的开关再按动,可以实现最少的开关次数,即按动5次可以满足要求.如下表所示:(按顺时针方向开关，逆时针也可以)(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)(3,1)(3,2)(3,3)按动1开开关开关关关关关按动1开关开开关开关关关按动2开关关开开关关关开按动3开关关开关关开开关按动3开关关关关关关关关则需按开关的最少次数为5.故答案为:5.15.(1)证明:由正方体的性质可知AC//因为AC⊂平面ACD1,A所以A1C1//(2)设AC,BD交于点O，连接D1O，由正方形的性质可知DO⊥AC，且DO=2；因为正方体ABCD所以D1O⊥AC所以∠D1OD为平面ABCD与平面因为DD1⊥底面ABCD,所以所以sin∠D1OD=DD1D1O=63(3)以D为坐标原点，DA,DC,DD1则A2AC=设平面ACD1的一个法向量为n=x,令x=1可得设B1到平面ACD1的距离为则d=n⋅D1B1n=43316.(I)先求出导函数,分a≤0与a>0考虑f′x的单调性及性质,即可判断出零点个数;(II)由(I)可设f′x在0,+∞的唯一零点为x0试题解析:(I)fx的定义域为0当a≤0时，f′x>0当a>0时，因为e2x单调递增，−ax单调递增，所以f′x在0,+∞单调递增.又f′a>0,当b满足0<b<a4(II)由(I),可设f′x在0,+∞的唯一零点为x0,当x∈0,x0时,f故fx在0,x0单调递减,在x0,+∞单调递增,所以当x=x0由于2e2x0−故当a>0时,考点:常见函数导数及导数运算法则；函数的零点；利用导数研究函数图像与性质；利用导数证明不等式;运算求解能力.17.(1)B(2)(i)392;(ii)(1)由正弦定理得sinB∴sinB∴3∵sinA∴sinB∵−π6<B−(2)(i)∵BE∴BE(ii)在△BCF中,由余弦定理得CF2=(法一)由题知M是△ABC∴CM=在△BMC中,由余弦定理得cos∠(法二)又CF=∴BE∴cos∠EMF18.(1)依题意，取球一次取到黄球的概率P1=ss+(2)(i)ξ的可能取值为:0,1由(1)得PξP所以ξ的分布列为ξ012...nnPssts...st(ii)ξ的数学期望Eξ=0⋅ss+t+1⋅st19.(1)∵F∴F得c2所求