山东青岛五十八中高新学校2026届高三一模调研数学试题（含答案）

2026年青岛五十中高新校区高三一模调研数学注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效.3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={1,2,A.{2,3,4,2.若复数z=2+i，则A.5B.4C.3D.23.将函数y=sinωx+π3的图象向右平移π个单位后,所得图象与原图象重合,则正数A.1B.2C.3D.44.若x−12x+1A.8B.-8C.2D.425.若tanα+π4=7A.725B.34C.126.直线l:y=kx+2与圆O:x2+y2=4A.3B.±3C.137.假设在某种细菌培养过程中，正常细菌每小时分裂1次(1个正常细菌分裂成2个正常细菌和1个非正常细菌)，非正常细菌每小时分裂1次(1个非正常细菌分裂成2个非正常细菌)若1个正常细菌经过14小时的培养，则可分裂成的细菌的个数为()A.215+2B.2168.已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点分别为F1,F2.以F1F2A.2B.3C.2D.3二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.某学校组织全体学生参加了文创大赛，随机抽取了400名学生的成绩进行统计，得频率分布直方图(如图),则()A.图中x的值为0.020B.该样本中成绩在区间90,100内的学生有C.估计全校学生成绩的平均数约为86.5D.估计全校学生成绩的80%分位数约为9510.设复数z满足z2−A.z−2C.关于z的方程z=a+D.若复数w满足w=1,则11.已知函数fx=sinx+lnx,将fx的所有极值点按照由小到大的顺序排列,得到数列xnA.xk+1−C.x2k+三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.、12.若抛物线x2=my的顶点到它的准线距离为1213.设fx是定义在R上的函数,若fx+x2是奇函数,f14.正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为3，P是侧面ADD1A1(包括边界)上一动点，E是棱CD上一点,若∠APB=∠DPE四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.如图,在棱长为a的正方体OABC−OA′B′C′中,E,(1)求证:A′F(2)当三棱锥B′−BEF的体积取得最大值时，求平面B′EF16.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a(1)求角A；(2)若BC边上的高h=34a17.设函数fx(I)求曲线y=fx在点(II)设a=b=4,若函数fx(III)求证:a2−3b>018.一盒子中有大小与质地均相同的20个小球,其中白球n3≤(1)当盒中的白球数n=6时有放回地依次取出(2)当盒中的白球数n=6时，从盒中不放回地随机取两次，每次取一个球，用A表示事件“第一次取到白球”,用B表示事件“第二次取到白球”,求pA与pB,并判断事件A与(3)某同学要策划一个抽奖活动，参与者从盒中一次性随机抽取10个球，若其中恰有3个白球,则获奖,否则不获奖,要使参与者获奖的可能性最大、最小,该同学应该分别如何放置白球的数量n.19.如图,椭圆Γ1:x2m+y2n=1m>(1)求Γ1与Γ2(2)过点P1作直线MN，交Γ1于点M，交Γ2于点N，设直线P3M的斜率为k1，直线P3N的斜率为(3)点Q1是Γ1上的动点，直线Q1P1交Γ2于点Q2，直线Q2P2交Γ1于点Q3，直线Q3P3交Γ2于点Q4,直线Q4P4与直线Q1.CB=所以A∩故选:C2.A因为z=2+i,所以因此z⋅故选:A3.B因为图象向右平移π个单位后,所得图象与原图象重合,故2πωk=π,k∈N∗,故故选:B.4.B二项式2x+14展开式的通项公式为Tr+1=C4r2x4−所以a3故选:B5.A由tanα+π4=7,可得tanα+tanπ所以cos2α故选:A.6.B设Ax由y=kx+2x2+y2y由OA⋅OB=−2故选:B.7.C设经过n小时,有an个正常细菌,bn则an又a1=2,b则bn+12n所以bn2n是首项为和公差均为所以bn所以bn=n⋅2故选:C.8.C如图所示,因为F1B=BA,可得点B为线段F1可得∠F因为直线OA,OB是双曲线的渐近线,由双曲线的对称性可知所以∠AO可得直线OA的斜率为ba=tanπ3=所以双曲线C的离心率为2.故选:C.9.BD对于A,由0.005+0.010+0.015+x对于B,成绩在区间90,100内的学生人数为400对于C,平均数x=55对于D,低于90分的频率为1−0.4=0.6,设样本数据的80%则n−90100−90=0.20.4故选:BD10.ABD设z=x+yi整理得x2故x2−y2−故Px,y在双曲线x2−y2=2故∥z−2−z+故∥z−2−z+z即为P到原点的距离，故OP大于等于实半轴长，故z≥2，故B对于C,由z=a+aia∈R故x=a,y=a,而x对于D,因为z即为P到原点的距离,由B的分析可得z≥而z−w≥z−w故选:ABD.11.BCDfx的极值点为f′x=cosx+即为函数y=cosx与函数y=−1x又注意到x∈0,+∞时,−1xk∈N∗, x据此可将两函数图像画在同一坐标系中,如下图所示.对于A,由图像可知x3>52π,x2<3对于B,注意到k∈N时,f′结合图像可知当x∈当x1,x3,x5,⋯对于C,x2k−1−2k−1−12π表示两点x2k−1,故x2k−x2k+1−对于D,由于x2k故cosx2k−1<且cosx2kf由于y=1x2k−1结合y=lnx因此y=1−1x可得fx2k+1>f故选:BCD12.2x2=my=2⋅m2y,因为m故答案为:2.13.−由于函数y=fx+x2所以f−即f−1+1=−14.9由已知AB⊥平面ADD1A1所以AB⊥因为DE⊥平面ADD1A1所以DE⊥所以∠BAP=∠EDP=90∘所以△APB∽△DPE，又△APB的面积是△所以APDP=以点D为原点，DA,DC,DD1则A3设点P的坐标为x,0,z由已知AP=所以x−所以x2+z2+所以点P的轨迹为以点−38,0,0为圆心,9过点P作PQ//DD1,因为DD所以PQ⊥平面ABCD,即PQ⊥平面所以PQ为三棱锥P−ABE所以三棱锥P−ABE的体积V因为x2所以z=所以当x=0时,z取最大值,最大值为所以当x=0时,三棱锥P−ABE故答案为:9215.(1)如下图,构建空间直角坐标系O−xyz,令AE=BF=所以C′则C′E=a,所以C′E⊥A′(2)由(1)可得三棱锥B′−BEF体积取最大，即S△BEF所以当m=a2时S△BEFmax=a28所以Ea,a2,若m=x,y,z为平面B′EF的法向量,则m⋅EB′=a2y+az=0m设平面B′EF与平面BEF的夹角为θ,由图可知θ为锐角,则cosθ=所以tanθ所以平面B′EF与平面BEF的夹角正切值为16.1(2)cos(1)(1)由题意得:2sinB则3sin有3sinA=1+cosA,即2sinA−(2)(2)由S△ABC=12ah=12bc有sin2A=2sin又cosA=−cosB+C17.(I)求函数fx的导数,根据f0(II)根据导函数判断函数fx的单调性,由函数fx有三个不同零点,求c(III)从两方面必要性和不充分性证明,根据函数的单调性判断零点个数.试题解析:(I)由fx=x3+因为f0所以曲线y=fx在点0,f(II)当a=b=4所以f′令f′x=0,得3x2+8x+fx与f′x在区间x(−∞,-2)-2−−−f+0-0+f↗c↗c↗所以,当c>0且c−3227x3∈−23由fx的单调性知,当且仅当c∈0,3227(III)当Δ=4a2−12b此时函数fx在区间−∞,+∞上单调递增,所以fx当Δ=4a2−12b=0时，当x∈−∞,x0时,f′x当x∈x0,+∞时,f′x所以fx综上所述,若函数fx有三个不同零点,则必有Δ=故a2−3b>0当a=b=4,c=0时,a2−因此a2−3b>018.1(2)310，310(3)当n=6时，获奖的可能性最大；当n(1)有放回的抽取，每次抽取到白球的概率为620=310由n次独立重复试验知,恰有一次取到黑球的概率为C3(2)当n=6时,盒中有6个白球，14个黑球，PA=620=310,PB∣A=519(3)从20个球中取10个球，恰有3个白球的概率P=Cn3C20−n7C2010，设fn=Cn3C20−n7,当3≤n≤12而f3=C137所以当n=6时,参与者获奖的可能性最大;当n19.1Γ(2)k2k(3)G6(1)由题意得,m=4,又因为P11,1代入Γ1