7年级数学寒假作业07 有理数的乘方、有理数的混合运算（巩固培优）（解析版）

限时练习：40min完成时间：月日天气：作业07有理数的乘方、有理数的混合运算一、有理数的乘方1.一般地，n个相同的乘数ɑ相乘，即a⋅a·⋯·an个，记作an．求n个an幂底数指数2.an中，a叫作底数，n叫作指数，an读作a的n次方（或aa幂底数指数乘方运算的结果及符号的规律二、有理数的混合运算顺序1.先乘方，再乘除，最后加减；2.同级运算，从左到右进行；3.如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．有理数运算分三级，加减是第一级运算，乘除是第二级运算，乘方是第三级运算．运算顺序是先算高级，再算低级；同级运算按从左到右的顺序进行；对于含有多重括号的运算，一般先算小括号内的，再算中括号内的，最后算大括号内的．三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型题型一有理数幂的概念1.下列说法正确的有（）①没有平方得-9的数；②-a2是负数；③m+d2A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【解析】解：没有平方得-9的数，①正确；a=0时，-a2m+d=0时，m-12=1，-1<1，综上所述，正确的有1个，故选：A．题型二有理数的乘方运算2.比较大小：-233-32【答案】<【解析】解：-233∵-83>-94，故答案为：<．题型三有理数乘方的逆运算3．已知|a|=2,b2=25,A．10 B．6 C．3 D．6或者0【答案】D【解析】解：∵a=2，∴a=2或∵b2=25，∴b=5∵ab>0，∴当a=2时，b=5或当a∵3c=27，∴当a=2，b=5，c=3时，原式当a=-2，b=-5，c=3时，原式故选D．题型四乘方运算的符号规律4．当整数n为时，(-1)n=-1；若n是正整数，则(-1)【答案】奇数0【解析】解：当整数n为奇数时，(-1)n=-1；当整数n为奇数时，则∴(-1)n当整数n为偶数时，则n+1为奇数，(-1)故答案为：奇数，0题型五乘方的应用5．二进制在计算机科学中有广泛的应用，计算机和依赖计算机的设备都使用二进制来表示数字和数据．二进制是逢二进一，其各数位上的数字为0或1，并利用角标表示二进制数，例如，(1011)2就是二进制数1011以98为例：方法一：因为98=64+32+2=1×所以98=(1100010)方法二：用如图的短除法算式表示：请你根据以上材料，把123转换为五进制数是（

）A．(1111011)5 B．(123)5 C．（443【答案】C【解析】解：方法一：∵123=100+20+3=4×所以123=(443)方法二5所以123=(443)故选：C．题型六有理数的混合运算6．下列运算错误的是（

）A．-14B．-3C．-7÷2×D．7【答案】D【解析】解：A．-14+7-B．-32C．-7÷2×-D．713故选：D．题型七有理数混合运算的实际应用7．正所谓：“人有人言，灯有灯语”．灯语（灯光通信）是船只之间通信的一种通用化语言，在国际上的使用十分广泛．利用灯光，以二进制的原理传递信息，可以帮助船员在较远的目视距离相互沟通．例如：“○”表示亮红灯．”“●”表示亮绿灯．两只远洋航行的船只用亮红灯和亮绿灯来进行交流，并在启航前作如图所示的约定：根据约定的规则，下列说法正确的有（

）①“●○○○”表示字母H：②若要表示26个英文字母，需要6盏灯；③某船先后发出“●○○●●”、“●●●●”、“●○○●●”表示它遇到了危险，在求救．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】C【解析】解：∵●表示字母A，●○表示字母B，∴●表示二进制中的1，○表示二进制中的0，∴“●○○○”表示二进制的数为“1000”，∴“●○○○”表示十进制中的数为：1×2∵字母表中第8个字母为H，∴“●○○○”表示字母H，故①正确；∵26÷2=13⋅⋅⋅0，13÷2=6⋅⋅⋅1，6÷2=3⋅⋅⋅0，3÷2=1⋅⋅⋅1，1÷2=0⋅⋅⋅1，∴26用二进制表示为11010，∴要表示26个英文字母，需要5盏灯，故②错误；“●○○●●”表示二进制数为10011，二进制数10011表示为十进制数为：1×2第19个字母为S，∴“●○○●●”表示字母S，“●●●●”表示二进制数为1111，二进制数1111表示为十进制数为：1×2第15个字母为O，∴“●●●●”表示字母O；∴某船先后发出“●○○●●”、“●●●●”、“●○○●●”表示“SOS”，∵“SOS”表示求救信号，∴某船先后发出“●○○●●”、“●●●●”、“●○○●●”表示它遇到了危险，在求救，故③正确；综上分析可知：正确的有2个，故选：C．题型八程序流程图与有理数的计算8．如图是小宇用计算机设计的一个有理数运算的程序框图．若输入的数a为1，则输出的结果是（

）A．-32 B．32 C．-【答案】C【解析】解：由程序框图得，输入数a后的计算过程为a2×-3若输入的数a为1，则计算结果为-3∵-3∴需要再重复一次计算过程，若输入的数a为-32，则计算结果为∵-27∴输出的结果为-27故选：C．题型九计算“24”点9．游戏“24点”规则如下：从一副扑克牌（去掉大王、小王）中任意抽取4张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌必须用一次且只能用一次），使得运算结果为24，其中红色（方块、红桃）扑克牌代表负数，黑色（梅花、黑桃）扑克牌代表正数．请用如图抽取出的4张牌，写出一个符合规则的算式：．【答案】7+-9×-3×4或-3×【解析】解：符合规则的算式为7+-9×-3×4或故答案为：7+-9×-3×4或题型十乘方中的规律探究10．为了求1+2+22+23+⋯+220的值，可令A=1+2+22A．72025-1 B．72026-1 C．【答案】D【解析】解：设S=1+7+则7S因此7S所以S=故选：D．1．我们把从1开始的几个连续自然数的立方和记为Sn，那么有：S1S2S3S4…观察上面的规律，完成下面各题：（1）写出S5，S6的表达式；（2）探索写出Sn的表达式；（3）求113+123+…+203的值．【答案】见试题解答内容【解析】解：（1）S5＝13+23+33+43+53＝（1+2+3+4+5）2＝【5×(1+5)2】2S6＝13+23+33+43+53+63＝（1+2+3+4+5+6）2＝【6×(1+6)2】2（2）S（3）原式＝S20﹣S10＝【20×(1+20)2】2﹣【10×(1+10)2】2＝2．已知a，b为正整数，求M＝3a2﹣ab2﹣2b﹣4能取到的最小正整数值．【答案】见试题解答内容【解析】解：∵a，b为正整数，要使得M＝3a2﹣ab2﹣2b﹣4的值为正整数，显然有a≥2，当a＝2时，b只能为1，此时M＝4，故M＝3a2﹣ab2﹣2b﹣4能取到的最小正整数值不超过4；当a＝3时，b只能为1或2，若b＝1，则M＝18，若b＝2，则M＝7；当a＝4时，b只能为1或2或3，若b＝1，则M＝38，若b＝2，则M＝24，若b＝3，则M＝2；若M＝1，即3a2﹣ab2﹣2b﹣4＝1，即3a2﹣ab2＝2b+5①，注意到2b+5为奇数，∵偶数减奇数得奇数，奇数减偶数得奇数，∴a是奇数，b是偶数．此时3a2﹣ab2被4整除所得余数为3，2b+5被4整除所得余数为1，故①式不可能成立，即M≠1．故M＝3a2﹣ab2﹣2b﹣4能取到的最小正整数值为2．3．已知实数a、b满足等式（a﹣2）2+b2＝3，求：ba【答案】见试题解答内容【解析】解：∵（a﹣2）2+b2＝3表示以（2，0）为圆心，以3为半径的圆，ba表示直线b＝ka如图：当直线与圆相切时，可以取得最值，在y轴上半平面相切时，取最大值k1=3在y轴下半平面相切时，斜率最小，取最小值k2＝﹣k1=-3∴ba取得最大值3；ba取得最小值4．已知：13＝1=14×12×22；13+23＝9=14×22×32；13+23+33＝36=14×32×42；13+23+33+43（1）请你猜想填空：13+23+33+…+（n﹣1）3+n3＝；（2）试计算：13+23+33+…+993+1003．【答案】见试题解答内容【解析】解：（1）13+23+33+…+（n﹣1）3+n3=14n（2）13+23+33+…+993+1003=1＝25502500．5．同学们一定都吃过拉面吧？拉面馆的师傅是这样制作拉面的：用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复多次，就可以得到又细又圆的拉面了．请你仔细观察如图，利用所学的数学知识解决问题：拉面馆的师傅需要拉伸多少次才能够拉出128根细面条？【答案】见试题解答内容【解析】解：根据题意，第一次可以拉出21＝2，第二次可以拉出22＝4，第三次可以拉出23＝8，…，∵27＝128，∴第七次可以拉出128根细面条．6．我们平时用的是十进制数，例如，204958＝2×105+0×104+4×103+9×102+5×10+8×1，表示十进制数要用10个数字：0，1，2，…，9．在电子计算机中使用的是二进制，只用两个数字：0，1．例如：在二进制中，1101＝1×23+1×22+0×21+1×1等于十进制的13，110011＝1×25+1×24+0×23+0×22+1×2+1×1，等于十进制的51．请你计算一下：（1）二进制中的数110101等于十进制的数多少？（2）仿照二进制的说明与算法，请你计算一下，八进制中的数1507等于十进制的数多少？【答案】见试题解答内容【解析】解：（1）110101＝1×25+1×24+0×23+1×22+0×2+1×1＝53．答：二进制中的数110101等于十进制的数是53．（2）1507＝1×83+5×82+0×8+7×1＝839．答：八进制中的数1507等于十进制的数是839．7．一次数学测验中有一道题：若12(a-3)2+|解：由12(∴ab＝32＝9，b∴a小刚怎么也找不出错误的原因．聪明的同学，请你帮助小刚同学找出错误的步骤并改正过来．【答案】见试题解答内容【解析】解：小刚错在ba=1ab=19，应是ba∴ab+4ba＝32+4×23＝9+4×8＝41．8．若|x+2y﹣5|+（2y+3z﹣13）2+（3z+x﹣10）2＝0，试求x，y，z的值．【答案】见试题解答内容【解析】解：∵|x+2y﹣5|+（2y+3z﹣13）2+（3z+x﹣10）2＝0，∴x+2①﹣②，得：x﹣3z+8＝0④，③+④，得：2x﹣2＝0，解得：x＝1，将x＝1代入①，得：1+2y﹣5＝0，解得：y＝2，将y＝2代入②，得：4+3z﹣13＝0，解得：z＝3，故x＝1，y＝2，z＝3．9．已知|x﹣2|+（y+1）2＝0．（1）求x、y的值；（2）求﹣x3+y4的值．【答案】见试题解答内容【解析】解：（1）∵|x﹣2|+（y+1）2＝0，∴x﹣2＝0，y+1＝0，解得：x＝2，y＝﹣1；（2）∵x＝2，y＝﹣1，∴﹣x3+y4＝﹣23+14＝﹣7．10．（1）已知：（x+y）2+|3﹣y|＝0，求x-（2）当式子3﹣（x+y）2有最大值时，最大值是3；此时x与y的关系为互为相反数．【答案】见试题解答内容【解析】解：（1）由题意得，x+y＝0，3﹣y＝0，解得，x＝﹣3，y＝3则x-（2）∵（x+y）2≥0，∴﹣（x+y）2≤0，∴3﹣（x+y）2有最大值3，x与y互为相反数，故答案为：3；互为相反数．11．计算：111×13×15+113×15×17+⋯+【答案】20【解析】解：∵1(n-∴原式=18（=18（=18×2×=1=1=20=20故答案是201329912．计算：11×3【答案】见试题解答内容【解析】解：∵1n(n∴原式=12（11-13）+12（13=12（1=12（1=5013．（1）2×（﹣3）3﹣4×（﹣3）+15；（2）（12-59+（3）已知1+2+3+…+31+32+33＝17×33，求1﹣3+2﹣6+3﹣9+4﹣12+…+31﹣93+32﹣96+33﹣99的值．【答案】见试题解答内容【解析】解：（1）2×（﹣3）3﹣4×（﹣3）+15＝2×（﹣27）﹣4×（﹣3）+15＝﹣54﹣（﹣12）+15＝﹣54+12+15＝﹣54+27＝﹣（54﹣27）＝﹣27；（2）（12-59+712）×（﹣36）＝（﹣36）×12+（﹣36＝﹣18+20+（﹣21）＝[﹣18+（﹣21）]+20＝﹣39+20＝﹣（39﹣20）＝﹣19；（3）∵1+2+3+…+31+32+33＝17×33，∴1﹣3+2﹣6+3﹣9+4﹣12+…+31﹣93+32﹣96+33﹣99＝﹣2（1+2+3+…+31+32+33）＝﹣2×17×33＝﹣1122．1．中央电视台节目中有一个是《开心辞典》，它经常考观众这样的游戏题，规则是：在1至13的自然数之间任取4个，将这四个数（每数只用一次）进行加减乘除四则运算，使结果等于24．现有3，4，6，10四个数，运用上述规则写出两种不同方法的运算式，使其结果等于24，运算式如下：（1）3×（4+10﹣6）；（2）6÷3×10+4；（3）另有4个数3，﹣5，2，﹣13，可通过运算式：3×2﹣（﹣5）﹣（﹣13），使其结果为24．【答案】见试题解答内容【解析】解：（1）3×（4+10﹣6）等；（2）6÷3×10+4等；（3）3×2﹣（﹣5）﹣（﹣13）等．2．阅读下列材料，解答问题．饮水问题是关系到学生身心健康的重要生活环节，东坡中学共有教学班24个，平均每班有学生50人，经估算，学生一年在校时间约为240天（除去各种节假日），春、夏、秋、冬季各60天．原来，学生饮水一般都是购纯净水（其它碳酸饮料或果汁价格更高），纯净水零售价为1.5元/瓶，每个学生春、秋、冬季平均每天买1瓶纯净水，夏季平均每天要买2瓶纯净水，学校为了减轻学生消费负担，要求每个班自行购买1台冷热饮水机，经调查，购买一台功率为500w的冷热饮水机约为150元，纯净水每桶6元，每班春、秋两季，平均每1.5天购买4桶，夏季平均每天购买5桶，冬季平均每天购买1桶，饮水机每天开10小时，当地民用电价为0.50元/度．问题：（1）在未购买饮水机之前，全年平均每个学生要花费450元钱来购买纯净水饮用；（2）请计算：在购买饮水机解决学生饮水问题后，每班当年共要花费多少元？（3）这项便利学生的措施实施后，东坡中学一年要为全体学生共节约424080元．【答案】见试题解答内容【解析】解：（1）∵每个学生春、秋、冬季每天1瓶矿泉水，夏季每天2瓶，∴一个学生在春、秋、冬季共要购买180瓶的矿泉水，夏天要购买120瓶矿泉水，∴一年中一个学生共要购买300瓶矿泉水，即一个学生全年共花费1.5×300＝450元钱；（2）购买饮水机后，一年每个班所需纯净水的桶数为：春秋两季，每1.5天4桶，则120天共要（4×120）×23夏季每天5桶，共要60×5＝300桶，冬季每天1桶，共60桶，∴全年共要纯净水（320+300+60）＝680桶，故购买矿泉水费用为：680×6＝4080元，使用电费为：240×10×5001000×0.5故每班学生全年共花费：4080+600+150＝4830元；（3