2025-2026学年函数的基本性质教学设计

2025-2026学年函数的基本性质教学设计课题：科目：班级：课时：计划1课时教师：单位：一、教材分析一、教材分析本节内容选自人教版高中数学必修第一章《函数的概念与性质》，是在学生理解函数概念及表示法基础上，系统学习函数的单调性、奇偶性等基本性质。教材通过实例引导学生从几何与代数两个维度分析函数特征，为后续学习函数图像、应用及导数等内容奠定基础，是培养学生数学抽象与逻辑推理能力的关键章节，符合高一学生从具体到抽象的认知发展规律。二、核心素养目标分析二、核心素养目标分析通过函数单调性、奇偶性的抽象概括，发展数学抽象与直观想象素养；利用定义证明与性质判断，强化逻辑推理与数学运算能力；结合函数图像与代数表达，渗透数形结合思想；通过实际问题建模，提升数学应用意识，培养用函数性质分析与解决问题的核心素养。三、学习者分析1.学生已经掌握了哪些相关知识：学生已理解函数概念、表示法（解析式、图像、列表），能绘制简单函数图像，具备基本代数运算能力，为研究函数性质奠定基础。

2.学生的学习兴趣、能力和学习风格：高一学生好奇心强，对动态演示和实际应用兴趣浓厚；逻辑推理与抽象概括能力处于发展期，偏好直观形象学习，善于通过图像理解代数性质。

3.学生可能遇到的困难和挑战：对单调性定义中“任意x1,x2”的严谨性理解困难；混淆奇偶性与对称性；忽略定义域对性质的限制；数形结合运用不熟练；性质证明中逻辑链条不严密。四、教学资源软硬件资源：多媒体教室（投影仪、电脑）、几何画板、图形计算器、实物投影仪

课程平台：希沃白板、钉钉班级群、学习通

信息化资源：课本配套PPT课件、函数单调性与奇偶性动态演示视频、交互式函数性质练习题库

教学手段：讲授法、小组合作探究、案例教学、数形结合演示、讲练结合五、教学过程设计**1.导入新课（5分钟）**

目标：通过生活实例激发学生对函数单调性的探索兴趣，建立数学与实际的联系。

过程：

-开场提问：“大家坐过摩天轮吗？当摩天轮匀速上升时，你的高度随时间如何变化？上升过程中高度是持续增加还是有时减少？”

-展示摩天轮高度随时间变化的动态图像（几何画板演示），引导学生观察曲线走势。

-简述：“这种‘持续上升或下降’的现象就是函数的单调性，它是刻画函数变化趋势的核心性质，今天我们就来探究它的奥秘。”

**2.函数单调性基础知识讲解（10分钟）**

目标：掌握单调性定义及判断方法，理解几何与代数双重表征。

过程：

-**定义解析**：板书“单调递增”定义：若区间I上任意x₁<x₂，都有f(x₁)<f(x₂)，则称f(x)在I上单调递增。强调“任意”的严谨性。

-**几何直观**：展示y=x²、y=1/x图像，标注区间（-∞,0）和（0,+∞）上的曲线走势，归纳“左低右高→增，左高右低→减”。

-**代数验证**：以f(x)=2x+1为例，取x₁=1,x₂=3，计算f(x₁)=3<f(x₂)=7，验证单调性；再以f(x)=x²为例，取x₁=-2,x₂=-1，f(x₁)=4>f(x₂)=1，说明在(-∞,0)递减。

**3.函数单调性案例分析（20分钟）**

目标：通过多案例深化对单调性复杂性的理解，突破定义域与分段函数难点。

过程：

-**案例1：一次函数f(x)=kx+b**

-特点：k>0时R上递增，k<0时R上递减。

-意义：揭示线性函数单调性由斜率k唯一决定。

-**案例2：二次函数f(x)=x²-2x**

-特点：对称轴x=1，(-∞,1)递减，(1,+∞)递增。

-挑战：引导学生用定义证明x₁=0,x₂=2时f(0)=0<f(2)=0？矛盾！强调定义域对性质的约束。

-**案例3：分段函数f(x)=**

```

{x+1,x≤0

{x²,x>0

```

-特点：x≤0时递增，x>0时递增，但整体在R上不单调（如x₁=-1,x₂=1时f(-1)=0<f(1)=1，但x₁=-0.5,x₂=0.5时f(-0.5)=0.5>f(0.5)=0.25）。

-小组任务：讨论“分段函数整体单调需满足什么条件？”

-**教师总结**：单调性必须指明区间；分段函数需分段讨论；定义域优先于性质判断。

**4.学生小组讨论（10分钟）**

目标：合作探究函数单调性在优化问题中的应用，培养建模能力。

过程：

-分组：4人一组，发放任务卡。

-讨论主题：“某商店销售利润P(q)与销量q的关系为P(q)=-q²+100q（q≥0），求销量多少时利润最大？”

-要求：

①用单调性分析P(q)的变化趋势；

②确定最大值点；

③拓展思考：若成本增加，函数变为P(q)=-q²+80q-500，如何调整策略？

-每组记录关键步骤和结论，推选代表准备展示。

**5.课堂展示与点评（15分钟）**

目标：通过成果交流深化理解，提升表达与批判性思维。

过程：

-**小组展示**（每组3分钟）：

-组员1：分析P(q)=-q²+100q的对称轴q=50，(-∞,50)递增，(50,+∞)递减，故q=50时P最大。

-组员2：补充实际意义——销量超过50后利润下降，需控制库存。

-组员3：拓展题中P(q)=-q²+80q-500，对称轴q=40，但需验证P(40)=700>0，否则无盈利。

-**互动点评**：

-学生提问：“为什么二次函数开口向下一定有最大值？”（引导回顾二次函数性质）

-教师点评：肯定“数形结合”和“实际意义结合”的亮点，指出拓展题中需先判断定义域内函数值域。

-**纠错强化**：展示典型错误案例（如忽略定义域、混淆单调区间），全班分析错因。

**6.课堂小结（5分钟）**

目标：系统梳理知识结构，强化核心素养应用。

过程：

-**知识回顾**：

-单调性定义（代数表述）与几何特征（曲线走势）；

-判断方法：图像法、定义法、导数法（预留）；

-关键点：区间明确、定义域优先、分段讨论。

-**核心素养升华**：

-“用单调性解决利润最大值问题，体现了数学建模与逻辑推理的结合；而定义证明则锻炼了数学抽象能力。”

-**作业布置**：

-基础题：判断f(x)=|x-1|在[-2,3]上的单调区间；

-拓展题：设计一个分段函数，使其在R上不单调，但在[0,2]上单调递增；

-思考题：若f(x)在R上递增，g(x)在R上递减，则f(g(x))的单调性如何？

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**设计说明**：

-**紧扣教材**：所有案例均源于人教版必修一例题（如P32二次函数单调性），拓展题呼应P38习题B组。

-**认知适配**：高一学生从具体（图像）到抽象（定义）的过渡，通过几何画板动态演示化解“任意x₁<x₂”的理解难点。

-**素养落地**：定义证明强化数学抽象，利润问题渗透数学建模，小组讨论培养合作与表达。

-**难点突破**：分段函数、定义域限制等易错点通过辨析案例和小组任务反复强化。六、拓展与延伸1.拓展阅读材料

（1）《函数单调性的应用拓展》

结合教材P33例3，进一步研究函数f(x)=x³+ax²+bx+c的单调性与系数a,b,c的关系。教材中通过导数（选修内容）判断单调性，此处可先用定义法分析：取x₁<x₂，计算f(x₂)-f(x₁)=(x₂³-x₁³)+a(x₂²-x₁²)+b(x₂-x₁)，因式分解后分析符号，得出当x₂-x₁>0时，f(x₂)-f(x₁)的符号取决于3x₁x₂+2a(x₁+x₂)+a²+b+3x₁²+3x₁x₂+3x₂²（简化后），引导学生思考二次函数判别式与单调区间的联系，为后续学习导数埋下伏笔。

（2）《奇偶性在对称问题中的妙用》

教材P39“奇偶函数的图像特征”提到“奇函数关于原点对称，偶函数关于y轴对称”，可结合P40例5拓展：若f(x)是奇函数且在[0,+∞)单调递增，证明f(x)在R上单调递增。证明过程需结合奇偶性定义与单调性定义，取x₁<x₂<0时，由-x₁>-x₂>0，f(-x₁)>f(-x₂)，再由奇函数性质f(-x₁)=-f(x₁)，f(-x₂)=-f(x₂)，得-f(x₁)>-f(x₂)，即f(x₁)<f(x₂)，从而在(-∞,0)递增，再结合x<0<x'时f(x)<0<f(x')，证明整体单调性，强化逻辑推理能力。

（3）《函数性质与方程根的分布》

教材P36“函数与方程”提到“函数零点与方程根的关系”，可结合单调性研究方程根的个数：如方程x³-3x+1=0的根的个数。构造f(x)=x³-3x+1，计算f(-2)=-3<0，f(-1)=3>0，f(0)=1>0，f(1)=-1<0，f(2)=3>0，由零点存在性定理及单调性（f'(x)=3x²-3，在(-∞,-1)递增，(-1,1)递减，(1,+∞)递增），判断f(-1)=3为极大值，f(1)=-1为极小值，故方程有三个实数根，将函数性质与方程求解紧密结合。

（4）《分段函数性质的系统性研究》

教材P41例6研究分段函数f(x)=|x²-2x|的单调性，可拓展为：若f(x)=**{x²-2x,x≤1;2x-x²,x>1}**，求其单调区间及值域。需分段讨论：x≤1时，f(x)=x²-2x=(x-1)²-1，对称轴x=1，在(-∞,1]递减；x>1时，f(x)=2x-x²=-(x-1)²+1，对称轴x=1，在(1,+∞)递减，但需验证x=1处连续性（f(1)=0，lim(x→1⁺)f(x)=0），故整体在R上递减，值域为[-1,+∞)。引导学生注意分段函数的“分界点”性质讨论。

2.课后探究任务

（1）基础探究任务

①教材P42习题1.3A组第5题变式：判断f(x)=x+1/x在(0,+∞)上的单调性，并证明。要求用定义法，取0<x₁<x₂，计算f(x₂)-f(x₁)=(x₂-x₁)+(1/x₂-1/x₁)=(x₂-x₁)(1-1/(x₁x₂))，由x₂-x₁>0且x₁x₂>0，当x₁x₂>1时f(x₂)>f(x₁)，递增；当0<x₁x₂<1时f(x₂)<f(x₁)，递减，故单调区间为(0,1)递减，(1,+∞)递增。

②寻找生活中的函数实例：如某城市出租车收费方式（起步价10元，3公里内；超过3公里后每公里2元），写出收费函数f(x)并分析其单调性，结合实际意义解释单调区间。

（2）拓展探究任务

①研究复合函数的单调性：若f(x)=x²+2x+3，g(x)=x-1，求F(x)=f(g(x))的单调区间。需先分析g(x)在R上递增，f(x)在[-1,+∞)递增（对称轴x=-1），故当g(x)≥-1即x≥0时，F(x)递增；当g(x)<-1即x<0时，f(x)递减，故F(x)在(-∞,0)递减，(0,+∞)递增，强化“同增异减”原则。

②结合奇偶性求解析式：已知f(x)是偶函数，当x≥0时f(x)=x²+2x，求f(x)在R上的解析式并画出图像。由偶函数性质f(-x)=f(x)，当x<0时，-x>0，f(x)=f(-x)=(-x)²+2(-x)=x²-2x，故f(x)=**{x²+2x,x≥0;x²-2x,x<0}**，图像关于y轴对称。

（3）挑战探究任务

①参数范围问题：若f(x)=x²-2ax+1在[-1,2]上单调递增，求实数a的取值范围。需结合二次函数对称轴x=a，对称轴在区间左侧时a≤-1，故a≤-1。

②创新应用：设计一个分段函数，使其在R上不单调，但在[0,1]和[2,3]上分别单调递增，并说明设计思路（如f(x)=**{x,0≤x≤1;x-2,2≤x≤3;0,其他}**）。

3.学习建议

（1）构建知识网络：用思维导图连接函数概念、表示法（解析式、图像）、基本性质（单调性、奇偶性）、零点，明确性质与图像、解析式的对应关系，如单调性决定曲线走势，奇偶性决定对称性。

（2）强化错题整理：针对“定义域忽略”（如f(x)=√(1-x²)的单调性需先确定定义域[-1,1]）、“分段讨论不全”（如绝对值函数需分区间去绝对值）等典型错误，建立错题本并标注错误原因。

（3）利用教材资源：精读P37“阅读与思考：函数与方程”，结合单调性理解零点存在性定理；完成P43“复习参考题A组”第10、11题，巩固性质综合应用。

（4）预习衔接：翻阅选修2-2导数章节，了解导数与单调性的关系（f'(x)>0→f(x)递增），为后续学习做铺垫，但暂不深入计算。七、典型例题讲解例1：判断函数f(x)=2x-1在R上的单调性。

解析：取任意x₁<x₂，f(x₂)-f(x₁)=2x₂-1-(2x₁-1)=2(x₂-x₁)>0，故f(x)在R上单调递增。

答案：单调递增。

例2：求函数f(x)=x²-4x+3的单调区间。

解析：对称轴x=2，开口向上。当x<2时函数递减，x>2时递增。

答案：单调递减区间为(-∞,2]，单调递增区间为[2,+∞)。

例3：判断函数f(x)=x³的奇偶性。

解析：f(-x)=(-x)³=-x³=-f(x)，且定义域R关于原点对称。

答案：奇函数。

例4：已知f(x)是偶函数，当x>0时f(x)=x²+1，求f(-2)的值。

解析：由偶函数性质f(-2)=f(2)，代入x=2得f(2)=2²+1=5。

答案：5。

例5：分析函数f(x)=√(4-x²)的单调性。

解析：定义域[-2,2]。取0≤x₁<x₂≤2，f(x₂)-f(x₁)=√(4-x₂²)-√(4-x₁²)<0，故在[0,2]递减；由对称性在[-2,0]递增。

答案：单调递增区间为[-2,0]，单调递减区间为[0,2]。八、板书