2026年中考数学二轮复习讲练测（全国）专题05 图形的性质（知识方法能力清单）（原卷版）

试卷第=page22页，共=sectionpages106106页专题05图形的性质（必备知识&二级结论清单+技法清单）内●容●导●航第一部分命题解码洞察命题意图，明确攻坚方向►考向聚焦►考查形式►能力清单第二部分技法清单构建思维框架，提炼通用解法►知识必备/二级结论►母题精讲&答题技法►变式应用技法01全等三角形的性质与判定的综合技法02等腰三角形性质与判定的综合技法03平面镶嵌问题技法04四边形性质与判定的综合技法05四边型的综合问题技法06切线性质与判定的综合应用技法07尺规作图在几何证明与计算的应用技法08常见最值问题技法09垂直模型的应用技法10旋转模型的应用技法11半角模型的应用技法12倍长中线模型的应用第三部分分级实战分级强化训练，实现能力跃迁命●题●解●码考向聚焦技法01全等三角形的性质与判定的综合：全等三角形是几何推理的核心工具，常与平移、轴对称、旋转等变换结合，考查学生在复杂图形中识别全等关系并进行推理证明的能力。技法02等腰三角形性质与判定的综合：重点考查等腰三角形"等边对等角""三线合一"等性质，以及"等角对等边"的判定方法，常与角度计算、线段证明结合。技法03平面镶嵌问题：考查多边形内角和及正多边形内角计算，判断给定正多边形能否进行平面镶嵌（密铺），常以选择题形式出现。技法04四边形性质与判定的综合：考查平行四边形及特殊平行四边形（矩形、菱形、正方形）的性质与判定，常与三角形全等、相似结合，要求进行推理证明或计算。技法05四边型的综合问题：四边形与函数、动点、最值等问题的综合，常作为压轴题，考查学生的综合分析能力。技法06切线性质与判定的综合应用：切线的判定与性质是圆部分的高频考点，常出现在解答题中，与三角形相似、勾股定理等结合，考查推理与计算能力。技法07尺规作图在几何证明与计算的应用：以无刻度的直尺和圆规作图为核心，要求保留作图痕迹，并结合作图过程进行几何证明或计算。技法08常见最值问题：几何图形中的线段最值、面积最值问题，常结合动点、函数模型考查，是中考压轴题的热点。技法09垂直模型的应用："一线三垂直"模型是中考高频模型，常在全等、相似、函数与几何综合题中考查，用于证明线段相等或求长度。技法10旋转模型的应用：以旋转中心、旋转角、对应点关系为核心，考查旋转前后图形的全等关系，常用于证明线段相等、角相等或求最值。技法11半角模型的应用：半角模型常见于正方形、等腰直角三角形中，涉及一个大角中包含其半角，常通过旋转构造全等三角形解决问题。技法12倍长中线模型的应用：倍长中线是处理三角形中线问题的常用辅助线作法，常用于证明线段相等、角相等或求线段取值范围。考查形式几何部分是中考数学的“压轴主力”，考查呈现基础+模型+综合的层次。技法01-06属于核心几何知识（全等、等腰、四边形、切线）的综合应用，要求熟练掌握性质与判定；技法07尺规作图考查动手操作与推理结合的能力；技法08最值问题常作为压轴题，考查综合思维；技法09-12属于几何模型专题，考查学生在复杂图形中识别模型、运用模型解决问题的能力。命题趋势上，几何与代数结合日益紧密（如函数背景下的几何问题），对模型识别能力和转化思想要求越来越高。能力清单直观想象能力：能根据条件想象几何图形，识别常见模型（一线三垂直、旋转、半角等）。逻辑推理能力：能依据已知条件，运用定理进行严谨的推理论证。模型识别与应用能力：在复杂图形中识别出基本几何模型，并运用模型结论快速解题。运算求解能力：准确进行线段长度、角度计算，运用勾股定理、方程思想求解未知量。分类讨论意识：在动点问题、存在性问题中，能根据位置变化进行分类讨论。技●法●清●单技法01全等三角形的性质与判定的综合知识必备全等三角形的判定方法（SSS、SAS、ASA、AAS、HL）、全等三角形的性质（对应边相等、对应角相等）、常见全等模型、平行线性质、中点性质。答题技法熟悉平移型、轴对称型、旋转型、一线三垂直型等常见全等模型-1。证明时先找已知边角条件，再结合图形特征（如公共边、公共角、对顶角）寻找缺失条件。注意利用平行线找角相等、利用中线或垂线找边的关系。母题精讲【典例01】（2026·山东威海·模拟预测）课本再现（1）如图1，是的外角，平分，，则．（填“”“”或“”）类比迁移（2）如图2，在中，是的一条角平分线，过点D作交于点E，求证：．拓展运用（3）如图3，在中，，O是角平分线上一点，延长至点M，使，过点M作交于点N，猜想与的数量关系，并进行证明．变式应用【变式01】（2026·江苏苏州·一模）如图，，分别是的边，上的高，且，．求证：(1)；(2)．【变式02】（2025·湖南长沙·一模）如图，中，，垂足为D，，垂足为E，与相交于点F，．(1)求证：；(2)若，求的长技法02等腰三角形性质与判定的综合知识必备等腰三角形的定义、性质（等边对等角、三线合一）、判定（等角对等边）、等边三角形性质、直角三角形性质（勾股定理）。答题技法遇到等腰三角形，优先联想"三线合一"（顶角平分线、底边中线、底边高线重合）。涉及角度计算时，利用底角相等设未知数列方程；涉及线段证明时，常需构造全等三角形或利用等角对等边判定。母题精讲【典例01】（25-26八年级上·河北邯郸·期末）【传统文化】“立表测影”是中国天文传统之一，当用来观察季节或时间时，首先“立表”，确保“表”不偏不倚，其次是放置与之垂直的主尺，最后是观察正午日影在圭尺上“勾”出的日影长度，由此判断季节或时间．如图，“表”与“圭”垂直，冬至时节“表”的日影最长（的长），某一节气，光线平分，为上一点，连接，．(1)若，下面是小明证明的过程，依据是___________，依据是___________；证明：∵平分，，，∴（依据）在和中，，（依据）(2)若为等边三角形．说明点在线段的垂直平分线上；已知日影的长为米，求日影的长．变式应用【变式01】（2025·江苏苏州·模拟预测）如图1，在中，，，点D，E均在边上（点D在点E的左侧），且．(1)如图1，将绕点A逆时针旋转得到，连接，求证：；(2)如图2，若，求证：；(3)如图3，若，，求线段的长度．【变式02】（2026·黑龙江哈尔滨·一模）在中，，将绕点按逆时针方向旋转，得到，旋转角为，点的对应点为点，点的对应点为点．如图所示，设边与交于点，边分别交于点．(1)求证：；(2)当为等腰三角形时，请直接写出的长；【变式03】（25-26八年级上·山西长治·期末）“数学区别于其他学科最主要的特征是抽象和思维”．几何学习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象，形成一些基本模型，用类比等方法进行探究，以解决新的问题．综合实践课上，李老师以“发现-探究-拓展”的形式，培养学生数学思想，训练学生数学思维，以下是李老师的课堂主题展示：（1）如图，在等腰中，，点D为线段上的一动点（点D不与A，B重合），以为边作等腰，，，连接．解答下列问题：【观察发现】①如图1，小明发现当时，线段且，请说明理由．【类比探究】②如图2，当时，试探究线段与的位置关系，并说明理由．【拓展延伸】（2）如图3，中，，，点P为内一点，，，，请直接写出的长．（温馨提示：顶角为的等腰三角形三边之比为）技法03平面镶嵌问题知识必备多边形内角和公式、正多边形内角计算、周角360°、平面镶嵌的条件。答题技法平面镶嵌的关键是同一顶点处各内角之和为360°。先求正多边形每个内角度数（(n-2)×180°/n），再尝试组合使和为360°。常见能单独镶嵌的正多边形：正三角形、正方形、正六边形。母题精讲【典例01】（2024·山西吕梁·一模）阅读与思考：请阅读下面小论文，并完成相应学习任务．关于同一种正多边形的平面密铺平面密铺是指用一些形状大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地把平面的一部分完全覆盖．一般来说，构成一个平面密铺图形的基本图形是多边形或类似的一些常规形状，例如我们铺地板时经常使用正方形地砖．对于正n边形，从一个顶点出发作对角线，它们将n边形分成个三角形，得到其内角和是，则一个内角的度数就是，若一个内角度数能整除，那么这样的正n边形就可以进行平面密铺．图1和图2就是分别利用正三角形和正方形得到的两组密铺图案．如图3，按照平面密铺的条件，正五边形就不能进行平面密铺．对于一些不规则的多边形，全等三角形或全等四边形也可以进行平面密铺．图4就是利用全等的四边形设计出的平面密铺图案．对于不规则的凸五边形，迄今为止发现了15种能用于平面密铺的五边形．德国数学家莱因哈特（1895—1941）凭借其出色的平面几何功底与直觉，从1918年开始，陆续发现了前5种五边形密铺方式．2015年，美国华盛顿大学数学教授卡西·曼夫妇发现了第15种能用于平面密铺的五边形．图5就是利用不规则的凸五边形得到的一种密铺图案．

学习任务：(1)填空：上面小论文中提到“对于正n边形，从一个顶点出发作对角线，它们将n边形分成个三角形，得到其内角和是”，其中体现的数学思想主要是______．（填出字母代号即可）A．数形结合思想；B．转化思想；C．方程思想(2)图3中角1的度数是______．(3)除“正三角形”“正四边形”外，请再写出一种可以进行密铺的正多边形：______．(4)图6是图5中的一个基本图形，其中，，并且．求证．变式应用【变式01】（2025·广东清远·二模）【问题背景】生活中，我们所见到的地面、墙面、服装面料等，常常是由一种或几种形状相同的图形拼接而成的．用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，就是平面图形的镶嵌．【探究发现】（1）单独用正三角形、正方形、正六边形等都能进行平面镶嵌．若只用正三角形地砖在一个拼接点处实现平面镶嵌，则需要___________块；【实际应用】（2）某业主有个房间长，宽；如果业主选用一种长为，宽为的矩形地砖进行镶嵌（缝隙忽略不计），在不允许切割，不计损坏的情况下，如果你是铺地砖的师傅，通过计算，需要多少块这样的地砖？【思考拓展】（3）该业主有个长为，宽为的大厅，业主个人认为，为了使装修的图案效果更为美观，选择了1图的两种边长均为的正三角形地砖和正六边形地砖进行镶嵌，在镶嵌过程中缝隙忽略不计．若在不计损耗和损坏的情况下，两种地砖都使用，且按照如2图所示进行镶嵌，最后在四周用其它材料进行封边（每条封边的宽度小于）．若正三角形地砖每块元，正六边形地砖每块元，在镶嵌过程中，购买地砖的最少费用是多少元？（参考数据：）【变式02】（2025·陕西西安·模拟预测）北宋时期的《营造法式》是中国古代第一部详细论述建筑工程技术及规范的官方著作，书中涉及了正多边形的使用和组合，这些内容可以被视作密铺设计的早期实践．小明同学利用2个正方形和4个形状大小完全一样的菱形设计了如图所示的图案，则图中的度数为______．技法04四边形性质与判定的综合知识必备平行四边形的性质与判定、矩形/菱形/正方形的性质与判定、三角形全等与相似、中心对称图形。答题技法掌握从一般到特殊的研究方法，清楚各种四边形之间的区别与联系。证明时，先明确目标四边形的类型，再选择合适的判定方法。注意利用对角线互相平分、对边平行等性质转化条件。母题精讲【典例01】（2025·山东青岛·模拟预测）如图，四边形中，，点是，的交点，且点为的中点．(1)求证；(2)若为的中点，为的中点，请从以下三个条件中选取两个，使四边形为正方形，并证明．①；②；③．变式应用【变式01】（2025·上海·模拟预测）如图1，在中，在四边形中．连接交于点，连接交于点，满足．(1)求证：四边形为平行四边形．(2)如图2，当四边形为正方形，且在线段上时，求证：．【变式02】（2024·湖南·模拟预测）如图，以的三边为边分别作为等边、等边和等边，连接和．(1)求证：；(2)判断四边形的形状，并说明理由；(3)若，，求四边形的面积．【变式03】（2026·湖南衡阳·一模）在中，是边的中点，、分别在及其延长线上，，连接．(1)求证：(2)若，试判断四边形的形状，并说明理由．技法05四边型的综合问题知识必备四边形的性质、动点问题、函数思想、最值模型（将军饮马、二次函数最值）、分类讨论思想。答题技法对于动点问题，用含时间t的代数式表示相关线段，建立函数关系或方程。涉及最值时，常转化为二次函数求顶点或利用将军饮马等几何模型。注意分类讨论点的位置。母题精讲【典例01】（2026·陕西宝鸡·一模）【问题探究】（）如图，四边形为矩形，点为边上的一点，连接，过作交边于点，若，，则的值为___________；（）如图，在正方形中，、分别是边、上的点，连接，过点作交边于点，求证：；【问题解决】（）如图，矩形是某植物园规划的一个花圃，点处有一个凉亭，现要在、边上分别设立游客服务中心、，沿、修建两条互相垂直的普通小路，再沿和铺设两条石板小路，为节约铺设石板小路的费用，要求与的长度之和尽可能的小，已知，米，请你帮助植物园规划人员求出两条石板小路长度之和（）的最小值．（凉亭、游客服务中心的大小、所有小路的宽度均忽略不计）变式应用【变式01】（2026·江西·模拟预测）【猜想探究】如图1．在中，D、E分别为的中点，连接：操作1．将绕点E按顺时针方向旋转到的位置．操作2．延长到点F，使，连接．试探究与有怎样的位置关系和数量关系？（1）请结合操作1或操作2的方法所得出的结论，我们可以得到三角形中位线定理，．【结论应用】（2）如图2，四边形中，对角线相交于点O，四条边上的中点分别为E、F、G、H、依次连接，得到四边形．若，，，求四边形的面积．

【问题解决】（3）如图3所示，在一个四边形的草坪上修一条小路，其中点P和点Q分别为边和边的中点，且，，，求小路的长度．

【变式02】（2025·河北石家庄·模拟预测）平面内，在平行四边形中，，，，点为边上任意一点，连接，将绕点逆时针旋转得到线段，设．(1)当与垂直时，①尺规作图：在图1中找到点和点（保留作图痕迹，不写作法）；②___________；旋转到所扫过的面积___________（结果保留π）；(2)当点落在对角线的延长线上时，分别过点，作直线的垂线，垂足分别为，，如图2．①求证：；②求的值；(3)连接，在旋转的同时，将绕点逆时针旋转得到线段，连接，，如图3．当是直角三角形时，直接写出的值．【变式03】（2025·吉林长春·二模）已知：如图，在矩形中，，．在上取一点，，点是边上的一个动点，以为一边作菱形，使点落在边上，点落在矩形内或其边上．

(1)当四边形是正方形时，求的长；(2)当四边形是菱形时，求证：；(3)面积的最大值为________；此时的长为________；(4)在点运动的过程中，请直接写出点运动的路线长为________．技法06切线性质与判定的综合应用知识必备切线的判定定理、切线的性质定理、圆周角定理、相似三角形、勾股定理、垂径定理。答题技法证明切线常用方法：①直接法（证垂直）；②间接法（利用平行或角的关系转化）；③三角形全等法。涉及计算时，常构造直角三角形，利用勾股定理、相似三角形或三角函数建立方程。母题精讲【典例01】（2026·江苏南京·一模）如图1，在⊙中截掉一个圆心角为的扇形，优弧与直线相切于点，且．(1)求点到直线的距离．(2)如图2，优弧上存在一动点，从出发按顺时针方向转动，转动速度为每秒，转动时间为秒．当点运动至点处时，停止转动．过点作直线，直线与优弧交于另一点．①当直线与优弧相切时，的值为______．②当时，求阴影部分面积．(3)在（2）的转动过程中，如图3，过点作直线，与直线交于点，则在转动过程中，的最大值为___．变式应用【变式01】（2026·四川雅安·二模）如图是的外接圆，，延长至点，连接，使得，交于．(1)求证：与相切；(2)若，．求的半径和的长度．【变式02】（25-26九年级上·河北石家庄·期末）如图1和图2，在中，，．点是线段延长线上一点，以点为圆心，以为半径，在的左侧作半圆，交于点，交于点．(1)如图1，点是半圆上一点（可与点，重合），当时，求线段长的最大值和最小值；(2)将线段绕点顺时针旋转得到线段．①如图2，当点恰好落在上时，求的长；②在①的条件下，求半圆与线段所围成的封闭图形的面积．(3)在（2）的条件下，若半圆与的边相切于点，直接写出弧的长．【变式03】（2026·湖南·模拟预测）如图，是的直径，是上一点，连接，延长至点，连接交于点，过点作于点，连接，___________．请从“①；②”这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上（填序号），再解决下列问题：(1)求证：与相切；(2)若，求的值；(3)若，设的面积为，四边形的面积为，当时，求的长．技法07尺规作图在几何证明与计算的应用知识必备五种基本作图、垂直平分线性质、角平分线性质、等腰三角形性质、全等三角形的判定。答题技法理解基本作图（作角平分线、线段中垂线、过一点作垂线等）的原理。作图后，常根据所作图形的性质（如中垂线上的点到两端点距离相等）进行推理证明。母题精讲【典例01】（2025·福建南平·二模）如图，在等腰三角形中，，点为边上的点．(1)尺规作图：在的外侧作，使得；（不写作法，保留作图痕迹）(2)在（1）所作的图形中，当时，求的值．变式应用【变式01】（2024·北京丰台·二模）如图，等边中，过点在的右侧作射线，设．点与点关于直线对称，连接，且分别交射线于点．

(1)依题意补全图形；(2)求的大小；(3)用等式表示线段之间的数量关系，并证明．【变式02】（2024·辽宁盘锦·三模）如图，在中，，，以D为圆心，任意长为半径画弧，交于点F，交于点Q，分别以F、Q为圆心，大于为半径画弧交于点M，连接并延长，交于点E，连接，恰好有，则的长为______．【变式03】（2025·广东广州·二模）如图，四边形中，，，于点．(1)尺规作图：作的角平分线，交于点，交于点（不写作法，保留作图痕迹）(2)连接，四边形的形状，并证明你的结论；(3)连接，若，求长．技法08常见最值问题知识必备二次函数的性质与最值、将军饮马模型、垂线段最短、三角形三边关系、勾股定理。答题技法分两类处理：①几何模型法（将军饮马、胡不归、阿氏圆等）；②代数法（设变量建立二次函数求最值）。代数法步骤：选自变量、定范围、求解析式、配方法或顶点公式求最值。母题精讲【典例01】（2023·河南南阳·二模）综合与实践问题提出（1）如图①，请你在直线l上找一点P，使点P到两个定点A和B的距离之和最小，即的和最小（保留作图痕迹，不写作法）；

思维转换（2）如图②，已知点E是直线l外一定点，且到直线l的距离为4，MN是直线l上的动线段，，连接，求的最小值．小敏在解题过程中发现：“借助物理学科的相对运动思维，若将线段看作静线段，则点E在平行于直线l的直线上运动”，请你参考小敏的思路求的最小值；

拓展应用（3）如图③，在矩形中，，连接，点E、F分别是边、上的动点，且，分别过点E、F作，，垂足分别为M、N，连接，请直接写出周长的最小值．

变式应用【变式01】（2021·四川绵阳·二模）如图，线段AB＝10cm，C是线段AB上的一个动点（不与A、B重合），在AB上方分别以AC、BC为边作正△ACD和正△BCE，连接AE，交CD于M，连接BD，交CE于N，AE、BD交于H，连接CH.(1)求sin∠AHC；(2)连接DE，设AD＝x，DE＝y，求y与x之间的函数关系式；(3)把正△BCE绕C顺时针旋转一个小于60°的角，在旋转过程中H到△DCE的三个顶点距离和最小，即HC+HD+HE的值最小，HC+HD+HE的值总等于线段BD的长.若AC＝2，旋转过程中某一时刻2AH＝3DH，此刻△ADH内有一点P，求PA+PD+PH的最小值.【变式02】（2025·四川广安·模拟预测）如图，在四边形中，，，，为边上的一个动点，连接，过点作，垂足为，在上截取，在四边形内存在一点，使得的面积最小，则的最小面积为______．【变式03】（2025·山东泰安·一模）如图，菱形的边长为4，，为边上的中点，P为直线上方左侧的一个动点，且满足，则线段长度的最大值是（）A． B．4 C． D．【变式04】（23-24八年级上·广东广州·期中）如图，在中，，D为上一动点（不与点A重合），为等边三角形，过D点作的垂线，F为垂线上任意一点，G为的中点，则线段长的最小值是（

）A． B．9 C． D．6【变式05】（2025·天津·一模）如图，是等边三角形的边的中点，为平面内一点，连接，将线段以点为中心逆时针旋转，得到线段，连接．若，点之间的距离为1，则的最小值为_____________，最大值为_____________．【变式06】（2024·海南·三模）如图，正方形的边长为，点为边上一个动点，点在边上，且线段，点为线段的中点，连接、、，则_______；的最小值为_______．技法09垂直模型的应用知识必备一线三垂直模型、全等三角形的判定、相似三角形的判定、同角的余角相等、勾股定理。答题技法识别图形中的垂直条件，构造"一线三垂直"基本图形。在直角坐标系中，常利用K型全等或相似转化坐标关系。注意通过同角的余角相等证明角相等。母题精讲【典例01】（22-23七年级下·广东深圳·期末）【材料阅读】小明在学习完全等三角形后，为了进一步探究，他尝试用三种不同方式摆放一副三角板（在中，，；中，，），并提出了相应的问题．【发现】（1）如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点摆放在线段上时，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，①请在图1找出一对全等三角形，在横线上填出推理所得结论；，，∵，，，，，，∵，__________；②，，则__________；【类比】（2）如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点B在线段上且顶点A在线段上时，过点作，垂足为点P，猜想，，的数量关系，并说明理由；【拓展】（3）如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点A在线段上且顶点B在线段上时，若，，连接CE，则的面积为__________．变式应用【变式01】阅读材料：我们知道：一条直线经过等腰直角三角形的直角顶点，过另外两个顶点分别向该直线作垂线，即可得三垂直模型”如图①，在中，，，分别过、向经过点直线作垂线，垂足分别为、，我们很容易发现结论：．

（1）探究问题：如果，其他条件不变，如图②，可得到结论；．请你说明理由．（2）学以致用：如图③，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，且两直线夹角为，且，请你求出直线的解析式．（3）拓展应用：如图④，在矩形中，，，点为边上—个动点，连接，将线段绕点顺时针旋转，点落在点处，当点在矩形外部时，连接，．若为直角三角形时，请你探究并直接写出的长．【变式02】如图，在△ABC中以AC，BC为边向外作正方形ACFG与正方形BCDE，连结DF，并过C点作CH⊥AB于H并交FD于M．若∠ACB＝120°，AC＝3，BC＝2，则MD的长为（）A． B． C． D．技法10旋转模型的应用知识必备旋转的性质（对应点到旋转中心距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角等于旋转角）、全等三角形的判定、等腰三角形的性质。答题技法旋转前后对应边相等、对应角相等。遇共顶点等线段（如等腰三角形顶点），常考虑旋转构造全等。注意旋转中心的确定，以及旋转角与图中角的关系。母题精讲【典例01】综合与实践课上，李老师让同学们以“等腰直角三角形的旋转”为主题开展数学活动．数学兴趣小组将两块大小不同的等腰直角三角形和等腰直角三角形按图的方式摆放，，随后保持不动，将绕点按逆时针方向旋转，连接，延长交于点该数学兴趣小组进行如下探究，请你帮忙解答：,【初步探究】(1)如图1，直接写出线段和的关系：______．(2)如图2，当时，则______．【深入探究】(3)如图3，当时，连接，兴趣小组认为不仅（1）中的结论仍然成立，而且在旋转过程中,的度数不发生变化，请给出推理过程并求出的度数．【拓展延伸】(4)如图3，试探究线段，之间是否存在某种特定的数量关系，若存在，直接写出数量关系式；若不存在，请说明理由．

变式应用【变式01】在中，，，D是边上的中点，E是直线右侧的一点，且，连接，过点D作的垂线交射线于点F．(1)点C到的距离为______；(2)如图1，当点E在的外部时．①求证：；②如图2，连接，当时，试探究与之间的数量关系；(3)若，请直接写出的长．变式应用【变式01】问题提出(1)如图1，在等边内部有一点P，，，，则______．问题解决(2)如图2，五边形ABCDE是某公园局部平面图，，，，，，．现需要在该五边形内部修建一条人工小溪，并建造一座观赏桥梁PQ和三条观光路AP，CQ，DQ，且，．已知观赏桥梁修建费用每米2a元和观光路修建费用每米a元．是否存在点P，使得修建桥梁和观光路总费用最低？若存在，请用含有a的代数式表示出总费用最小值；若不存在，请说明理由．【变式02】（2023·陕西西安·三模）在四边形中，，；(1)如图1，已知，则的度数等于__________；(2)如图2，在四边形中，，，连接．若，求四边形的面积；(3)如图3，已知，，，，，求线段的长度．技法11半角模型的应用知识必备旋转的性质、全等三角形的判定、正方形的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理。答题技法处理半角模型的核心是将半角两边的三角形通过旋转拼合，将分散的线段集中到一个三角形中，然后利用全等或勾股定理求解。母题精讲【典例01】探究题：

(1)特殊情景：如图（1），在四边形中，，以点为顶点作一个角，角的两边分别交，于点，，且，连接，若，探究：线段，，之间的数量关系为：______．（提示：延长到，使，连接）(2)类比猜想：类比特殊情景，在上述（1）条件下，把“”改成一股情况“，”如图（2），小明猜想：线段，，之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请证明结论．(3)解决问题：如图（3），在中，，，点，均在边上，且，若，计算的长度．变式应用【变式01】（1）如图1，在正方形中，，分别为，边上的点，且满足，连接，则，，之间的数量关系为________．

（2）如图2，将沿斜边翻折得到，，分别为，边上的点，且，试猜想，，之间的数量关系，并证明你的猜想．

（3）将两个全等的等腰直角和按如图3所示摆放在一起，为公共顶点，，，与边的交点分别为，，求证：．

【变式02】如图（1），在四边形ABCD中，，，以点A为顶点作，且，连接EF．(1)观察猜想

如图（2），当时，①四边形ABCD是______（填特殊四边形的名称）；②BE，DF，EF之间的数量关系为______．(2)类比探究

如图（1），线段BE，DF，EF之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．(3)解决问题

如图（3），在中，，，点D，E均在边BC上，且，若，求DE的长．技法12倍长中线模型的应用知识必备中线的定义、全等三角形的判定（SAS）、三角形三边关系、平行线的判定。答题技法遇到三角形中线，可倍长中线构造全等三角形，将分散的条件集中到一个三角形中。倍长后常得到"SAS"全等，进而实现边角的转移。母题精讲【典例01】（2025·吉林松原·三模）（1）【问题探究】如图1，已知是的中线，延长至点，使得．连结，求证：四边形是平行四边形．（2）【拓展提升】如图2，在的中线上任取一点（不与点、点重合），过点、点分别作，，连结，，求证：四边形是平行四边形．（3）【灵活应用】如图3，在中，，，，点是的中点，点是直线上的动点，且，，当取得最小值时，求线段的长度．变式应用【变式01】（2025·山东济宁·一模）（1）如图①，在中，若，，则边上的中线的取值范围是_____；（2）如图②，在中，D是边上的中点，于点交于点交于点F，连接，求证：；（3）如图③，在四边形中，，，，以为顶点作一个角，角的两边分别交，于E，F两点，连接，探索线段，，之间的数量关系，并加以证明．【变式02】（2024·吉林长春·一模）【发现问题】数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样的一个问题：如图①，在中，，，第三边上的中线，则的取值范围是____．【探究方法】小明同学通过组内合作交流，得到了如下解决方法：（1）如图②，延长至点，使得，连结，根据“”可以判定__________，得出．在中，，，，故中线的长x的取值范围是_______．【活动经验】当条件中出现“中点”，“中线”等条件时，可以考虑将中线延长一倍，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求的问题集中到同一个三角形中，进而解决问题，这种作辅助线的方法叫做“倍长中线”法．【问题解决】（2）如图③，已知，，，连接和，点是的中点，连接．求证：．小明发现，如图④，延长至点，使，连接，通过证明，可推得．下面是小明的部分证明过程：证明：延长至点，使，连接，∵点是的中点，∴．∵，，∴，∴，，∴，．请你补全余下的证明过程．【问题拓展】（3）如图⑤，在和中，，，，点M，N分别是和的中点．若，，则MN的取值范围是．巩固提升1．（2026·广东深圳·一模）如图，在正方形中，点在上，连接，作于点，交于点，作于点，交于点．若，则等于（）A． B． C． D．2．（2026·江苏南通·一模）如图，在菱形中，，对角线的长为16，E是的中点，F是上一点，连接．若，则的长为_____．3．（25-26八年级上·四川宜宾·期末）如图，在长方形中,，，，则CE+DF的最小值是________．4．（2026·四川成都·一模）阅读材料：如图1，已知正方形中，为对角线上一点，则将绕点逆时针旋转得到，则的最小值是线段的长度．根据阅读材料所提供的方法求解以下问题：如图2，若在边长为2的正方形中有任意两个点，则的最小值是_____．5．（25-26九年级上·江苏无锡·期末）如图，在中，，，．(1)尺规作图：作，使得圆心在边上，经过点并且与边相切；（不写作法，保留痕迹）(2)是边上一点（点不与点重合），若以为直径的圆与边有两个公共点，则长的取值范围是________．6．（2026·重庆·模拟预测）在学习完菱形的性质后，小懂同学发现：若作菱形中一组对角的平分线与另一条对角线相交，则两个交点与另外两个顶点所组成的四边形也是菱形．他的证明思路如下，请根据他的思路完成以下作图与填空：第一步：尺规作图．请用圆规和直尺，在所给图中作的角平分线交对角线于点E；作的角平分线交对角线于点F；连接、（不写作法，保留作图痕迹）．第二步：证明猜想如图，四边形是菱形，对角线、交于点O．平分，平分．求证：四边形是菱形．证明：在菱形中，，，，（两直线平行，内错角相等），平分，平分，，，_____________，（内错角相等，两直线平行），在和中，，，_____________，又，四边形是平行四边形，，且E、F均在上，，即，四边形是菱形（④_____________）．7．（25-26九年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，点D是边的中点，且，点O在边上，经过点C且与边相切于点E．(1)求证：是的切线；(2)若，，求的面积．8．（2026·河北沧州·一模）如图1，在中，为线段上一点，以为圆心，长为半径的圆与边，分别交于，两点，过点作的切线，交于点．(1)求与的位置关系，并说明理由．(2)如图2，若为的中点．①探究与的数量关系，并说明理由；②连接，若，求阴影部分的面积．9．（2025·陕西西安·一模）问题提出（1）如图1，在正方形中，分别在边上，连接，交于点，且，求证：；问题解决（2）如图2，某公园有一块正方形的空地，园区管理员准备在这块空地内修四条小路，其余部分种植各种不同的花卉．已知点分别在边上，且