高等数学课件 第8章 无穷级数 第3节

第八章Advancedmathematics无穷级数高等数学第一节无穷级数的概念与性质目录/Contents第八章无穷级数第二节正项级数及其敛散性判别法第三节任意项级数及其敛散性判别法第四节幂级数第五节函数的幂级数展开式e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C二、绝对收敛与条件收敛目录/Contents第三节任意项级数及其敛散性判别法一、交错级数及莱布尼兹判别法定义8.4如果级数满足,则称级数为交错级数．关于交错级数敛散性的判别有下面定理：一、交错级数及莱布尼兹判别法如果交错级数满足(1),

(2)

,

则级数收敛,且其和,其余项的绝对值．上述莱布尼兹定理是判别交错级数收敛性的方法,称为莱布尼兹判别法．一、交错级数及莱布尼兹判别法(莱布尼兹（Leibniz）定理)定理8.6由条件(2)知,所有括号中的差都是非负的.,及.即.由第一种形式可知

随

增大而增大；由第二种形式可得

．数列

存在极限

,根据极限的单调有界存在准则,且

,一、交错级数及莱布尼兹判别法证明先证明前项和的极限存在,为此将写成如下两种形式：.一、交错级数及莱布尼兹判别法再证明前项和的极限.得,且．于是,由于,又由条件(1)知,因此一、交错级数及莱布尼兹判别法最后,由于,而,上式右边也是一个交错级数,它也满足收敛的两个条件,所以其和小于级数的第一项,

即

.

显然对交错级数,如果极限不存在,或存在但,则的一般项的极限不存在或不为零,此时交错级数发散．一、交错级数及莱布尼兹判别法解级数为交错级数,满足条件(1),(2),；根据莱布尼兹定理得级数收敛,且其和．【例1】

判别级数的敛散性：一、交错级数及莱布尼兹判别法如果取其前项和,作为的近似值,则所产生的误差.一、交错级数及莱布尼兹判别法【例2】

判别级数的敛散性.解级数为交错级数,满足条件(2),；根据莱布尼兹定理得级数收敛,且其和．e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C二、绝对收敛与条件收敛目录/Contents第三节任意项级数及其敛散性判别法一、交错级数及莱布尼兹判别法正项负项任意出现的级数称为任意项级数．可见,交错级数是任意项级数的一种特殊情形．任意项级数敛散性的判别涉及绝对收敛与条件收敛．二、绝对收敛与条件收敛定义8.5设有任意项级数,如果级数收敛,则称级数绝对收敛；若级数发散,而级数收敛,则称级数条件收敛；二、绝对收敛与条件收敛证明由于任意项级数绝对收敛,即级数收敛,令,则有且．由比较判别法可知级数收敛,从而级数也收敛.而,于是由性质8.1得级数收敛．二、绝对收敛与条件收敛定理8.7如果任意项级数绝对收敛,则级数必收敛．（1）；（2）.根据比较判别法得收敛．所以级数绝对收敛．二、绝对收敛与条件收敛（1）因为,而级数收敛,解【例3】判别下列级数的敛散性,若收敛,指出其是绝对收敛还是条件收敛：（2）设,

因为,

根据比较判别法的极限形式得,级数

与级数

同敛散,而级数发散,故级数发散．二、绝对收敛与条件收敛而交错级数,

,又,根据莱布尼兹定理得收敛.所以原级数条件收敛.二、绝对收敛与条件收敛则(1)当时,级数绝对收敛；(2)当或

时,级数发散.(1)当时,级数收敛,即级数绝对收敛;

(2)当或时,由于数列递增,故,二、绝对收敛与条件收敛如果任意项级数,满足条件,定理8.8对正项级数由本章第二节定理8.4(比值判别法)知,证明从而,所以级数发散．同理可证下面定理:则(1)当时,级数绝对收敛；(2)当或时,级数发散.二、绝对收敛与条件收敛如果任意项级数,满足条件,定理8.9（1）

；（2）；（3）

；（4）.所以根据定理8.8得级数绝对收敛.二、绝对收敛与条件收敛判别下列级数的敛散性,若收敛,确定是绝对收敛还是条件收敛：【例4】（1）因为,解（2）因为,所以根据定理8.8得级数发散.（3）因为,所以根据定理