高等数学课件 第9章 微分方程 第1节

第九章Advancedmathematics微分方程高等数学第二节一阶微分方程第三节可降阶的二阶微分方程第四节线性微分方程第五节微分方程的经济应用目录/Contents第九章微分方程第一节微分方程的基本概念e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C二、微分方程的基本概念目录/Contents第一节微分方程的基本概念一、引例一、引例【例1】假设某人以本金进行一项投资,投资的年利率为,按连续复利计息,求年末的本利和.解设年末的本利和为,则年末资金总额的变化率等于资金总额获取的利息,即,由,所以年末的本利和,这与第一章第四节中例4的结果一致.得,解得,其中为任意常数,【例2】一质量为的物体仅受重力的作用而下落,如果其初始位置和初始速度为0,试确定物体下落的距离与时间的函数关系.解设时刻物体下落的距离为,则由牛顿第二定律知,得,再积分一次,一、引例得,其中,为任意常数.上式两边积分,

将代入式,将,代入式,所以物体下落的距离与时间的函数关系为,

这就是我们所熟悉的物理学中的自由落体运动公式.一、引例得,得,e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C目录/Contents第一节微分方程的基本概念一、引例二、微分方程的基本概念定义9.1含有自变量、未知函数及未知函数导数或微分的方程称为微分方程.这里讲的未知函数是一元函数,这种定义9.2微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称为如上面例子中的是一阶微分方程,是二阶微分方程.微分方程称为常微分方程,简称为微分方程.微分方程的阶.二、微分方程的基本概念而方程,分别是三阶和四阶微分方程.一般地,阶常微分方程具有如下形式：或二、微分方程的基本概念则称之为线性微分方程；否则称为非线性微分方程.定义9.3如果阶微分方程是及的一次方程,一般的阶线性微分方程具有形式：其中,是已知函数,

称为微分方程的系数.二、微分方程的基本概念当为函数时,当为常数时,一阶线性微分方程形式是,

例如二阶线性微分方程一般形式是例如二、微分方程的基本概念上面方程称为变系数的微分方程；上面方程称为常系数的微分方程.和为一阶线性微分方程.

,和是二阶线性微分方程.定义9.4满足微分方程的函数称为微分方程的解.例如,

都是二阶微分方程的解.定义9.5如果微分方程的解中所含独立任意常数的个数等于微分方程的阶数,则此解称为微分方程的通解.例如是一阶微分方程的通解；是二阶微分方程的通解.二、微分方程的基本概念都是一阶微分方程的解；,而定义9.6用来确定微分方程通解中任意常数的条件称为定解条件（或初始条件）.定义9.7满足初始条件的解称为微分方程的特解.例如满足初始条件的特解；而是二阶微分方程满足初始条件二、微分方程的基本概念是一阶微分方程,的特解.定义9.8求微分方程满足初始条件的问题,称为初值问题.如初值问题与定义9.9微分方程通解的图形称积分曲线族,微分方程特解的图形称积分曲线.二、微分方程的基本概念【例3】验证函数,

,

,(其中为任意常数)是否为微分方程的解？是通解还是特解？二、微分方程的基本概念故为微分方程的特解.解将,,代入方程,得左边右边,这是一个恒等式,且函数中不含任意常数,这是一个恒等式,且函数中含任意常数的个数（1个）等于将,

,左边右边,为微分方程的通解.二、微分方程的基本概念方程的阶数（1阶）,代入方程,得故左边右边,二、微分方程的基本概念将,,代入方程,得所以不是微分方程的解.【例4】求函数（其中为任意常数）满足的二阶微分方程.解由于,

从三式中消去,得二阶微分方程为.而,二、微分方程的基本概念1.含有自变量、未知函数及未知函数导数或微分的方程称为微分方程.这里讲的未知函数是一元函数,这种微分方程称为常微分方程,简称为微分方程.2.微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称为微分方程的阶.一般地,阶常微分方程具有如下形式：或内容小结则称之为线性微分方程；3.如果阶微分方程是及的一次方程,一般的阶线性微分方程具有形式：其中,是已知函数,

称为微分方程的系数,当为函数时,当为常数时,内容小结否则称为非线性微分方程.上面方程称为变系数的微分方程；上面方程称为常系数的微分方程