高等数学课件 第10章 差分方程 第1节

第十章e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C差分方程Advancedmathematics高等数学e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C二、差分方程的概念一、差分的概念目录/Contents第一节差分与差分方程的概念三、常系数线性差分方程解的结构第十章差分方程1．差分的定义设函数中只对在非负整数值上有定义,在自变量依次取遍非负整数时,

即,,相应的函数值为或简记为.定义10.1当自变量从变到时,函数

的改变量

称为函数的一阶差分,一、差分的概念,即

记为【例1】解【例2】解所以常数的差分为零.设,求所以指数函数的差分等于指数函数乘上一个常数.一、差分的概念设（为常数）,求【例3】解【例4】解求设求设一、差分的概念【例5】求设当

在例5中,若（

为正整数）,则

当

则

,则

一般地,若

.解

,一、差分的概念根据一阶差分的定义,容易得到下述差分的性质：,(为常数),(为常数)一、差分的概念,(为常数)2．一阶差分的性质称为函数的二阶差分,同样,二阶差分的差分称为函数的三阶差分,记为

即依次类推,可得函数的

阶差分为

一、差分的概念3．高阶差分的定义当自变量从

变到

时,一阶差分的差分定义10.2即记为

【例7】

求

设

一、差分的概念解

,解

求

设

【例6】e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C二、差分方程的概念一、差分的概念目录/Contents第一节差分与差分方程的概念三、常系数线性差分方程解的结构含有未知函数差分或表示未知函数几个时期值的符号的方程称为差分方程,其一般形式为:由差分的定义及性质可知,差分方程的不同形式之间可以互相转换,故上述三种不同的表达形式是等价的.例如,差分方程或或为同一方程的三种不同表达式.二、差分方程的概念定义10.3差分方程中未知函数最大下标与最小下标的差数称为差分方程的阶.例如,是一个三阶差分方程.虽然形式上含有三阶差分,但因为差分方程

是一个二阶差分方程.所以原方程等价于下面的二阶差分方程二、差分方程的概念定义10.4满足差分方程的函数,称为差分方程的解.所含独立的任意常数的个数等于差分方程的阶数的解,称为差分方程的通解.差分方程附加的定解条件,称为差分方程的初始条件.通解中的任意常数被初始条件确定后的解称为差分方程的特解.验证函数

是二阶差分方程

的解,【例8】是解.因此,二、差分方程的概念设则解

定义10.5定义10.6定义10.7时的特解.并求当用得代入解得是满足的特解.所以二、差分方程的概念e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C二、差分方程的概念一、差分的概念目录/Contents第一节差分与差分方程的概念三、常系数线性差分方程解的结构如果未知函数及未知函数的各阶差分都是一次的,则称该方程为线性差分方程.其中,…,,为已知函数.称为

阶非齐次线性差分方程.若称为

阶齐次线性差分方程.若若均为常数,则该方程称为常系数线性差分方程.三、常系数线性差分方程解的结构一个

n

阶线性差分方程可写成定义10.8称当阶常系数线性差分方程的一般形式为（10-2）

阶常系数齐次线性差分方程.为方程（10-1）所对应的为常数,且其中（10-1）,三、常系数线性差分方程解的结构阶常系数线性差分方程的解具有以下性质：则这个函数的线性组合也是齐次差分方程（10-2）的解,其中为任意常数.是齐次差分方程（10-2）的通解,其中为任意常数.三、常系数线性差分方程解的结构线性无关的特解,若函数均是齐次线性差分方程（10-2）的解,定理10.1若函数

均是齐次线性差分方程（10-2

）的

个定理10.2则它们的线性组合则非齐次线性差分方程（10-1）的通解为是其对应的齐次线性差分方程（10-2）的通解,的特解,的特解.三、常系数线性差分方程解的结构若是非齐次线性差分方程（10-1）的一个特解,定理10.3若函数

和

分别是非齐次线性差分方程定理10.4就是方程

则的通解.代入方程左端,得将所以