八年级下数学压轴题及答案

八年级下数学压轴题

1.已知，正方形1BCD中，ZMAN=45°,/MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或

它们的延长线）于点M、N,AH_LMN于点H.

（1）如图①，当/MAN绕点A旋转到BM=DN时，请你直接写出AH及AB的数量关系：:

（2）如图②，当NVAN绕点A旋转到BM^DN时，（1）中发现的AH及AB的数量关系还成立.吗？

如果不成立请写出理由，如果成立请证明：

（3）如图③,已知NMAN=45°,AH_LMN于点H,且阳=2,NH=3,求AH的长.（可利用（2）得

到的结论）

2.如图，△ABC是等边三角形，点D是边BC上的一点，以AD为边作等边AADE,过点C作CF

〃DE交AB于点F.

（1）若点D是BC边的中点（如图①），求证:EF=CD：

⑵在⑴的条件下直接写出△AEF和AABC的面积比；

（3）若点D是BC边上的任意一点（除B、C外如图②），那么（1）中的结论是否仍然成立？

若成立，请给出证明：若不成立，请说明理由.

3.（1）如图1,在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE.

求证：CE=CF；

（2）如图2,在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，如果NGCE=45°,请你利用

（1）的结论证明:GE=BE+GD.

（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：

如图3,在直角梯形ABCD中,AD/7BC（BC>AD）,ZB=9C°,AB=BC,E是AB上一点,且NDCE=45°,

BE=4,DE=10,求直角梯形ABCD的面积.

4.如图，正方形ABCD中，E为AB边上一点，过点D作DF_LDE,及BC延长线交于点F.连接

EF,及CD边交于点G,及对角线BD交于点H.

（1）若BF=BD=亚，求BE的长；

（2）若4DE=2/BFE,求证:FH=HE+HD.

5.如图，将一三角板放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑

动，直角的一地始终经过点B，另一地及射线DC相交于Q.

探究：设A、P两点间的距离为x.

（1）当点Q在边CD上时，线段PQ及PB之间有怎样的数量关系？试证明你的猜想：

（2）当点Q在边CD上时，设四边形PBCQ的面枳为〃求y及x之间的函数关系，并写出函数

自变量x的取值范围：

<3）当点P在线段AC上滑动时，^PCQ是否可能成为等腰三角形？如果可能，指出所有能使

△PCQ成为等腰三角形的点Q的位置.并求出相应的x值，如果不可能，试说明理由.

6.RiZ\ABC及RlAFED是两块全等的含30°、60°角的三角板，按如图（一）所示拼在一起,

CB及DE重合.

(1)求证:四边形ABFC为平行四边形；

(2)取BC中点0,将△ABC绕点0顺时钟方向旋转到如图(二)中aA'B'C'位置，直线B'C'

及AB、CF分别相交于吓、Q两点，猜想0Q、0P长度的大小关系，并证明你的猜想：

(3)在(2)的条件下，指出当旋转角至少为多少度时，四边形PCQB为菱形？(不要求证明:

7.如图，在正方形ABCD中，点F在CD边上，射线AF交BD于点E,交BC的延长线

于点G.

(1)求证:AADE^ACDE：

(2)过点C作CH_LCE,交FG于点H,求证：FH=GH；

(3)设AD=1,DF=x,试问是否存在x的值，使4ECG为等腰三角形？若存在，请求

出x的值；若不存在，请说明理由.

8.在平行四边形ABCD中，NBAD的平分线交直线BC于点E,交直线DC于点F.

(1)在图1中证明CE=CF：

(2)若NABC=90°,G是EF的中点(如图2),直接写出2BDG的度数:

(3)若/ABC=120°,FG〃CE,FG=CE,分别连接DB、DG1如图3),求/BDG的度数.

9.如图，已知—BCD中,DE_LBC于点E,DH_LAB于点H,AF平分NBAD,分别交DC、DE、Dll

于点F、G、M,且DE=AD.

(1)求证：△ADG9ZJ：DM.

(2)猜想AB及DG+CE之间有何数量关系，并证明你的猜想.

10.如图，在正方形ABCD中，E、F分别为BC、AB上两点，且BE=BF,过点B作AE的垂线交

AC于点G,过点G作CF的垂线交BC于点H延长线段AE、GH交于点M.

(1)求证：ZBFC=ZBEA；

(2)求证：AM=BG+GM.

11.如图所示，把矩形纸片0ABC放入直角坐标系xOy中，使0A、0C分别落在x、y轴的正半

轴上，连接AC,且AC=4加，里工

0A2

(1)求AC所在直线的解析式；

(2)将纸片OABC折叠，使点A及点C重合(折痕为EF),求折登后纸片重叠部分的面积.

(3)求EF所在的宜线的函数解析式.

12.已知一次函数y=-1-x+6的图象及坐标轴交了八、B点(如图)，AE平分NBA0,交x轴于

点E.

(1)求点B的坐标;

(2)求直线AE的表达式:

(3)过点B作BF_LAE,垂足为F,连接OF,试判断A0FB的形状，并求△OFB的面积.

(4)若将已知条件“AE平分NBA0,交x轴于点E”改变为“点E是线段0B上的一个动点(点

E不及点0、B重合)”，过点B作BF_LAE,垂足为F.设OE=x,BF=y,试求y及x之间的函数关系

式，并写出函数的定义域.

13.如图，直线L的解析表达式为：y=-3x+3,且L及x轴交于点D,直线k经过点A，B,

直线L,L交于点C.

(1)求点D的坐标；

(2)求直线L的解析表

达式；

(3)求AADC的面积；

(4)在直线上上存在异

于点C的另一点P,使得aADP

及△ADC的面积相等，请直接写

出点P的坐标.

14.如图1,在平面直角坐标系中，0是坐标原点，长方形OACB的顶点A、B分别在x轴及y

轴上，已知0A=6,0B=10.点D为y轴上一点，其坐标为(0,2),点P从点A出发以每秒2个单位的

速度沿线段AC-CB的方句运动，当点P及点B重合时停止运动，运动时间为t秒.

(D当点P经过点C时，求直线DP的函数解析式；

(2)①求AOPD的面积S关于I的函数解析式；

②如图②，把长方形沿着0P折叠，点B的对应点B'恰好落在AC边上，求点P的坐标.

(3)点P在运动过程中是否存在使△BDP为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存

在，请说明理由.

15.如图，在平面直角坐标系中，已知。为原点，四边形ABCD为平行四边形，A、B、C的坐标

分别是A(-5,1),B(-2,4),C(5,4),点D在第一象限.

(1)写出D点的坐标；

(2)求经过B、D两点的直线的解析式，并求线段BD的长；

(3)揩平行四边形ARCD先向右平移I个单位长度.再向下平移1个单位长度所得

的四边形ABCD四个顶点的坐标是多少？并求出平行四边形AKD及四边

ABCD重叠部分的面积.

V3

16.如图，一次函数产二必m+1的图象及*轴、y轴交于点A、B,以线段AB为边在第一象

3

限内作等边△ABC,

(1)求AABC的面枳:

(2)如果在第二象限内有一点P(a,工)；试用含有a的代数式表示四边形ABPO的面枳，并

2

2018年06月17日梧桐听雨的初中数学组卷

参考答案及试题解析

解答题(共16小题)

1.已知，正方形ABCD中,ZMAN=45°,NMAN绕点A顺时针旋转,它的两边分别交CB、DC(或

它们的延长线)于点M、N,AHJ_MN于点H.

(1)如图①，当/MAN绕点A旋转到BV=DN时，请你直接写出All及AB的数量关系：A1I=AB：

(2)如图②，当NMAN绕点A旋转到BM^DN时，(1)中发现的AH及AB的数量关系还成立吗？

如果不成立请写出理由，如果成立请证明；

(3)如图③，已知NMAN=45°,AH_LMN于点H,且VH=2,NH=3,求AH的长.(可利用(2)得

到的结论)

【解答】解：⑴如图①AH=AB.

(2)数量关系成立.如图②，延长CB至E,使BE=DN.

•.FBCD是正方形，

.*.AB-AD,ZD-ZABE-9O0,

'AB二AD

在RtAAEB和KtAAND中，ZABE=ZADN>

BERN

.•.RtAAEB^RtAAND,

.'.AE=AN,NEAB=NNAD,

VZDAN+ZBAN=45",

ZEAB+ZBAN=45",

AZEAN=45°,

AZEAM=ZNAM=45°,

'AE二AN

在aAEM和△ANM中，(NEAM=/NAM，

AM二AM

=

**•SAU：产S,EMMN,

YAB、AH是△AEN和△A\M时应边上的高，

/.AB=AH.

(3)如图③分别沿AM、A\翻折△AMH和△ANH,得到△ABM和

，BM=2,DN=3,ZB=ZD=ZB/\D=90°.

分别延长BM和DN交于点C,得正方形ABCD,

由（2）可知,AH=AB=BC=CD=AD.

设AH=x,则MC=x-2，加=x・3,

在RtZ\MCN中，由勾股定理，得MN0C+NC2

/.52=（x-2）2+（x-3）2（6分）

解得刈=6,x2=-1.（不符合题意，舍去）

.,.AH=6.

2.如图，AABC是等边三角形，点D是边BC上的一点，以AD为边作等边aADE,过点C作CF

〃DE交AB于点F.

（1）若点D是BC边的中点（如图①）,求证：EF=CD；

（2）在（1）的条件下直接写出AAEF和△ABC的面积比；

（3）若点D是BC边上的任意一•点（除B、C外如图②），那么中的结论是否仍然成立？

若成立，请给出证明：若不成立，请说明理由.

【解答】图①图②

(1)证明：:△ABC是等边三角形，D是BC的中点，

.'.AD±BC,日/BAD=』NBAC=30°,

2

•••△AED是等边三角形，

.*.AD=AE,NADE=60°,

.•.NEDB=900-NADE=90°-60°=30°,

VED/7CF,

，NFCB=NEDB=30°,

•••NACB=60°,

/.ZACF=ZACB-ZFCB=30°,

/.ZACF=ZBAD=30°,

在aABD和aCAF中，

/.△ABD^ACAF(ASA),

.,.AD-CP,

VAD=ED,

.*.ED=CF,

又TED〃CF,

四边形EDCF是平行四边形，

.'.EE=CD.

(2)解：ZiAEF和△ABC的面积比为：1：4；

(易知AF=BF,延长EF交AD于H,AAEF的面积=>1・EF・AH=L・」FB♦工・AD=2■•工・BC・AD,

222242

由此即可证明)

理由如下：VEDZ^FC,

AZEDB=ZFCB,

VZAFC=ZB+ZBCF=60°+ZBCF,NBDA=NADE+NEDB=60°+ZEDB

ZAFC=ZBDA,

，ZBDA=ZAFC

在AABD和aCAF中，ZB=ZFAC

AB^CA

.,.△ABD^ACAF(AAS),

.'.AD=FC,

VAD=ED,

.\ED=CF,

XVED/7CF,

四边形EDCF是平行四边形，

.-.EF=DC.

3.(1)如图1,在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE.求证：

CE=CF：

(2)如图2,在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，如果/GCE=45°,请你利用

(1)的结论证明：GE=BE+GD.

(3)运用(1)(2)解答中所积累的经验和知识，完成下题：

如图3,在宜角梯形ABCD中，AD〃BC(BC>AD)，ZB=9C°,AB=BC,E是AB上一点，且NDCE=45°，

BE=4,DE=10,求直角梯形ABCD的面积.

【解答】（1）证明：•.•四边形ABCD是正方形，

；.BC=CD,ZB=ZCDF=9D°,

VZADC=90",

.•.NFDC=90°.

.,.ZB=ZrDC,

VBE=DF,

AACBE^ACDF（SAS）.

，CE=CF.

（2）证明：如图2,延长AD至F,使DF=BE,连接CF.

由（1）知ACBE@aCDF,

ZBCE=ZDCF.

；・ZBCE+ZECD=ZDCE+ZECD,

即NECF=NBCD=90°,

又NGCE=45°,

AZGCF=ZGCE=45".

VCE=CF,GC=GC,

.,.△ECG^AFCG.

.-.GE=GF,

.,.GE=GF=DF+GD=BE+GD.

（3）解：如图3,过C作CG_LAD,交AD延长线于G.

在直角梯形ABCD中，

VAD77BC,

，NA=NB=90°.

又•.•NCGA=90°,AB=B二，

工四边形ABCG为正方形.

.\AG=BC.-（7分）

VZDCE=45°,

根据（1>（2）可知，EOBE+DG.-（8分）

A10=4+DG,

即DG=6.

设AB=x»则AE=x-4,AD=x-6,

在RtAAED中，

VDEMD'+AE2,即102=(x-6)2+(x-4)\

解这个方程，得：x=12或x=-2(舍去).…(9分)

/.AB=12.

<AD।DC)-AD=ix(Gi12)X12=108.

22

即梯形ABCD的面积为108.…(10分)

4.如图，正方形ABCD中，E为AB边上一点，过点D作DF_LDE,及BC延长线交于点F.连接

EF,及CD边交于点G,及对角线BD交于点H.

(1)若BF=BD=亚，求BE的长:

(2)若NADE=2NBFE,求证:FH=HE+HD.

【解答】(1)解：•・•四边形ABCD正方形,

ZBCD=90°,BC=CD,

••・―△BCD中,BC2+CDJ=BD\

即BC三(亚)2-(BC)工

，BC=AB=1,

VDF±DE,

AZADE+ZEDC=90°=ZEDC+ZCDF,

；・ZADE=ZCDF,

在aADE和aCDF中，

.,.△ADE^ACDF(ASA),

AE=CF=BF-BC=V2-1，

.\BE=AB-AE=1-(V2-1)=2-沈；

(2)证明：在FE上截取一段FI,使得FI=EH,

,.,△ADE^ACDF,

.\DE=DF,

.'.△DEF为等腰宜角三角形，

・..NDEF=NDFE=45°=ZDBC,

VZDHE=ZBIIF,

・•・ZEDH=NBFH（三角形的内角和定理）,

在aDEH和aDFI中，

.,.△DEH^ADFI（SAS）,

.'.DH=D1,

又•.•NHDE=NBFE,ZADE=2ZBEE,

ZHDE=ZBFE=—ZADE,

2

VZHDE+ZADE=45°,

：.ZHDE=15°,

.,.ZDHI=ZDEH+ZHDE=60<>,

即△DH1为等边三角形，

/.DH=HI,

AFH=FI+HI=HE+HD.

5.如图，将一三角板放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上消

动，直角的一边始终经过点B,另一边及射线DC相交于Q.

探究：设A、P两点间的距离为x.

（1）当点Q在边CD上时，线段PQ及PB之间有怎样的数量关系？试证明你的猜想：

（2）当点Q在边CD上时，设四边形PBCQ的面积为y,求？及x之间的函数关系，并写出函数

自变量x的取值范围：

（3）当点P在线段AC上滑动时，APCQ是否可能成为等腰三角形？如果可能，指出所有能使

△PCQ成为等腰三角形的点Q的位置.并求出相应的x值，如果不可能，试说明理由.

【解答】解：⑴PQ=PB,（1分）

过P点作MN〃BC分别交AB、DC于点M、N,

在正方形ABCD中，AC为对角线，

AAM=PM,

XVAB=MN,

.-.MB=PN,

VZBPQ=90°,

/.ZBPM+ZNPQ=90°:

XVZMBP+ZBPM=90°,

AZMBP=ZNPQ,

在RlZXMBPWRtaNPQ中,

.,.RtAMBP^RtANPQ,（2分）

，PB=PQ.

（2）VS两地形POO^SAPK+SAPCO*

YAP=x,

2

.•.CQ=CD-2NQ-1-V2x

又惟二!BC・BM=1L・1・（1-返X）J.返X,

22224

SAKl）=-lcQ.pN=-l（1-亚x）•（1-m3,

222

••・S■电血=工乂2-加x+L（°WxW返）.（4分）

22

（3）4PCQ可能成为等腰三角形.

①当点P及点A重合时，点Q及点D重合,

PQ=QC,此时，x=0.（5分）

②当点Q在DC的延长线上，且CP=CQ时，（6分）

有:QN=AM=PM=2/ZX,CP=V2-X.CN返CP=]-退:.X,CQ=QN-CN=^x-（1-返x）=V5<

22222

/.当-x=V^x-1时，x=l.（7分）.

6.RlZ\ABC及RtAFED是两块全等的含30°、60°角的三角板，按如图（一）所示拼在一起,

CB及DE重合.

（1）求证：四边形ABFC为平行四边形；

（2）取BC中点0,将△ABC绕点0顺时钟方向旋转到如图（二）中AA'U位置，直线B'C'

及AB、CF分别相交于P、Q两点，猜想0Q、0P长度的大小关系，并证明你的猜想：

（3）在（2）的条件下，指出当旋转角至少为豕少度时，四边形PCQB为菱形？《不要求证明）

【解答】（1）证明：,/△ABC^AECB,

.\AB=CF,AC=BF.

工四边形ABFC为平行四边形.

（2）解：OP=OQ,

理由如下：•.•OC=OB,ZC0Q=ZB0P,ZOCQ=ZPBO,

/.△COQ^ABOP.

AOQ=OP.

(3)解：90°.

理由：V0P=0Q,OC=OB,

.••四边形PCQB为平行四边形，

VBCXPQ,

...四边形PCQB为菱形.

7.如图，在正方形ABCD中，点F在CD边上，射线AF交BD于点E,交BC的延长线于点G.

(1)求证：AADEg△匚DE：

(2)过点C作CH_LCE,交FG于点H,求证：FH=GH；

(3)设AD=1,DF=x,试问是否存在x的值，使AECG为等腰三角形？若存在，请求出x的值;

若不存在，请说明理由.

【解答】(1)证明：•••四边形ABCD是正方形，

ADA=DC,N1=N2=45°,DE=DE,

.-.△ADE^ACDE.

(2)证明：VAADE^ACDE,

r.Z3=Z4,

VCH1CE,

••.N4+N5=90°,

又,.,N6+N5=90°,

/.Z4=Z6=Z3,

VADZ/BG,

NG=N3,

ZG=Z6,

.*.CH=G1I,

又"4+N5=/G+N7=90°,

/.Z5=Z7,

.•.CH=FH,

AFH=GH.

(3)解：存在符合条件的x值此时乂必，

VZEC0900,要使AECG为等腰三角形,必须CE=CG,

/.ZG=Z8,

又；ZG=Z4,

/.Z8=Z4,

，N9=2N4=2N3,

.,.Z9+Z3=2Z3+Z3=90°,

AZ3=30",

Ax-DF-lXlari30°

3

8.在。ABCD中，/BAD的平分线交直线BC于点E,交直线DC于点F.

(1)在图1中证明CE=CF：

(2)若NABC=90°,G是EF的中点(如图2),直接写出NBDG的度数;

(3)若NABC=120°,FG〃CE,FG=CE,分别连接DB、DG(如图3),求NBDG的度数.

【解答】(1)证明：如图1,

•；AF平分NBAD,

，ZBAF=ZDAF,

•.•四边形ABCD是平行四边形，

/.AD/7BC,AB〃CD,

ZDAF=ZCEF,ZBAF=ZF,

/.ZCEF=ZF.

.*.CE=CF.

(2)解：连接GC、BG,

•••四边形ABCD为平行四边形,ZABC=90°,

・•.四边形ABCD为矩形，

•「AF平分/BAD,

AZDAF=ZBAF=45",

VZDCB=90°,DF〃AB,

AZDFA=45°,ZECF=90°

••.△ECF为等腰直角三角形，

•・・G为EF中点,

,>.EG=CG=KG.CG±EF,

:△ABE为等腰宜角三角形，AB=DC,

.,.BE=DC,

VZCEF=ZGCF=45°,

.,.ZBEG=ZDCG=135°

在aBEG及aDCG中，

.".△BEG^ADCG,

.,.BG=DG,

•・，CG_LEF,

ZDGC+ZDGA=90",

又•••/DGCn/BGA,

.,.ZBGA+ZDGA=90°,

••.△DGB为等腰直角三角形，

.,.NBDG=45°.

(3)解：延长AB、FG交于H,连接HD.

•.•AD〃GF,AB〃DF,

工四边形AHFD为平行四边形

VZABC=120",AF平分NBAD

AZDAF=30°,Z/\DC=120°,ZDFA=30°

.-.△DAF为等腰三角形

.-.AD=DF,

/.CE=CF,

/.平行四边形AHFD为菱形

/.△ADH,△0股为全等的等边三角形

/.DH=DF,ZBHD=ZGFD=60°

,/FG=CE,CE=CF.CF=BH,

.'.BH=GF

在ABHD及△GFD中，

.-.△BHD^AGFD,

.•.ZBDH=ZGDF

/./BDG=NBDH+NHDG=/GDF+/HDG=60°

9.如图,已知DABCD中,DEJLBC于点E,DH_LAB于点H,AF平分/BAD,分别交DC、DE、DH

于点F、G、M,且DE=AD.

(1)求证：△ADG^AFDM.

(2)猜想AB及DG+CE之间有何数量关系，并证明你的猜想.

【解答】证明：(1)•・•四边形ABCD是平行四边形,

，AB〃CD,AD〃BC,

ZBAF=ZDFA,

；AF平分NBAD,

ZDAF=ZDFA,

AAD=FD,

VDEIBC,DH1AB,

ZADG=ZFDM=90°,

在△△[)€和△FDM中，

.•.△ADG色△FDM(ASA).

(2)AB=DG-EC.

证明：延长GD至点N,使DN=CE,连接AN,

VDE±BC,AD〃BC,

AZ/\DN=ZDEC=90",

在和aDEC中，

.,.△ADN^ADEC(SAS),

AZNAD=ZCDE,AN=DC,

•:ZNAG=ZNAD+ZDAG,/NGA=NCDE+NDFA,

:.ZNAG=ZNGA,

r.AN=GN=DG+CE=DC,

•.•四边形ABCD是平行四边形，

AAB=CD.

.\AB=DG+EC.

10.如图，在正方形ABCD中，E、F分别为BC、AB二两点，且BE=BF,过点B作AE的垂线交

AC于点G,过点G作CF的垂线交BC于点H延长线段AE、GH交于点M.

(1)求证：ZBFC=ZBEA；

(2)求证：AM=BG+GM.

【解答】证明，(1)在正方形ABCD中，AB=BC,NAEC=90°,

在△ABE和△CBF中,

/.△ABE^ACBF(SAS),

ZBFC=ZBEA；

(2)连接DG,在△ABG和aADG中,

.'.△ABG^AADG(SAS),

，BG=DG,Z2=Z3,

VBG±AE,

AZBAE+Z2=90",

VZBAD=ZBAE+Z4=90",

AZ2=Z3=Z4,

VGM1CF,

,\ZBCF+Z1=9O°,

乂NBCF+NBFC=90",

.\Z1=ZBEC=Z2,

.-.Z1=Z3,

在△ADG中，NDGC=N3+45°,

.,.NDGC也是ACGH的外角，

・・・D、G、M三点共线，

•・・N3=N4(已证)，

.\AM=DM,

VDM=DG+GM=BG+GM,

/.AM=BG+GM.

11.如图所示，把矩形纸片OABC放入直角坐标系xOy中，使OA、0C分别落在x、y轴的正半

轴上，连接AC,且AC=4在，里二！

0A2

(1)求AC所在直线的解析式；

(2)将纸片OABC折叠，使点A及点C重合(折痕为EF),求折叠后纸片重叠部分的面积.

(3)求EF所在的直线的函数解析式.

【解答】解：

(1)•.•堡=工

0A2

・•・可设0C=x,则OA=2x,

在RtAAOC中，由勾股定理可得OC^+OA^AC2,

.\x2+(2x)2=(45/5)2,解得X=4(x=-4舍去),

/.0C=4,0A=8,

/.A(8,0),C(0,4),

设直线AC解析式为y=kx+b,

1

.・.(8k+b?解得.

b=4b=4

.♦•直线AC解析式为y=-ix+4；

2

(2)由折叠的性质可知AE=CE,

设AE=CE=y,则0E=8~y,

在RtAOCE中，由勾股定理可得0E:+0C2=CE\

/.(8-y)2+42=y\解得y=5,

.,.AE-CE-5,

VZAEF=ZCEF,NCFE=NAEF,

ZCFE=ZCEF,

.,.CE=CF=5,

SAG产Lr・0C=Lx5X4=10,

22

即重叠部分的面积为10；

(3)由(2)可知0E=3,CF=5,

Z.E(3,0),F(5,4),

设直线EF的解析式为y=k'x+b',

.[3ky+b，=00/k，=2

l5ky+bz=4lbz=-6

直线EF的解析式为y=2x-6.

12.已知一次函教y=-*x+6的图象及坐标轴交于hB点（如图），AE平分NBAO,交x轴于

点E.

（1）求点B的坐标；

（2）求直线AE的表达式：

（3）过点B作BF_LAE,垂足为F,连接OF,试判断AOFB的形状,并求△OFB的面积.

（4）若将已知条件“AE平分NBA0,交x轴于点E”改变为“点E是线段0B上的一个动点（点

E不及点0、B重合）”，过点B作BF_LAE,垂足为F.设0E=x,BF=y,试求y及x之间的函数关系

式，并写出函数的定义域.

解：(1)对于y=--x-6,

4

当x=0时，y=6：当y=0时,x=8,

.'.0A=6,0B=8,

在RtAAOB中，根据勾股定理得：AB=10,

则A(0,6),B(8,0)：

(2)过点E作EGJ_AB,垂足为G(如图1所示),

•••AE平分NBAO,E01A0,EG1AG,

/.EG=OE,

在RtAAOE和RtZXAGE中,

ARtAAOE^RtAAGE(HL),

，AG=AO,

设OE=EG=x,则有BE=8-x,BG=AB-AG=10-6=4,

在RtZXBEG中，EG=x,BG=4,BE=8-x,

根据勾股定理得:xMJ=(8-x)2,

解得：x=3,

.'.E(3,0),

设直线AE的表达式为尸kx+b(k^O),

将A(0,6),E(3,0)代入y=kx+b得：

解得」b=6,

lk=-2

则直线AE的表达式为产-2x+6：

(3)延长BF交y轴于点K(如图2所示),

•••AE平分NBAO,

.,.ZKAF=ZBAF,

又BF±AE,

.•.NAFK=NAFB=90°,

在△AFK和△AFB中，

.'.△AFK^AAFB,

...FK=FB,即F为KB的中点,

又•••△BOK为直隹三角形，

.,,0F=Aj3K=BF,

2

.-.△OFB为等腰三角形，

过点F作FH_LOB,垂足为H(如图2所示),

VOF=BF,FHXOB,

/.0H=BH=4,

••・F点的横坐标为4,

设F(4,y),将F(4,y)代入y=-2x+6,得：y=-2,

/.FH=|-2|=2,

则S^=-1OB-FHJ^X8X2=8；

22

(4)在RtZiAOE中,OE=x,0A=6,

根据勾股定理得：AE=^OE2+QA2=^X2+36,

又BE=OB-0E=8"X,S△啾=LAE・BF=%E・AO(等积法),

22

.•.BF「BE・AO(0<x<8),又BF=y,

趣^X2+36

则y外*r)(0<X<8).

13.如图，直线h的解析表达式为：y=-3x+3,且］।及x轴交于点D,直线k经过点4,B,

直线h，L交于点C.

(1)求点D的坐标;

(2)求直线L的解析表达式：

(3)求△ADC的面积；

(4)在直线k上存在异于点C的另一点P,使得AADP及△,*!)€的面积相等，请直接写出点P

的坐标.

【解答】解：(1)由y=-3x+3,令y=0,得-3x+3=0,

.'.x=l,

AD(1,0)：

(2)设直线1?的解析表达式为y=kx+b,

由图象知：x=4,y=0：x=3,y=—3,代入表达式y=kx+b,

y2

工直线L的解析表达式的y=^x_6；

y=-3x+3

(3)山＜3,

y=，x-6

解得卜二2,

ly=-3

，C(2,-3),

VAD=3,

1,Q

=

S/MDC=—X3X-3"：

22

(4)△ADP及△.，'[)€底边都是AD,面积相等所以高相等，^ADC高就是点C到宜线AD的距离,

即C纵坐标的绝对值=|-31=3,

则P到AD距离=3,

...P纵坐标的绝对值=3,点P不是点C,

...点P纵坐标是3,

*.*y=l.5x-6»y=3»

，1.5x-6=3

x=6,

所以P(6,3).

14.如图1,在平面直角坐标系中，0是坐标原点，长方形OACB的顶点A、B分别在x轴及5

轴上，已知0A=6,0B=10.点D为y轴上一点，其坐标为(0,2),点P从点A出发以每秒2个单位的

速度沿线段AC-CB的方向运动，当点P及点B重合时停止运动，运动时间为t秒.

(1)当点P经过点C时，求直线DP的函数解析式;

(2)①求AOPD的面积S关于t的函数解析式；

②如图②，把长方形沿着0P折叠，点B的对应点B'恰好落在AC边上，求点P的坐标.

(3)点P在运动过程中是否存在使△BDP为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存

在，请说明理由.

【解答】解：⑴V0A=6,0B=10,四边形OACB为长方形,

AC(6,10).

设此时直线DP解析式为y=kx+b,

把(0,2),C(6,10)分别代入，得

则此时直线DP解析式为y=Ax+2；

3

(2)①当点P在线段AC上时,0D=2,高为6,5=6；

当点P在线段BC上时,0D=2,高为6+10・2t=16-2t,S=1-X2X(16-2t)=-2t+16：

2

②设P(m,10),则设=PB'=m,如图2,

TOB'=08=10,0A=6,

=VoBz2-OA2=8,

AB'C=10-8=2,

VPC=6-m,

.,.m2=22+(6-m)\解得m=独

3

则此时点p的坐标是(四，10)：

3

<3)存在，理由为；

若△BDP为等腰三角形，分三种情况考虑：如图3,

①当BD=BP,=OB-0D=10-2=8,

在RtZkBCPi中，EP,=8,BC=6,

根据勾股定理得：CP,=^g2_62=2V7.

AAh-lO-2币,即Pi(6,10-2沂)：

②当BPJFDP2时,此时P2(6,6)；

③当DB=DP*=8时，

在RtADEP*中，DE=6,

根据勾股