六年级数学下册《成数问题的多元表征与模型建构》教学设计

六年级数学下册《成数问题的多元表征与模型建构》教学设计

一、教材与学情分析

（一）教材分析：从生活原型到数学模型的演进

本课“成数问题”属于小学六年级数学百分数应用这一核心板块，是学生在学习了百分数的意义、百分数与分数小数的互化以及解决了简单的百分数实际问题（如求一个数的百分之几是多少、求一个数比另一个数多（少）百分之几）之后的延伸与拓展。教材编排上，成数是百分数在日常生活中的一种特殊应用形式，它既是对百分数意义的深化，也是为后续学习更复杂的百分数应用题（如折扣、利率、税率）以及中学阶段学习方程解应用题奠定基础。

从知识脉络上看，【非常重要】成数问题承上启下：它承接了分数、百分数的意义与基本数量关系，同时开启了“率”在具体生活情境中模型化应用的先河。本课的教学不应仅仅停留在“成数改写为百分数”的机械操作层面，而应引导学生从生活原型出发，经历将实际问题抽象为数学模型，并运用模型进行解释与应用的过程，这即是“综合建模”的核心所在。【重要】教材中的例题通常呈现了“增产几成”或“节电几成”的基本情境，但在本讲义设计中，我们将超越单一例题，构建一个涵盖多种变化情境的综合模型体系。

（二）学情分析：从经验感知到理性思辨

【基础】六年级的学生已经具备了较强的分数、百分数互化能力，能够熟练解决“求一个数的几分之几（百分之几）是多少”的问题，对“单位1”的概念有初步但并非完全稳固的理解。在生活中，学生通过新闻报道、农业报告等渠道对“成数”有一定的模糊感知，但这种感知往往是零散、非系统性的。

本课的学习障碍点（难点）主要体现在：一是对“成数”内涵的精准把握，特别是“几成几”这种非整十成数的意义；二是在复杂情境中准确识别“单位1”，尤其是当题目中出现“增产（减产）几成”、“节电几成”等涉及增减变化时，对单位1的判断容易出错；三是【热点】在逆向思维问题中（如已知增长后的量求原量），学生往往受正向思维定势影响，难以建立正确的数学模型。【非常重要】因此，本课的教学必须顺应学生从具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的特点，引导他们通过画图、类比、列式等多种方式，将生活语言转化为数学语言，进而完成模型的自主建构。

二、教学目标与核心素养

（一）教学目标

1.知识与技能目标：【基础】理解成数的意义，掌握成数与分数、百分数的互化方法。能够准确识别成数问题中的“单位1”，并能熟练运用数量关系解决“求一个数的几成是多少”、“求比一个数多（少）几成的数是多少”以及逆向求单位1的问题。

2.过程与方法目标：通过生活情境引入、小组合作探究、线段图分析等方式，经历将实际问题抽象、概括为数学模型的过程，初步建立成数问题的“综合模型”。学会用画图法、对应法、方程法等多元策略分析和解决问题。

3.情感态度与价值观目标：感受数学与农业、工业、环境保护等领域的紧密联系，培养用数学眼光观察世界的意识，在解决实际问题的过程中体会数学的应用价值，增强模型意识与应用意识。

（二）核心素养指向

本课聚焦于小学数学核心素养中的：

1.【非常重要】模型思想：引导学生经历从现实情境中抽象出数量关系，并用数学表达式（公式、方程）加以表征的过程，形成成数问题的基本模型。

2.应用意识：鼓励学生将所学模型应用于解释新的生活现象，解决新的实际问题。

3.数感与运算能力：通过对成数转化为百分数并进行计算，进一步培养数感和精准计算的能力。

三、设计理念：大单元视角下的“综合建模”

本讲义的设计秉持“大单元教学”与“深度学习”的理念，打破传统课时界限，将“成数”置于整个“百分数应用”这一大背景下进行审视。所谓的“综合建模”，并非简单罗列几种题型，而是引导学生发现不同成数问题背后的共同结构——即“一个数（单位1）乘以（1±几成）”或“已知一个数的几成是多少，求这个数”。我们将通过“原型感知——模型抽象——模型变式——模型应用”四个递进环节，帮助学生构建一个具有强大解释力和迁移力的认知结构。课堂上，教师将扮演“引导者”和“共同学习者”的角色，通过核心问题的驱动，让学生主动思考、辩论、修正，最终实现知识的自主建构。

四、教学准备

多媒体课件（包含新闻片段、图表数据）、学习任务单、彩色粉笔、学生用于画图的直尺和铅笔。

五、教学实施过程（核心环节）

本过程将分为四大环节，环环相扣，层层递进。

（一）情境导入，唤醒经验——感知“成数”的生活原型

1.新闻播报，引发关注

上课伊始，教师利用多媒体播放一段简短的农业新闻视频或展示一则图文报道。例如：“据国家统计局发布数据显示，今年我省夏粮总产量达到1500万吨，比去年增产半成。”或者“受技术升级影响，某工厂今年用电量比去年节约了一成五。”

【基础】教师提问：“同学们，新闻里提到了‘半成’、‘一成五’，这些词你听说过吗？它们在我们数学中代表着什么？你在生活中还见过类似的表述吗？”（预设学生回答：农业收成、工业增产、打折促销等）

2.揭示课题，明确目标

教师顺势引导：“看来‘成数’与我们的生活息息相关，它其实是百分数的一种特殊形式。今天，我们就来深入研究‘成数问题’，并尝试建立解决这类问题的‘综合模型’。”（板书优化后课题：成数问题的多元表征与模型建构）

（二）探究交流，建构模型——从具体“成数”到数学表达式

1.理解成数内涵：搭建“成”与“%”的桥梁

【重要】教师板书“二成”，提问：“这个大家比较熟悉，‘二成’用分数和百分数怎么表示？”引导学生回答：二成就是十分之二，也就是20%。

追问：“那么新闻里的‘一成五’呢？它表示十分之几？百分之几？”（学生可能回答：一成五是十分之一点五，也就是15%。教师需肯定并强调，成数可以是小数成，如1.5成，对应百分数是15%。）

再追问：“‘半成’呢？”（引导学生得出：半成就是0.5成，相当于十分之零点五，即5%。）

【基础】教师带领学生进行总结并板书核心对应关系：

成数分数百分数

一成1/1010%

二成五2.5/1025%

三成3/1030%

八成8/1080%

十成10/10100%

【非常重要】教师强调：“几成就表示十分之几，也就是百分之几十。‘几成几’表示十分之几点几，即百分之几十几。这是我们把生活语言翻译成数学语言的第一步。”

2.核心模型一：求比一个数多（少）几成的数

（1）【重要】出示例题（原型题）：

“某村子去年收土豆20吨，今年风调雨顺，比去年增产二成五。今年收土豆多少吨？”

（2）审题与表征：

教师引导：“请同学们默读题目，找出关键句，并圈出‘单位1’。”（学生交流，明确“比去年增产二成五”，是把“去年的产量”看作单位1。）

【非常重要】教师示范并指导学生用线段图进行分析：

板书画出线段图：

去年：|----|----|----|----|（代表单位“1”，即20吨）

今年：|----|----|----|----|----|（比去年多出二成五，即多出25%，多出的部分用虚线或不同颜色标出）

通过线段图的直观对比，学生能清晰看到：今年的产量相当于去年的（1+25%）。

（3）列式解答与模型提炼：

学生独立列式，教师巡视，选取典型解法进行展示。

解法一：先求增产多少吨，再加上去年的量。

20×25%=5（吨）20+5=25（吨）综合算式：20+20×25%

解法二：先求今年是去年的百分之几，再求今年的量。

1+25%=125%20×125%=25（吨）综合算式：20×（1+25%）

【非常重要】教师组织学生对比两种解法：“这两种解法有什么联系？你觉得哪种更简便？它们的数量关系本质是什么？”

引导学生总结出核心模型：现在的量=原来的量（单位1）×（1±成数对应的百分数）。

板书模型，并标注出“1±成数”的含义，强调如果是“增产”、“加价”等用“+”，如果是“减产”、“节电”等用“-”。

3.即时练习，巩固模型

【基础】出示变式练习题，要求学生先画图再列式。

（1）某工厂去年用电350万千瓦时，今年比去年节电一成五，今年用电多少万千瓦时？

（2）某商场一款手机原价3000元，现在降价一成出售，现价多少元？

学生练习后，同桌互批，重点检查单位1的确定和（1±成数）的符号使用是否正确。

（三）变式深化，完善模型——从正向思维到逆向思维

1.核心模型二：已知比一个数多（少）几成后的量，求原来的量

（1）【难点】【高频考点】出示例题（变式题）：

“一个苹果园，今年采用新技术后，产量达到了30吨，比去年增产二成。这个苹果园去年的产量是多少吨？”

（2）认知冲突，引发思辨：

教师提问：“这道题和刚才的有什么不同？‘单位1’是谁？是已知的还是未知的？”（引导学生发现：单位1是“去年的产量”，但它是未知的，这正是本课的难点所在。）

（3）多元策略，探究模型：

策略一：方程思想（推荐模型）

教师引导：“既然单位1未知，我们可以用方程来帮忙。设去年的产量为x吨。那么‘比去年增产二成’是什么意思？今年的产量可以怎么表示？”引导学生根据原模型“现在的量=原来的量×（1+成数）”列出方程。

解：设去年产量为x吨。

x×（1+20%）=30

1.2x=30

x=25

答：去年产量25吨。

【非常重要】教师强调：方程法是解决逆向问题的“万能钥匙”，因为它直接套用了正向模型，思维难度最低。

策略二：算术法（对应思想）

教师引导：“如果不列方程，怎么用算术法做？大家看线段图。”（重新画线段图，这次单位1未知，用？表示）

去年：|----|----|----|----|----|（代表单位“1”的5段，因为是二成即20%=1/5，所以可以画5段）

今年：|----|----|----|----|----|----|（比去年多一段，共6段，对应30吨）

从图中直观看出：今年的30吨对应的是去年的（1+20%）=120%，即去年的1.2倍。

所以：去年的产量=今年的产量÷（1+20%）=30÷1.2=25（吨）。

【重要】教师引导学生对比两种方法，总结出逆向模型的算术表达式：

原来的量（单位1）=现在的量÷（1±成数对应的百分数）

并提醒学生注意：当单位1未知时，求单位1用除法。

2.模型对比，深化理解

教师将两个核心模型并排板书：

正向模型：现在量=原量×（1±成数）

逆向模型：原量=现在量÷（1±成数）

【非常重要】教师引导学生观察两个模型的互逆关系，强调无论正向还是逆向，关键在于找准单位1，并理解“现在的量相当于原来量的百分之几”这一对应关系。这是解决所有成数问题的“通法”，即所谓的“综合模型”。

（四）综合应用，拓展模型——在复杂情境中实现迁移

本环节设计层次性、开放性的练习，让学生在“做中学”、“用中悟”。

1.基础巩固层：【基础】直接套用模型

（1）某市2015年出境旅游人数为2.4万人次，比2014年增长一成。2014年出境旅游人数是多少万人次？（逆向）

（2）某品牌电脑进价3000元，商家加价二成作为售价。售价是多少元？（正向）

要求学生独立完成，并口述解题思路，指出模型中的“单位1”和“对应百分率”。

2.变式辨析层：【重要】区分“增加几成”与“增加几个百分点”

出示题目：“一种商品，先提价一成，再降价一成，最后的价钱与原价相比，是涨了、跌了还是不变？请说明理由。”

【热点】此题为经典易错题，旨在打破学生思维定势。

组织小组讨论，鼓励学生用多种方法验证（赋值法、代数法）。

小组汇报：假设原价为100元。提价一成后：100×（1+10%）=110元；再降价一成：110×（1-10%）=99元。最终99元<100元，所以跌了。

引导学生分析原因：两次变动的单位1不同，提价是以原价为单位1，降价是以提价后的价格为单位1，虽然成数相同，但基数不同，结果必然不同。再次强调了“单位1”在模型中的核心地位。

3.拓展延伸层：【非常重要】跨学科融合与数据解读

出示一段包含多个信息的材料：

“某贫困县通过产业扶贫，大力发展特色种植业。2018年全县人均收入8000元，2019年比2018年增长一成半。2020年受疫情影响，预计比2019年减产半成。请问：①预计2020年人均收入是多少元？②该县计划到2021年人均收入突破1万元，若保持每年比上一年增长一成，这个目标能否实现？”

此题目综合性强，涉及连续两步计算和预测分析。学生需要分步求解，先求2019年，再求2020年。对于第②问，需要计算2021年的预估值与1万元比较。

【重要】此环节不仅考察了模型的连续应用，还渗透了统计与预测的思想，让学生感受到数学在政策分析、规划制定中的价值，实现了学科育人。

（五）课堂总结，内化模型——构建知识网络

1.回顾梳理

教师引导学生回顾本节课的学习历程：“我们是如何研究成数问题的？你学到了哪些知识？你认为最关键的是什么？”

学生自由发言，可能谈到：学会了成数与百分数的互化、学会了画线段图、学会了用方程和除法解决成数问题、知道了要找准单位1等。

2.模型升华

【非常重要】教师在学生总结的基础上，进行系统梳理：

“今天，我们从生活中的‘成数’出发，通过画图、分析、列式，最终抽象出两个核心模型——正向模型和逆向模型。这两个模型虽然表现形式不同，但它们的本质是相同的，都是围绕着‘单位1’、‘对应分率’和‘对应量’这三者之间的关系展开的。这三者的关系，就是我们解决所有百分数应用问题的‘万能钥匙’，也是我们今天所建构的‘综合模