高考数学一模试题及详细解析2020版

前言高考数学一模考试，作为高考前一次重要的综合性模拟演练，其价值不言而喻。它不仅能够全面检测同学们对高中数学知识的掌握程度，更能帮助大家熟悉高考题型、把握命题趋势、调整应试心态。本套2020版高考数学一模试题及详细解析，正是基于这样的初衷，严格参照当年高考数学考试大纲及命题特点精心编制而成。希望通过这份资料，能够为同学们提供一次高质量的自我检测机会，并在解析中获得启发，查漏补缺，为后续的复习备考指明方向。---2020年普通高等学校招生全国统一考试模拟（一）数学（理科）本试卷共4页，满分150分，考试用时120分钟。注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.作答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。作答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x|x²-3x-4<0}，B={-4,1,3,5}，则A∩B=A.{-4,1}B.{1,3}C.{3,5}D.{1,3,5}2.若复数z满足z(1+i)=2i，则|z|=A.1B.√2C.2D.2√23.已知向量a=(1,2)，b=(m,-1)，若a⊥(a+b)，则m=A.-1B.-2C.-3D.-44.函数f(x)=x³-3x+1的单调递减区间是A.(-∞,-1)B.(1,+∞)C.(-1,1)D.(-∞,-1)∪(1,+∞)5.已知sinα=3/5，α∈(π/2,π)，则tan(α+π/4)=A.-7B.-1/7C.1/7D.76.某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是A.12cm³B.18cm³C.24cm³D.36cm³*(注：此处应有三视图图片，实际使用时需配上)*7.执行如图所示的程序框图，则输出的S=A.10B.15C.20D.25*(注：此处应有程序框图图片，实际使用时需配上)*8.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3=7，S6=63，则a1=A.1B.2C.3D.49.已知抛物线C:y²=4x的焦点为F，准线为l，过F的直线交C于A，B两点，交l于点P。若|AF|=3，则|PB|=A.3/2B.2C.3D.610.在区间[0,π]上随机取一个数x，则事件“sinx+cosx≥√6/2”发生的概率为A.1/4B.1/3C.1/2D.2/311.已知函数f(x)=lnx+ax²-(2a+1)x，a∈R。若f(x)在x=1处取得极大值，则a的取值范围是A.(-∞,1/2)B.(-∞,1)C.(1/2,+∞)D.(1,+∞)12.已知双曲线C:x²/a²-y²/b²=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点。若F1A=AB，F2B·F1B=0，则C的离心率为A.√2B.√3C.2D.√5二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.曲线y=x²+lnx在点(1,1)处的切线方程为________。14.若x，y满足约束条件{x+y≥1,x-y≥-1,2x-y≤2}，则z=x+2y的最大值为________。15.已知tanθ=2，则sin²θ+sinθcosθ-2cos²θ=________。16.已知三棱锥P-ABC的四个顶点都在球O的球面上，PA=PB=PC，AB=2，BC=√5，AC=3，E，F分别为AC，PB的中点，EF=√3/2，则球O的体积为________。三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17.（12分）已知数列{an}满足a1=1，nan+1=2(n+1)an。（1）证明：数列{an/n}是等比数列；（2）求数列{an}的前n项和Sn。18.（12分）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB=BC。（1）求证：A1B1//平面DEC1；（2）若A1B1⊥A1C，求证：平面DEC1⊥平面AA1C1C。*(注：此处应有立体几何图形，实际使用时需配上)*19.（12分）某工厂为提高生产效率，需引进一条新的生产线投入生产。现有两条生产线可供选择，生产线Ⅰ：有A，B两道独立运行的生产工序，且两道工序出现故障的概率依次是0.02，0.03。若两道工序都没有出现故障，则生产成本为4万元；若A工序出现故障，则生产成本增加5万元；若B工序出现故障，则生产成本增加6万元；若两道工序都出现故障，则生产成本增加12万元。生产线Ⅱ：有a，b两道相互独立的生产工序，且两道工序出现故障的概率依次是p，0.04。若两道工序都没有出现故障，则生产成本为5万元；若a工序出现故障，则生产成本增加8万元；若b工序出现故障，则生产成本增加5万元；若两道工序都出现故障，则生产成本增加13万元。（1）若选择生产线Ⅰ，求生产成本增加的分布列；（2）为最大限度节约生产成本，你会选择哪条生产线？请说明理由。20.（12分）已知椭圆C:x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)的离心率为√3/2，且过点(√3,1/2)。（1）求椭圆C的方程；（2）设直线l与椭圆C交于A，B两点，坐标原点O到直线l的距离为√3/2，求△AOB面积的最大值。21.（12分）已知函数f(x)=e^x-ax-1(a∈R)。（1）讨论函数f(x)的单调性；（2）若f(x)≥0对任意x∈R恒成立，求a的值；（3）在（2）的条件下，证明：(1/n)^n+(2/n)^n+...+((n-1)/n)^n+(n/n)^n<e/(e-1)(n∈N*)。（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为{x=1+tcosα,y=tsinα}(t为参数，α为直线l的倾斜角)。以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ²-4ρcosθ+3=0。（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）设点P(1,0)，直线l与曲线C交于A，B两点，求|PA|+|PB|的取值范围。23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数f(x)=|x-1|+|x+2|。（1）求不等式f(x)≥5的解集；（2）若关于x的不等式f(x)≥a²-2a在R上恒成立，求实数a的取值范围。---2020年普通高等学校招生全国统一考试模拟（一）数学（理科）详细解析同学们好，这份模拟试题旨在帮助大家熟悉高考数学的题型和难度，检验一轮复习的成效。下面我将对每一道题目进行详细的解析，希望能对大家有所启发。一、选择题1.答案：B解析：首先解集合A中的不等式x²-3x-4<0。因式分解得(x-4)(x+1)<0，所以不等式的解集为-1<x<4，即A=(-1,4)。集合B={-4,1,3,5}。A与B的交集，就是找出既属于A又属于B的元素。-4不在(-1,4)内，1和3在，5不在。所以A∩B={1,3}，选B。这道题主要考查一元二次不等式的解法和集合的交集运算，属于基础题，细心即可。2.答案：B解析：已知复数z满足z(1+i)=2i。要求|z|，我们可以先求出z，再求模；或者利用复数模的性质：|z₁z₂|=|z₁||z₂|。这里两种方法都试试。方法一：z=2i/(1+i)，分子分母同乘以(1-i)进行化简：z=2i(1-i)/[(1+i)(1-i)]=2(i-i²)/(1-i²)=2(i+1)/2=1+i。所以|z|=√(1²+1²)=√2。方法二：|z(1+i)|=|2i|=>|z|·|1+i|=|2i|=>|z|·√2=2=>|z|=2/√2=√2。显然方法二更快捷。这道题考查复数的运算和复数模的求解。3.答案：C解析：已知向量a=(1,2)，b=(m,-1)。首先求a+b，向量相加，对应坐标相加，所以a+b=(1+m,2+(-1))=(1+m,1)。因为a⊥(a+b)，所以它们的数量积为0。即a·(a+b)=1*(1+m)+2*1=1+m+2=m+3=0，解得m=-3。选C。考查向量的加法和数量积的坐标运算，以及向量垂直的充要条件。4.答案：C解析：要找函数f(x)=x³-3x+1的单调递减区间，我们需要利用导数工具。先对f(x)求导：f’(x)=3x²-3。令f’(x)<0，即3x²-3<0=>x²-1<0=>(x-1)(x+1)<0。解这个不等式，得到-1<x<1。所以函数的单调递减区间是(-1,1)，选C。注意，单调区间不能用“∪”连接，除非是不连续的多个区间且单调性一致，但这里是一个连续的区间。5.答案：B解析：已知sinα=3/5，α∈(π/2,π)。要求tan(α+π/4)。首先，我们需要求出cosα和tanα。因为α是第二象限角，所以cosα为负。根据sin²α+cos²α=1，可得cosα=-√(1-sin²α)=-√(1-9/25)=-√(16/25)=-4/5。所以tanα=sinα/cosα=(3/5)/(-4/5)=-3/4。然后，利用两角和的正切公式：tan(α+π/4)=(tanα+tan(π/4))/(1-tanαtan(π/4))=(tanα+1)/(1-tanα)。代入tanα=-3/4，得到(-3/4+1)/(1-(-3/4))=(1/4)/(7/4)=1/7。咦？算出来是1/7，选C？不对，等等，我再检查一下。哦！分子是tanα+1，即(-3/4)+1=1/4，分母是1-tanα*1=1-(-3/4)=7/4。1/4除以7/4确实是1/7。但我记得之前好像有个负号？哦，不，这里计算是正确的。α在第二象限，tanα是负的，但加1之后分子是正的，分母也是正的。所以结果是1/7，选C。刚才差点自己吓自己。这道题考查同角三角函数基本关系和两角和的正切公式，计算时要注意符号。6.答案：B解析：*(此处假设考生能看到三视图)*这道题考查由三视图还原几何体并求体积。拿到三视图，首先要想象或画出直观图。一般来说，我们先看俯视图，它确定了几何体的底面形状。假设俯视图是一个矩形（具体根据给出的图），主视图和侧视图可以帮助确定几何体的高度和是否有挖空、凸起等。比如，如果三视图都显示为矩形，那可能是长方体。如果主视图和侧视图是三角形，俯视图是多边形，可能是锥体。*(由于没有实际图片，这里提供一个常见的此类题型思路：)*假设该几何体是一个直三棱柱，底面是直角三角形，两直角边分别为3cm和4cm，高为3cm。则体积V=底面积×高=(1/2×3×4)×3=6×3=18cm³。所以答案选B。同学们在做这类题时，一定要仔细分析三视图的每一个尺寸对应几何体的哪条棱。7.答案：C解析：*(此处假设考生能看到程序框图)*程序框图题，关键是要模拟程序的运行过程，一步步写出变量的取值变化。*(假设程序框图是一个求和程序，初始S