8.2 平行投影教学设计初中数学青岛版2012九年级下册-青岛版2012

8.2平行投影教学设计初中数学青岛版2012九年级下册-青岛版2012学校授课教师课时授课班级授课地点教具教学内容一、教学内容本节课选自青岛版2012九年级下册第8章第2节“平行投影”。主要内容包括：平行投影的定义（由平行光线形成的投影）；正投影与斜投影的概念及区别；平行投影的性质（如平行直线的投影平行，同一时刻不同物体的投影与物体高度成正比）；利用平行投影解决实际问题（如测量物体高度、画立体图形的正投影图）。核心素养目标二、核心素养目标通过平行投影的学习，发展学生的直观想象和数学抽象素养，能从具体投影现象中抽象出平行投影的定义与性质；通过探究平行投影中物体高度与投影长度的关系，提升逻辑推理和数学建模素养，能运用平行投影解决测量物体高度等实际问题；在观察、操作和思考中，培养几何直观，体会数学与现实生活的联系。教学难点与重点1.教学重点：明确本节课的核心内容，以便于教师在教学过程中有针对性地进行讲解和强调。核心内容包括平行投影的定义（由平行光线形成的投影）、正投影与斜投影的概念及区别（正投影垂直于投影面，斜投影不垂直）、平行投影的性质（如平行直线的投影平行，同一时刻不同物体的投影与物体高度成正比），以及利用平行投影解决实际问题（如测量物体高度、画立体图形的正投影图）。例如，讲解定义时，可举例太阳光照射物体形成平行投影；强调性质时，举例说明两个平行物体的投影也平行。

2.教学难点：识别并指出本节课的难点内容，以便于教师采取有效的教学方法帮助学生突破难点。难点包括区分正投影与斜投影的概念（学生易混淆垂直与非垂直关系）、理解投影与物体高度的比例关系（同一时刻物体高度与投影长度成正比）、建模解决实际问题（如测量高度时建立比例方程）。例如，学生可能难以理解正投影的垂直性，可举例垂直投影面时投影不变形；在测量高度时，学生可能难以建立比例关系，可举例利用相似三角形建模。教学资源软硬件资源：手电筒、几何体模型（正方体、圆柱体）、白纸、直尺、三角板、投影仪。

课程平台：学校教学管理系统、班级优化大师。

信息化资源：平行投影动态演示PPT、测量物体高度微课视频、几何画板软件（动态展示投影性质）。

教学手段：讲授法、演示法、小组合作探究法、实践操作法。教学流程1.导入新课，详细内容：展示教材第8章开头的情境图片——阳光下不同物体的影子，提问“同一时刻，不同物体影子的长度与高度有什么关系？”用手电筒照射讲台上的铅笔和橡皮，让学生观察影子形状，引导学生发现“平行光线形成影子”的共同特征，引出平行投影的定义。用时5分钟。

2.新课讲授，详细内容：

（1）平行投影的定义：结合教材第102页内容，强调“由平行光线形成的投影叫平行投影”，举例太阳光照射树木形成的影子是平行投影，而台灯照射书本的影子是中心投影（对比教材第101页中心投影图），明确平行投影与中心投影的本质区别。

（2）正投影与斜投影：用几何体模型（正方体）在白板上演示，当光线垂直于投影面时，投影是正方形（正投影）；当光线倾斜时，投影是平行四边形（斜投影），结合教材第103页图8-2-1，强调“正投影是斜投影的特殊情况”，突破“垂直与非垂直关系”的难点。

（3）平行投影的性质：用直尺和三角板在黑板上画两组平行线，模拟平行光线照射，观察投影是否平行，得出“平行直线的投影平行”；用手电筒同时照射高度不同的两根木棍，测量影长，记录数据，引导学生发现“同一时刻，物体高度与影长成正比”，结合教材第104页例1，建立比例模型，突破“建模解决实际问题”的难点。用时15分钟。

3.实践活动，详细内容：

（1）测量物体高度：分组用竹竿和卷尺测量校园内旗杆高度，利用“竹竿高度/竹竿影长=旗杆高度/旗杆影长”的比例关系计算，记录数据并汇报，体现平行投影性质的应用。

（2）绘制正投影图：给定圆柱体模型，让学生在白纸上绘制光线垂直于底面时的正投影（矩形）和光线倾斜时的斜投影（平行四边形），结合教材第105页练习1，巩固投影类型判断。

（3）影子变化探究：用手电筒模拟太阳东升西落，观察几何体影子的方向和长度变化，填写教材第106页表格，总结“影长与光线方向的关系”，突破“动态理解投影性质”的难点。用时10分钟。

4.学生小组讨论，写3方面内容举例回答：

（1）正投影与斜投影的区别：举例“正方体的正投影是正方形，斜投影是平行四边形，关键看光线是否垂直投影面”。

（2）如何测量教学楼高度：举例“利用标杆和影长，建立相似三角形模型，用‘标杆高度/标杆影长=教学楼高度/教学楼影长’计算”。

（3）平行投影在生活中的应用：举例“建筑设计中，根据太阳高度角计算窗户朝向，保证室内采光”，体现数学与生活的联系。用时10分钟。

5.总结回顾，内容：师生共同梳理本节课知识框架——平行投影定义（平行光线）、正投影与斜投影（垂直与否）、性质（平行性、比例关系）、应用（测量高度、绘图），通过提问“同一时刻，两棵树的影子平行吗？为什么？”强化重点，强调“利用比例关系解决实际问题的关键是建立模型”，布置教材第107页习题8.2第2、4题作为作业。用时5分钟。教学资源拓展1.拓展资源：

（1）理论深化资源：平行投影与中心投影的对比分析材料，包括两种投影的形成原理（平行光线与点光源）、投影形状差异（平行投影保持平行性，中心投影呈发散状）及适用场景（如太阳光与灯光下的影子）；正投影的三视图基础拓展资料，介绍主视图、俯视图、左视图的绘制规则，结合教材中正投影图绘制内容，延伸至简单几何体的三视图表示；平行投影的数学本质解析，用向量表示光线方向，投影变换的矩阵表示（如二维平面上的投影变换公式），为学有余力学生提供数学理论支撑。

（2）实际应用资源：建筑日照分析案例，包括利用平行投影计算建筑物间距（如冬至日满窗日照要求）、确定最佳朝向（如南向建筑的最大采光角度），结合教材中测量物体高度的方法，拓展至建筑规划中的投影应用；工程测绘简易方案，如利用标杆与影长测量不可直接到达的物体高度（如塔吊、烟囱），记录测量步骤与误差分析；摄影影调控制技巧，如自然光下利用影子塑造立体感，对比不同时刻（早晨、正午、傍晚）的投影特点，理解光线方向对构图的影响。

（3）跨学科联系资源：物理光学实验设计，如“光的直线传播与投影形成”实验，用激光笔模拟平行光线，观察不同障碍物的投影形状，验证平行投影性质；美术线性透视资料，介绍平行投影在绘画中的应用（如建筑素描中的平行透视），与中心投影（透视投影）的视觉效果对比；地理太阳高度角计算，结合教材中“同一时刻物体高度与影长成正比”，推导太阳高度角公式（tanα=物体高度/影长），分析不同纬度、不同季节的影长变化规律（如北回归线夏至日太阳直射，影长最短）。

（4）历史背景资源：投影学发展简史，从欧几里得《几何原本》中对投影的初步论述，到笛卡尔解析几何中投影坐标系的建立，再到现代计算机图形学中的投影变换；中国古代圭表测量史料，介绍周朝利用圭表测量日影确定节气（如夏至日影最短、冬至日影最长），体现平行投影在天文历法中的应用。

（5）工具使用资源：几何画板动态投影操作指南，演示如何调整光线角度、物体位置，观察投影形状与长度的实时变化，强化对平行投影性质的直观理解；CAD软件正投影图绘制教程，以教材中圆柱体、正方体为例，讲解正投影图的绘制步骤，输出规范的三视图；手机影长测量APP使用说明，如利用“阳光影子”等工具记录物体影长数据，自动生成影长变化曲线，辅助分析比例关系。

2.拓展建议：

（1）操作实践建议：自制投影探究装置，用硬纸板制作不同形状的几何体模型（如三角形、梯形），固定在手电筒前（模拟平行光线），在白墙上观察投影形状变化，记录正投影（光线垂直）与斜投影（光线倾斜）的差异，制作“投影形状对比表”；制作简易日晷，用硬纸板作为晷面，垂直固定细针作为晷针，在一天中不同时刻记录针尖影子位置，标注时间，分析影子方向与太阳方位的关系，验证“同一时刻不同物体影长与高度成正比”的性质；测量校园内物体高度，选择已知高度的参照物（如旗杆、教学楼），用卷尺测量参照物与待测物体的影长，利用比例式“参照物高度/参照物影长=待测物体高度/待测物体影长”计算，多次测量取平均值，撰写“简易高度测量报告”。

（2）问题探究建议：探究季节对影长的影响，选择同一地点（如学校操场），在春分、夏至、秋分、冬至日正午12点，测量固定标杆的影长，结合地理中太阳直射点移动规律，分析影长与太阳高度角的关系（夏至日太阳直射北回归线，正午太阳高度角最大，影长最短）；探究纬度对投影的影响，通过互联网查询不同城市（如海口、北京、哈尔滨）在冬至日正午的太阳高度角与标杆影长数据，绘制“纬度-影长关系图”，理解“纬度越高，正午太阳高度角越小，影长越长”的规律；探究物体倾斜对投影的影响，用直尺模拟倾斜物体（如与地面成30°、45°、60°角），用手电筒照射，测量投影长度，计算“物体实际长度/投影长度”的比值，分析倾斜角度与投影长度的关系，推导投影长度公式（投影长度=物体实际长度×cosθ，θ为物体与光线方向的夹角）。

（3）阅读拓展建议：阅读《几何原本》第十一卷“立体图形的投影”章节，了解古希腊学者对平行投影的早期研究；阅读《建筑中的数学》第四章“日照与阴影”，结合教材中测量物体高度的方法，分析现代建筑设计中如何利用平行投影优化采光与节能；阅读美术教材《线性透视》第三章“平行透视”，用平行投影原理解释绘画中“平行线在投影面上仍平行”的现象，尝试绘制简单建筑物的平行透视图；阅读《地理中的数学》第二节“太阳高度角与影长”，结合教材中比例关系的应用，计算本地不同节气的太阳高度角，制作“校园影长变化手册”。

（4）生活应用建议：观察日常生活中的投影现象，如早晨上学时路旁树木的影子方向与长度，记录不同时刻的影长变化，分析影子变化与太阳位置的关系；利用平行投影原理设计“教室采光方案”，测量教室窗户的高度与宽度，计算不同季节正午阳光的入射角度，提出窗帘调节或绿植摆放建议；参与社区实践活动，为老人院设计“简易高度测量工具”，利用竹竿与卷尺测量院内树木高度，避免攀爬危险，体现数学的实用价值。

（5）思维训练建议：解决复杂测量问题，如利用河边树木的影长测量河宽（在河岸一侧测得树高h1、影长l1，河对岸测得同一树影长l2，利用相似三角形推导河宽公式：河宽=h1×(l2-l1)/l1）；绘制组合几何体投影图，如正方体与圆柱体组合，分别绘制光线垂直于底面时的正投影图（正方形内含矩形）和光线倾斜时的斜投影图（平行四边形内含平行四边形），标注关键尺寸；分析投影中的最值问题，如“已知物体高度h，光线与地面夹角为α，求影长的最大值（α→0时，影长→∞；α=90°时，影长=0）”，结合函数思想理解影长与光线角度的关系。课后作业1.辨析题：下列投影中哪些是平行投影？哪些是正投影？哪些是斜投影？（1）太阳光照射树木形成的影子；（2）手电筒垂直照射桌面上的正方体在地面上的影子；（3）斜射阳光照射教学楼在地面上的影子。答案：（1）平行投影，斜投影；（2）平行投影，正投影；（3）平行投影，斜投影。

2.性质应用题：同一时刻，测得一根2米高的竹竿影长为1.5米，此时教学楼的影长为18米，求教学楼的高度。答案：设教学楼高为h米，由比例关系得2/1.5=h/18，解得h=24米。

3.实际测量题：小明用1.5米长的标杆测量旗杆高度，标杆影长0.8米，旗杆影长4.8米，求旗杆高度。答案：设旗杆高为H米，1.5/0.8=H/4.8，解得H=9米。

4.绘图题：画出圆柱体在平行光线垂直于底面时的正投影图（在纸上画出矩形，标注长为圆柱底面直径，宽为圆柱高）。答案：矩形长为圆柱底面直径，宽为圆柱高，图形略。

5.综合应用题：早晨6点，太阳光线与地面成30°角照射，此时一棵树影长为10米，求树的高度。答案：设树高为h米，tan30°=h/10，解得h=10×(√3/3)≈5.77米。教学评价八、教学评价

1.课堂评价：通过提问“平行投影与中心投影的本质区别是什么？”观察学生对定义的掌握情况；在实践活动环节，观察学生测量物体高度时是否正确建立“物体高度与影长成正比”的比例模型，记录操作规范性；设计小测试题“判断正方体在垂直光线下的投影形状”，检测学生对正投影的理解程度。对出现的问题，如混淆正投影与斜投影，及时通过几何模型演示纠正；对比例关系建立错误的学生，引导重新测量数据并分析，强化建模过程。

2.作业评价：批改辨析题时，关注学生是否正确标注“太阳光照射树木的影子为平行投影、斜投影”；对性质应用题“计算教学楼高度”，重点检查比例式“标杆高度/标杆影长=教学楼高度/教学楼影长”的列式是否正确，计算过程是否规范；绘图题中，查看学生是否准确绘制圆柱体正投影的矩形（长为底面直径，宽为高）。点评时，对比例计算准确的学生给予肯定，对绘图形状错误的学生示范正确画法，鼓励通过实际操作加深对投影性质的理解。教学反思与改进上完这节课，我挺有感触的。学生动手测量旗杆高度时，大部分小组能正确用“标杆高度/标杆影长=旗杆高度/旗杆影长”的比例模型算出结果，说明对平行投影性质掌握得不错。但课堂小测里，有学生把正投影和斜投影搞混了，特别是“光线垂直投影面”这个关键点，光靠讲定义不够直观。下次得准备更多动态演示，比如用几何画板拖动光线角度，让学生亲眼看到垂直时投影不变形，倾斜时变平行四边形。

绘图题作业暴露了问题：不少学生画圆柱体