广东广州市广东第二师范学院实验中学等校2026届高三年级下学期3月份学情诊断数学试题（含答案）

2026届高三年级3月份学情诊断数学全卷满分150分.考试用时120分钟.注意事项:1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答:用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交.一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合A={2,3,a},B={1,A.3B.6C.9D.122.在复平面内,2i2+A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.设甲:logx2>1，乙:A.甲是乙的充分不必要条件B.甲是乙的必要不充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲是乙的既不充分也不必要条件4.在菱形ABCD中，点M,N满足AM=2MCA.12ABC.23AB5.已知抛物线E:x2=4y上有一点P，A4,1，过点P作y=−2A.1B.2C.3D.46.已知函数fx=x2−bx+c,A.1B.2C.3D.47.已知函数fx=xcosx−asin2x,若当x∈0A.-1B.0C.128.如图,直三棱柱ABC−A1B1C1中，D为CC1中点，平面A1BDA.(0,21]B.(二、多选题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.设2+x6A.aB.aC.2+x12的展开式中含x2D.a10.记椭圆E:x2a2+y2b2=1a>b>0的左，右焦点分别为F1,F2，以原点O为圆心，OF1为半径的圆经过E的上顶点,且其面积为π,过点FA.△ABF2B.当BF2⊥xC.当B,C重合时,D.当∠F1BF11.数列an满足a1∈0,1,且an+1=2an,0A.存在a1,使anB.存在a1,使SnC.存在a1≠a2,使D.存在a1≠a2,使三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在正四棱台ABCD−A1B1C13.已知函数fx=sinωx+φω>12,φ>014.箱中有连续编号1到15的小球,现从箱中一次随机取出5个球,若已知取出的5个球的编号中位数为9,则这5个球中的最大编号与最小编号之差恰好等于9的概率为_____.四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤.15.某校学习小组为调查高一学生单日运动时间与数学成绩的关系,随机抽取80名同学进行问卷调查,得到如下数据:数学成绩单日运动时间不低于90分低于90分不小于30分钟3010小于30分钟1030(1)根据小概率值α=0.001(2)为进一步研究运动时间对成绩的影响，该小组从这80人中抽取了运动时间分别为10，20,30,40(单位:分钟)的4位同学,他们的数学成绩分别为72,75,78,80(单位:分).记单日运动时间为x,对应的数学成绩为y,由这四组数据得到的经验回归方程为y=bx+参考数据:i=附:χ2α0.0500.0100.001x3.8416.63510.82816.记△ABC。内角A,B,C(1)若△ABC的面积为6，求b(2)求sin2A(3)证明:△ABC17.如图,四棱锥P−ABCD中,PD⊥平面BC⊥CD,PD=BC=CD=2,AB=4(1)若DM⊥PC，证明:MN//平面(2)证明:AD⊥平面PBD(3)若直线BN与平面MAD所成角的正弦值为53333，求18.记双曲线E:x2a2−y2b2=1a,b>0的左焦点为F−2,0(1)求E的方程；(2)记l,AF,BF的斜率分别为k,k(i)证明:kk1(ii)记AB中点为M，以M为圆心，MD为半径的圆与l另交于一点N,CN的斜率为k0，若k0⋅k1⋅k219.设函数fx的定义域为[0,+∞),且fx的导函数f′x在0,+∞上的图象是一条连续不断的曲线,已知f0=(1)判断函数gx=fxxx>0(2)若fx在0,+∞上单调递增,且数列an满足(i)证明:数列ann(ii)记Sn为数列an的前n项和,证明:对于任意n≥21.B由B⊆A可知1∈A故A中各元素之和为1+2.D2i显然其对应的点在第四象限.3.A甲:由logx2>1,x∈0,1∪1,+∞,得1log2x>1,即4.D分析可得DN=AN−AD,5.C记E的焦点为F0,1,由抛物线定义可知于是PA−当且仅当P,F,A依次共线且F在P,A之间时等号成立.6.C由条件知a>11−b+c≥−ab于是a+7.C函数fx=xcosx−asin2x由x∈0,π4,得cosx>0令函数gx=x−2asinx,x当2a≤1，即a≤12时，2acosx<1，g′不等式gx>0恒成立,即fx>当a>12时,limx→0+g′x则存在x0>0,使得当0<x<x0时,g′x当0<x<x0时,gx所以a的最大值为128.A取AB中点M,A1B中点N,由DN⊂平面A1BD,平面A1BD∩平面ABB1A1=A1B,平面由勾股定理知DN=A1D2设DC=DC1=同理BC=4sinθ,由BC>由勾股定理得AB=2于是三棱柱ABC−A1B1C1的体积V=8cosθ×12×9.ABD对于A,a6=C6626−6=1,故a0+对于C,2+x12的展开式中含x2而64a2=C62对于D,a0+a1+⋯+a6=729,a10.AB对于A,由题意,圆的面积为π,则圆的半径为1,记椭圆E的焦距为2c,可得b=c=1,于是a=由椭圆定义可知,△ABF2的周长为AB+对于B,当BF2⊥x轴时,不妨设B在第一象限,而F2由12+t2=1得则BF又CF1⊥CF则CF2F1F2=BF2BF对于C,此时不妨记B在x轴上方,可得B0,1,而F1−则BF1=−1则−1=−2−1−x−1但−3222+−对于D,由于CF1⊥CF由∠F1BF2此时CF1=22−3m,由勾股定理得可得CF2=3m=11.ABC对于A,取a1=27,则a2=47,a3=67,a对于B,取a1=23,a2=2则数列的前n项和Sn=a1+a2+⋯+对于C,若Sn是等差数列,则对于n≥1,有Sn+1−S由B可知,取a2=23令2a1=23,得a1=13,故a和数列Sn是首项为13，公差为23对于D,假设存在公比为q的等比数列an,其中a1∈0,若存在某项ak≤12,则ak+1=2ak,解得q=2.若q设am是第一个大于12的项,即am∈1按等比数列定义am+1=2am，由21−a若am=12,则a若所有项均大于12,则an+1=21−an=qan综上所述,不存在满足条件的等比数列,故D错误.12.28记该棱台的高为h,易得A1C1=22,AC=42,由勾股定理可得13.π显然ω>12,2ωπ−ωπ=ωπ函数fx在区间ωπ,2ωπ上单调递增,在区间2ωπ,3ωπ上单调递减,所以f2ωπ=1,因为12<ω≤1且φ所以π2+2kπ>π所以由φ=π2+2kπ−2ω2π可知当14.5设取出的5个球编号从小到大排列为x1由已知中位数为9即x3=9,则x1,x2需从{1,2故基本事件总数为n=若满足最大编号与最小编号之差为9,设x1=k,则由x1<x2<由9<x4<x5即9<x4<k+9知k此时x2,x4求和得符合条件的事件数为6+故所求概率为P=15.(1)数学成绩与单日运动时间有关；(2)69.5(1)零假设H0:χ零假设不成立,故可认为根据小概率值α=0.001(2)x=10+20于是b=于是a=16.(1)由A+B+C=S△ABC=6=(2)b2=2ac，由正弦定理得sin2B=则3=故sin2A(3)若A=C，则有A=C=π这与sin2B=2sin不妨设A<C,则A<π3由sin2A−π6=14<12得故△ABC17.(1)由PD=CD,DM⊥PC得M又N为PA的中点，于是MN//AC由MN⊄平面ABCD,AC⊂平面ABCD,得MN//(2)因为BC⊥CD，所以BD2=BAD2=A所以AD⊥由PD⊥平面ABCD,AD⊂平面ABCD由PD∩BD=D,PD⊂平面AD⊥平面PBD(3)如图,以D为坐标原点,过D点作平行于CB方向的直线为x轴正方向,DC的方向为y轴正方向,DP的方向为z轴正方向,建立空间直角坐标系Dxyz,则有D设PM=λPC,λ∈NB设平面MAD的法向量为n=即x−y=0λy记直线BN与平面MAD所成角为θ,sin即253=4−3λ解得PMPC=λ=118.(1)由x2a2−y2b2=联立b=3aa2+b2=(2)(i)显然l斜率不为0，故设l:x=my+4得m2−13y则y1+y2=−kk于是kk1(ii)x1于是M−43m2−1,−12m3m2−由s+42=−4记Cp由其为定值可知其与m无关,故必有4+p=0,p=−419.(1)由题有g′因为对于任意x∈0,+∞,都有即xf′x−fx>0,且x2>0,所以下面证明:fx因为x1,x2∈0,+∞,所以x1+x2>x1,由gx的单调递增性质可知gx1同理,因为x1>0,所以x1+x2>x2,由gx的单调递增性质可知将两式相加得x1因为