广东省佛山市南海区2026届3月高三统一测试数学试题（含答案）

2026届高三供题训练(C2)数学满分150分.考试用时120分钟.注意事项:1.答卷前,考生务必填写答题卡上的有关项目.2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将答题卡交回.一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合M={x∣x≥A.{x∣1<x≤2.复数11−iA.1B.-1C.12D.3.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设甲:△ABC为等腰三角形，C:cosAA.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件4.若2x−14=aA.40B.41C.-40D.-415.已知角θ的顶点与原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边与单位圆交点的横坐标为35，则cosA.1225B.−1225C.6.设F为抛物线C:y2=4x的焦点,点A在C上,且在第一象限,若AF=4A.π2B.π3C.π7.甲和乙进行一个游戏:初始时每人各持有2枚徽章.根据游戏规则，每局由丙负责投掷一枚均匀的骰子,出现奇数点则甲胜,出现偶数点则乙胜,胜负概率均为12.输的一方需将自己的1枚徽章交给赢的一方.游戏进行到其中一人拥有全部徽章时立即终止,且各局结果相互独立.则游戏恰好进行4局终止且甲拥有全部徽章的概率为(A.18B.316C.38.定义:双曲正弦函数sinhx=ex−e−x2,双曲余弦函数A.函数tanhxB.函数tanhx在RC.coshD.sinh二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有错选的得0分.9.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2,E为CC1A.AE⊥BDB.BE//C.直线AE与平面ABCD所成角的正切值为13D.三棱锥B110.设F1,F2是双曲线C:x23−y2=1的左、右焦点,过右焦点F2的直线A.双曲线C的两条渐近线夹角为π3B.AF12C.当F1F2=2OA时,△AF11.已知数列an的每一项都是整数.当n为奇数时,有an+2+an≥2an+1+1;当n为偶数时,有an+2A.数列an为递增数列B.S5C.若k=100,则ak的最小值为2649D.若ak=2026三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知a,b,c13.记Sn为等比数列an的前n项和,若S2,S414.函数fx=x3+ax+b在区间四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数fx=2sinωx+φ0<ω<2(2)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且fB=0，a=4，△ABC的面积为16.如图，△ABC和△DBC所在平面垂直，且AB=BC=(1)证明:AD⊥BC(2)求平面ABD和平面BDC的夹角的余弦值.17.现有8张大小质地完全相同的卡片,其中4张是红色,4张是蓝色.从中随机摸出3张卡片放入一个不透明的袋子中，记袋子中红色卡片的张数为X0，然后进行如下操作:从袋子中随机摸出一张卡片(每张卡片被摸到的概率相等),观察其颜色后,将该卡片放在袋外,再从袋外取一张另一种颜色的卡片放入袋中(即若摸出红色卡片，则放回蓝色卡片；若摸出蓝色卡片,则放回红色卡片),袋子中始终保持3张卡片.记经过n次这样的操作后,袋子中红色卡片的张数为X(1)求PX0(2)当X1=2时，求随机变量(3)求随机变量X118.已知函数fx=ax−1(1)当a=1时，求曲线y=fx(2)当x≥1时，(i)求a的取值范围;(ii)当a取最小值时,若m,n为正实数,且m+n=19.设椭圆y2an2+x2bn2=1an>bn>0,n∈N∗的上焦点为Fn,过Fn且斜率为k的直线(1)求该椭圆的离心率；(2)设点Mn0,bn+1，且满足:对任意的斜率(i)证明:i=(ii)定义:若无穷数列dn是公比为q0<q<1的等比递减数列,则其所有项之和为S=d11−q,其中d1为数列dn的首项.的最小值(结果用a1或b11.B由题可得集合M={x∣x≥2.C因为11所以复数11−i的虚部是3.B因为cosA=cosB,0<A,B<所以△ABC为等腰三角形是cosA由△ABC为等腰三角形，可得A=B或C=B所以△ABC为等腰三角形是cosA所以甲是乙的必要条件但不是充分条件.4.C令x=1,则a4+a3a4①−②2得到故选:C.5.D所以cosθ所以cos2θ6.B由C:y2=4x设Ax0,y0,则AF又y02=4×3=12且点A设直线AF的倾斜角为α,kAF=tanα=y7.A根据题意知恰好进行4局终止且甲拥有全部徽章,则第3，4局必有甲胜，乙负，且前2局中，甲胜一局乙胜一局，所以所求概率为P=8.C设fx对于A,由题意得hx则h−x=e−x即tanhx是奇函数,故A对于B,由题意得h′x=4e2xe2x+1即函数tanhx在R上单调递增,故B对于C,g−x=e−f−x=ex+所以coshsinh所以原不等式为2fg1<2fg由题意得g′x=ex+e−x2所以g2且有f′当x<0时,f当x>0时,f故fg1<fg2对于D,sinhcosh所以原不等式为gf由上得gx且有当x>0时,coshx单调递增,所以所以gf1<gf29.AD对于A:以D为原点,分别以DA,DC,DD1则A2由题意得E0,2,1向量AE=AE⋅BD=−2×−2对于B:平面AD1C1即平面ABC1D1,直线BE过平面内一点B且E不在平面内,直线对于C:因为EC⊥平面ABCD,则AC为AE在平面ABCD所以∠EAC即直线AE与平面ABCD所成角,在Rt△ACE中,EC=1(E是中点),AC=对于D:因为AA1//BB1,AA1⊄平面BCC1AA1上所有点到平面BCC1因此VF−BEB1=10.ACD对于A:双曲线x23−y2=1的渐近线方程为y=±33对于B:由双曲线的定义可得AF所以AF又AF1=AF2因为AF2>c−a=2对于C:F1F2=2c=4,故OA=2,即A由x2+y2=4x23所以S△A对于D:由双曲线定义可得AF所以周长L=当AB⊥x轴时，AB最小，将x=2代入双曲线方程，得y=±3所以Lmin=11.ABC当n为奇数时,有an+2+an≥2an+1+1,即所以若a1=当n为奇数时,an当n为偶数时,an所以数列an为递增数列,所以A由题可知,a3所以a3a所以S5的最小值为1+3+6+由A项分析知,当n为奇数时,an当n为偶数时,an所以a100aaa......aa2累加得,a100所以a100≥2648+a1若ak结合C分析得,当k为奇数时,a,所以a即aka87≥88×94412.6由题可知,a=所以2a13.−设公比为q,由题意得2S即2a所以a3+2a4=0,故解得q=−14.1设t为fx在[1,+∞)上的零点,则t3+at+b=0,即点a,b在直线tx+y+t3=0因此a2+b2≥t3t2+1,即令函数gt=t6t函数gt在[1,+∞)上单调递增,则所以a2+b215.(1)f(2)21(1)由f0=2sinφ=3,得sinφ=32,而0<φ<π2,则φ=π3,由fx≤fπ6恒成立,得fπ6=2sin(2)由(1)得，fB=2sinB+π3=0由S=12acsin由余弦定理得b=由正弦定理bsinB=csin16.(1)过B在平面ABC内作BE⊥BC，过B在平面DBC内作BF因为平面ABC⊥平面DBC,平面ABC∩平面DBC=BC,所以BE⊥平面DBC,而BF⊂平面DBC,所以于是BC,BE,BF两两垂直，如图，以BA所以AD=因为AD⋅BC=0(2)由(1)知BD=3,−1,0，而平面BCD设平面ABD的法向量为m=x,y,取x=1,可得y=3,因为cosn,m=n⋅mnm=15×17.(1)依题意,PX(2)当X1=2时，若摸出红色卡片，则X2的值为1，若摸出蓝色卡片，则X2的值为3，所以X2X13P213数学期望为EX(3)X0PPX1PPPP所以随机变量X1的数学期望为E18.(1)当a=1时,所以f′1=12所以所求的切线方程为y=−x−1(2)(i)f′因为2xx>0,设二次函数ax2①当Δ=16−4a2≤0,即a≥2时,f′所以fx≥f1=②Δ=16−4a2>0，即0<a<2时，设f′x=由韦达定理,可得x1⋅x2=1,即所以fx在1,x2单调递减,在所以当x∈1,x2时,有fx综上所述，a的取值范围为[2(ii)由(i)得,a的最小值为2,fx=2x且f1x=2因为m,n为正实数,且m+n=不妨设1m≥1n,则1m又2mn=m+n≥2mn，所以所以n≥1m≥1所以fm+fn=19.(1)由OAn−OBn=2OFn可得BnAn=2OFn.