中考数学一轮复习学案：3.4 二次函数 （学生版）

【名师导航】2025年中考数学一轮复习学案（全国版）第三章函数3.4二次函数考点分布考查频率命题趋势考点1二次函数的图象与性质☆☆☆数学中考中，有关二次函数的部分是每年全国各省市必考内容，也是中考数学难点，每年压轴题之一必定有二次函数综合题。每年考查1~3道题,分值为3~15分，通常以选择题、填空题、解答题的形式考查。对于二次函数的复习需要学生熟练掌握二次函数的图象与性质、二次函数的图象与a,b,c之间的关系、二次函数与方程、不等式之间的关系。考点2二次函数的图象与a,b,c之间的关系☆☆☆考点3二次函数与方程、不等式之间的关系☆☆☆☆☆代表必考点，☆☆代表常考点，☆星表示选考点。夯实基础夯实基础考点1.二次函数的图象与性质1.二次函数的概念：一般地，形如__________（a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．2.二次函数解析式的三种形式（1）一般式：__________（a，b，c为常数，a≠0）．（2）顶点式：___________（a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k）．（3）交点式：___________，其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，a≠0．【注意】求二次函数解析式的一般方法：（1）一般式y=ax2+bx+c.代入三个点的坐标列出关于a,b,c的方程组，并求出a,b,c，就可以写出二次函数的解析式.（2）顶点式y=a(x-h)2+k.根据顶坐标点（h,k)，可设顶点式y=a(x-h)2+k,再将另一点的坐标代入，即可求出a的值，从而写出二次函数的解析式.（3）交点式y=a(x-x1)(x-x2).当抛物线与x轴的两个交点为(x1,0)、(x2,0)时，可设y=a(x-x1)(x-x2)，再将另一点的坐标代入即可求出a的值，从而写出二次函数的解析式.3.二次函数的图象及性质解析式二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）对称轴x=–顶点（–，）a的符号a>0a<0图象开口方向开口向上开口向下最值当x=–时，y最小值=当x=–时，y最大值=最点抛物线有最低点抛物线有最高点增减性当x<–时，y随x的增大而减小；当x>–时，y随x的增大而增大当x<–时，y随x的增大而增大；当x>–时，y随x的增大而减小4.抛物线的平移二次函数平移遵循“______，______”的原则，据此，可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后的解析式；二次函数图象的平移可看作____间的平移，可根据顶点之间的平移求出变化后的解析式．【注意】二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则，据此，可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后的解析式；二次函数图象的平移可看作顶点间的平移，可根据顶点之间的平移求出变化后的解析式．考点2.二次函数的图象与a,b,c之间的关系【提示】二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的常见结论考点3.二次函数与方程、不等式之间的关系（1）二次函数与一元二次方程的关系（2）二次函数与不等式的关系（拓展）【易错点提示】对二次函数与一元二次方程关系密切这句话的理解．举例说明：已知二次函数y=－x2＋4x的值为3，求自变量x的值，可以解一元二次方程－x2＋4x=3（即x2－4x+3=0）．反过来，解方程x2－4x+3=0又可以看作已知二次函数y=x2－4x+3的值为0，求自变量x的值．考点1.二次函数的图象与性质【例题1】（2024福建省）已知二次函数的图象经过，两点，则下列判断正确的是（）A.可以找到一个实数，使得 B.无论实数取什么值，都有C.可以找到一个实数，使得 D.无论实数取什么值，都有【变式练1】（2024北京一模）下列关于二次函数y=(x-A．图象是一条开口向下的抛物线 B．图象与x轴没有交点C．当x<2时，y随x增大而增大 D．图象的顶点坐标是【变式练2】（2024哈尔滨一模）已知P1x1,y1,P2x2,y2是抛物线y=ax2+4A．1个 B．2个 C．3个 D．4个考点2.二次函数的图象与a,b,c之间的关系【例题2】（2024黑龙江齐齐哈尔）如图，二次函数的图象与轴交于，，其中．结合图象给出下列结论：

①；②；③当时，随的增大而减小；④关于的一元二次方程的另一个根是；⑤的取值范围为．其中正确结论的个数是（）A. B. C. D.【变式练1】（2024陕西一模）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴为直线x＝﹣1，下列四个结论：①abc＜0；②4a﹣2b+c＜0；③3a+c＝0；④当﹣3＜x＜1时，ax2+bx+c＜0．其中正确结论的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式练2】（2024贵州一模）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）的图象顶点为P（1，m），经过点A（2，1）；有以下结论：①a＜0；②abc＞0；③4a+2b+c＜1；④x＞1时，y随x的增大而减小；⑤对于任意实数t，总有at2+bt≤a+b，其中正确的有（）A．①②③ B．②③④ C．③④⑤ D．①④⑤考点3.二次函数与方程、不等式之间的关系【例题3】（2024四川成都市）在平面直角坐标系中，，，是二次函数图象上三点．若，，则______（填“”或“”）；若对于，，，存在，则的取值范围是______．【变式练1】（2024福州一模）已知抛物线y＝x2﹣6x+m与x轴有且只有一个交点，则m＝．【变式练2】（2024贵阳一模）如图，已知抛物线y＝ax2+c与直线y＝kx+m交于A（﹣3，y1），B（1，y2）两点，则关于x的不等式ax2+c≥﹣kx+m的解集是（）A．x≤﹣3或x≥1 B．x≤﹣1或x≥3 C．﹣3≤x≤1 D．﹣1≤x≤3【变式练3】（2024山东青岛一模）二次函数y＝ax2+c的图象与直线y＝kx+b（k＞0）交于点M（﹣2，m）、N（1，n）两点（mn＜0），则关于x的不等式ax2+kx+（c﹣b）＞0的解集为．考点1.二次函数的图象与性质1.（2024四川凉山）抛物线经过三点，则的大小关系正确的是（）A. B. C. D.2.（2024四川泸州）已知二次函数（x是自变量）的图象经过第一、二、四象限，则实数a的取值范围为（）A. B.C. D.3.（2024广州）函数与的图象如图所示，当（）时，，均随着的增大而减小．A. B. C. D.4.（2024陕西省）已知一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值如下表，x…035…y…0…则下列关于这个二次函数的结论正确的是（）A.图象的开口向上 B.当时，y的值随x的值增大而增大C.图象经过第二、三、四象限 D.图象的对称轴是直线5.（2024江苏苏州）二次函数的图象过点，，，，其中m，n为常数，则的值为______．6.（2024贵州省）如图，二次函数的部分图象与x轴的一个交点的横坐标是，顶点坐标为，则下列说法正确的是（）

A.二次函数图象的对称轴是直线B.二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是2C.当时，y随x的增大而减小D.二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是37.（2024内蒙古赤峰）如图，正方形的顶点，在抛物线上，点在轴上．若两点的横坐标分别为（），下列结论正确的是（）A. B. C. D.8.（2024山东烟台）已知二次函数的与的部分对应值如下表：下列结论：；关于的一元二次方程有两个相等的实数根；当时，的取值范围为；若点，均在二次函数图象上，则；满足的的取值范围是或．其中正确结论的序号为______．9.（2024广西）课堂上，数学老师组织同学们围绕关于x的二次函数的最值问题展开探究．【经典回顾】二次函数求最值的方法．（1）老师给出，求二次函数的最小值．①请你写出对应的函数解析式；②求当x取何值时，函数y有最小值，并写出此时的y值；【举一反三】老师给出更多a的值，同学们即求出对应的函数在x取何值时，y的最小值．记录结果，并整理成下表：a…024…x…*20…y的最小值…*…注：*为②的计算结果．【探究发现】老师：“请同学们结合学过函数知识，观察表格，谈谈你的发现．”甲同学：“我发现，老师给了a值后，我们只要取，就能得到y的最小值．”乙同学：“我发现，y的最小值随a值的变化而变化，当a由小变大时，y的最小值先增大后减小，所以我猜想y的最小值中存在最大值．”（2）请结合函数解析式，解释甲同学的说法是否合理？（3）你认为乙同学的猜想是否正确？若正确，请求出此最大值；若不正确，说明理由．考点2.二次函数的图象与a,b,c之间的关系1.抛物线与轴交于两点，其中一个交点的横坐标大于1，另一个交点的横坐标小于1，则下列结论正确的是（）A. B. C. D.2.（2024黑龙江绥化）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，则下列结论中：①②（m为任意实数）③④若、是抛物线上不同的两个点，则．其中正确的结论有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个3.（2024武汉市）抛物线（a，b，c常数，）经过，两点，且．下列四个结论：①；②若，则；③若，则关于x的一元二次方程无实数解；④点，在抛物线上，若，，总有，则．其中正确的是__________（填写序号）．4.（2024湖北省）抛物线的顶点为，抛物线与轴的交点位于轴上方．以下结论正确的是（）A. B. C. D.考点3.二次函数与方程、不等式之间的关系1.（2024福建省）如图，已知二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，其中．（1）求二次函数的表达式；（2）若是二次函数图象上的一点，且点在第二象限，线段交轴于点的面积是的面积的2倍，求点的坐标．2.（2024湖北省）如图1，二次函数交轴于和，交轴于．（1）求的值．（2）为函数图象上一点，满足，求点的横坐标．（3）如图2，将二次函数沿水平方向平移，新的图象记为与轴交于点，记，记顶点横坐标为．①求与的函数解析式．②记与轴围成的图象为与重合部分（不计边界）记为，若随增加而增加，且内恰有2个横坐标与纵坐标均为整数的点，直接写出的取值范围．考点1.二次函数的图象与性质1.关于二次函数y=A．图象的对称轴在y轴的右侧B．图象与y轴的交点坐标为0C．图象与x轴的交点坐标为-2,0和D．y的最小值为-2.已知抛物线y=mx2-是（）A．若x1-x2≤x3C．若y1<y3≤y23.若点Pm,n在抛物线y=ax2A．m,n+1 B．m+1,n C4.在平面直角坐标系中，将抛物线y=x2+2x-15.点Ax1,y1，Bx2,y2在抛物线y=axA．1<m≤4C．0<m≤1或m≥46.对于二次函数y=-x-m①若y的最大值为-8，则m②若y的最小值为-8，则m③若m=5，则y的最大值为-则上达说法（）A．只有①正确 B．只有②正确 C．只有③正确 D．均不正确7.已知二次函数的图象经过点（-1，-5），（0，-4）和（1，1），则这二次函数的表达式为（）A．y=-6x2+3x+4 B．y=-2x2+3x-4C．y=x2+2x-4 D．y=2x2+3x-48.一个二次函数的图象的顶点坐标为，与轴的交点，这个二次函数的解析式是（）A． B．C． D．9．求经过A(1，4)，B(﹣2，1)两点，对称轴为x=﹣1的抛物线的解析式______．10.已知函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么关于x的方程ax2+bx+c+3/2=0的根的情况是（）A．无实数根 B．有两个相等实数根 C．有两个异号实数根 D．有两个同号不等实数根考点2.二次函数的图象与a,b,c之间的关系1.已知抛物线（a，b，c是常数，）经过点，有下列结论：①；②当时，y随x的增大而增大；③关于x的方程有两个不相等的实数根．其中，正确结论的个数是（）A.0 B.1 C.2 D.32.如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝1．给出下列结论：①ac＜0；②b2﹣4ac＞0；③2a﹣b＝0；④a﹣b+c＝0．其中，正确的结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．如图，现要在抛物线y＝x（4﹣x）上找点P（a，b），针对b的不同取值，所找点P的个数，三人的说法如下，甲：若b＝5，则点P的个数为0；乙：若b＝4，则点P的个数为1；丙：若b＝3，则点P的个数为1．下列判断正确的是（）A．乙错，丙对 B．甲和乙都错 C．乙对，丙错 D．甲错，丙对4.如图，是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分，给出下列命题：①a+b+c=0；②b＞2a；③ax2+bx+c=0的两根分别为﹣3和1；④a﹣2b+c＞0．其中正确的命题是．（只要求填写正确命题的序号）考点3.二次函数与方程、不等式之间的关系1.一元二次方程根的情况是（）A.有一个正根，一个负根 B.有两个正根，且有一根大于9小于12C.有两个正根，且都小于12 D.有两个正根，且有一根大于122.数形结合是一种重要的数学思想方法，我们可以借助函数的图象求某些较为复杂不等式的解集．比如，求不等式x﹣1＞2/x的解集，可以先构造两个函数y1＝x﹣1和y2=2/x，再在