8.3 多项式乘多项式（原卷版）

8.3多项式乘多项式（六大题型提分练）题型一根据多项式乘多项式的法则计算1．下列各式计算正确的是（

）A．2a+1aC．1-2aa-2．若n为整数，则代数式3n+3nA．被2整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被9整除3．已知一个多项式除以2x2-3，得到的结果是A．14x3-C．-10x34．【阅读材料】代数式大小的比较我们通常用作差法比较代数式的大小.例如：已知M=2x+3，N=2x+1，比较M和N的大小．先求M-N，若M-N>0，则M>N【解决问题】若M=x-3x-4，NA．M>N B．M=N C．M5．已知等式：xy-1+=y6．方程x-4x7．在综合与实践课上，小明设计了如下的运算：a⊗b=ax+28．计算：(1)2m+n7m9．【类比思想】观察--计算--猜想--归纳：(1)填空：① x+2② x-③x-2④ x+2(2)把你所发现的规律用式子表示出来，并用语言进行归纳总结：式子表示：_______________________；语言归纳：含相同字母，且字母系数为1的两个一次二项式的积是_____次_____项式，其中积的二次项的系数为_____，一次项的系数为_____，常数项为_____．(3)根据规律直接写出结果：t+2t+1=_______________10．观察以下等式：xxx……(1)按以上等式的规律，填空：①x+10x②a+b(2)利用多项式的乘法法则，说明（1）中②的等式成立．(3)利用（1）中的公式化简：x+题型二多项式乘多项式的化简求值1．若a2-3a-A．-11 B．9 C．-92．已知x-y=7，xy=5，则(A．1 B．3 C．-1 D．3．计算：1-2-3-⋅⋅⋅-2023×2+3+⋅⋅⋅+2024-A．2021 B．2022 C．2023 D．20244．已知m+n=125．如果5-a6+a=50，那么6．已知“!”是一种数学运算符号：n为正整数，n!=n×n-1×n-2×…×2×1，如7．先化简，再求值：(1)(3x+1)(2x(2)(2x-y8．化简求值：x+23x9．若x+y=3(1)求xy的值；(2)求x-10．小聪在做题目“当x=-12016时，求代数式2x(x-题型三根据展开式特点求字母的值1．如果x-33x+5A．a=3,b=-9,C．a=3,b=-4,2．若2x-mx+1的运算结果是关于xA．-2或0 B．2或0 C．-2或2 D．2或-3．若多项式x2-x-ax+2A．a=1,b=1 B．a=2b C4．已知x2+mx+nx2-2x-A．m=2,n=7 B．m=2,n=-35．已知2x-2ax+6．已知代数式mx2+2xx2+3nx+2积是一个关于7．已知关于x的二次三项式2x2+7x+n有一个因式为8．小林计算x+ayx+by（其中a,b是不为零的整数）时发现，合并同类项后会得到整式x2-9．明明在做化简(3x+k)(2x+2)-6x(x-10．小明和小军两人共同计算一道整式乘法题：2x+a⋅3x+b，由于小明错把题型四多项式乘多项式与图形面积问题1．根据图 ①的面积可以说明的多项式乘法运算是(2a+b)(aA．(a+3bC．(b+3a2．如图，若用两种方法表示图中阴影部分的面积，则可以得到的代数恒等式是（

）A．(m+aC．(m-a3．如图，甲、乙、丙、丁四位同学给出了四种表示该长方形面积的多项式：

①2②2③m④2你认为其中正确的有（

）A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④4．如图中的大长方形，分割成四个小长方形，计算其面积可发现公式：．

5．数学学习中我们经常会采用构造几何图形的方法对代数式的变形加以说明．例如通过图1我们可以得到代数恒等式a+b2=a2+2ab+6．如图，将两张边长分别为a和ba>b的正方形纸片按图1，图2两种方式放置长方形内（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，若长方形中边AB、AD的长度分别为m、n．设图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2．当

7．有足够多的长方形和正方形卡片，如下图：(1)如果选取1号、2号、3号卡片分别为1张、2张、3张，可拼成一个长方形（不重叠无缝隙），请画出这个长方形的草图，并运用拼图前后面积之间的关系说明这个长方形的代数意义．(2)小明想用类似方法解释多项式乘法a+3b2a+b=2a2+7ab(3)如果要拼成一个长为(3a+b)，宽为(a+28．聪聪和同学们用2张A型卡片、2张B型卡片和1张C型卡片拼成了如图所示的长方形．其中A型卡片是边长为a的正方形；B型卡片是长方形；C型卡片是边长为b的正方形．(1)请用含a、b的代数式分别表示出B型卡片的长和宽；(2)如果a=10，b=6，请求出他们用9．小明同学用四张长为x，宽为y的长方形卡片，拼出如图所示的包含两个正方形的图形（任意两张相邻的卡片之间没有重叠，没有空隙）．(1)通过计算小正方形面积，可推出x+y2，xy，x(2)利用（1）中的结论，试求：当x-300200-10．利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式，例如，由图1．可得等式：a+(1)由图2，可得等式：___________________；(2)如图3，有A，B，C三种类型纸片足够多张，小明要想用它们拼一个边长分别为4a+b和5a+3(3)利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+题型五多项式乘多项式法则的实际应用1．如图，综合与实践课上，小青将长为4，宽为2的长方形硬纸片的四个角处各剪去边长为x的小正方形，再按折痕（虚线）折叠，可以制成有底无盖的长方体盒子．根据图中信息，该长方体盒子的容积可表示为（

）A．4x3-12C．4x2+12x2．学校计划在一块长a米，宽b米的矩形荒地上，建造一个花园，要求留出两条通道．现有两个设计图，通过计算比较图1，图2中阴影部分的面积，可以验证的计算式子是（

）A．aB．bC．aD．a3．王大爷承包一长方形鱼塘，原来长2x米，宽为x米，现在要把四周向外扩展y米，那么这个鱼塘的面积增加（

A．x2+3xy+2y2C．3xy+y2平方米4．如图，将一张长方形的铁皮剪去一个小长方形，余下的阴影部分面积是（

）A．a2+4ab+b2 B．a5．若一辆汽车每小时行驶(m+2n)千米，则以此速度行驶6．如图，某幼儿园要在长方形操场上铺设塑胶地垫（地垫无缝拼接．不可剪裁）．现有正方形地垫A，B和长方形地垫C若干张．已知操场长宽分别为5a+3b和27．A，B两块长方形板材的规格如图所示（m为正整数），设板材A，B面积分别为S1，S2，请比较S1，S8．2024年2月17日，第十四届全国冬季运动会在内蒙古举行，本届比赛首次设置了群众组比赛．如图所示，某比赛场馆的平面示意图是长方形，中间为比赛区，四周为宽度均为5米的观众区，请你计算这一场馆总的占地面积是多少平方米？（用含x的代数式表示）9．如图，某校内有一块长为2a+3bm、宽为2a-bm的长方形空地，该校计划将其规划为劳动基地，为此举行了(1)用含a，b的代数式表示铺设的草坪的面积；（结果化为最简形式）(2)若a=10，b=5，预计每平方米铺设草坪的费用为10．小芳的窗户是一个长方形的窗户，如图所示，其上方的装饰物由两个四分之一圆和一个半圆组成（它们的半径相等），长是5a+b，宽是8a-

(1)窗户中能射进阳光的部分的面积是多少？(2)当a=12题型六利用多项式乘法解决规律探究性问题1．“数缺形时少直观，形无数时难入微”是我国著名数学家华罗庚教授的名言．说明数形结合是解决许多数学问题的有效思想．例：求前n个正整数之和的平方1+2+3+⋅⋅⋅+n2第一步：若小正方形的边长为1个单位长度，则12、1+22、1+2+32第二步：通过观察，上述各式的值还可以用若干个正方形的面积之和来表示；第三步：根据规律可得到1+2+3+⋅⋅⋅+n2=A．13+2C．1+22+2．将三项式展开，得到下列等式：aaaa…观察多项式系数之间的关系，可以仿照杨辉三角构造如图所示的广义杨辉三角形，方法为：第0行为1，以下各行每个数是它正上方与左右两肩上的3个数（不足3个数时，缺少的数以0计）之和，第k行共有2k+1个数，则关于x的多项式a2+axA．15a2+C．15a2+23．观察下列各式的规律：a-a-a-……根据以上规律，可得到(a-4．请仔细观察下列等式并解决问题．1×2×3×4+1=12×3×4×5+1=23×4×5×6+1=34×5×6×7+1=4(1)推测：5×6×7×8+1=__________．(2)猜想：n×n5．在日历上，我们可以发现其中某些数据满足一定的规律．如图，我们任意选择包含四个数的小方框，将每个方框部分中4个位置上的数交叉相乘，再相减，例如，9×15-8×16=7，25×19-18×26=7；(1)请用含有n的式子表示上述规律，并说明在右图中n的取值范围：(2)证明你的结论．6．观察以下等式：第1个等式：32第2个等式：52第3个等式：72第4个等式：92-按照以上规律，解决下列问题：(1)写出第5个等式：________________________；(2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．7．小戴同学通过计算下列两位数的乘积，发现结果也存在一定的规律，请你补充小戴同学的探究过程：38×32=1216，43×47=2021，54×56=3024，65×65=4225……(1)利用发现的规律计算71×79=______．(2)根据发现，若设一个两位数的十位上的数字为m，个位上的数字为n，则另一个两位数的个位上的数字为______；用含m、n的等式表示以上两位数相乘的规律______；(3)请用所学知识证明②中的规律．8．我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了(a+b例如：(a+b(a+b)1=a(a+b)2=a2+2根据以上规律，解答下列问题：(1)(a+b)5(2)求(2a(3)利用表中规律计算：25(4)设(x+1)17=a1．我们在学习多项式乘以多项式时，通过乘法分配律将其归结为了单项式与单项式相乘，这个过程体现的数学思想是（

）A．化归思想 B．类比思想 C．数形结合思想 D．建模思想2．已知多项式A是8次多项式，多项式B是3次多项式，则A⋅B的次数是（A．24次多项式 B．不高于11次的多项式C．11次多项式 D．无法确定3．小明在进行两个多项式的乘法运算时，不小心把乘以x-2y错抄成除以xA．3x2-C．3x3-4．符号abcd叫做二阶行列式，规定它的运算法则为abcd=A．-2x-7 B．-1 C5．在进行整式乘法运算训练时，李明出了一道题：要求计算2x+3y-42x+ay+b得到的多项式不含xA．1 B．7 C．-7 D．6．如图，边长为a，b的长方形，它的周长为14，面积为10，则a+1b+1A．20 B．18 C．16 D．147．通过计算比较图1、图2中阴影部分的面积，可以验证的等式为（

）A．aa-2b=C．-a+ba-8．若多项式2x2+kx-14是由整式x-A．3 B．4 C．5 D．69．如图，有正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张a≠b，如果要选用上述3类卡片共12张拼成一个大长方形（拼接时不可重叠，不可有缝隙）、且卡片全部用上，则下面选取方案不正确的是（A．5张A类卡片，6张C类卡片，1张B B．4张A类卡片，6张C类卡片，2张BC．1张A类卡片，6张C类卡片，5张B D．1张A类卡片，7张C类卡片，4张B10．若一个只含a字母的多项式的项数是偶数，用该多项式去乘(a+1)，若该多项式的项数是奇数，则用该多项式去乘(a-1)①将多项式(a2-1)以上述方式进行②将多项式(a2+2a)③将多项式(a2+2a+1)以上述方式进行4④将多项式(a-1)以上述方式进行n四个结论错误的有（

）A．0 B．1 C．2 D．311．小明在进行两个多项式的乘法运算时，不小心把一个多项式乘以x-2y错抄成除以x-212．若(2x-1)(x-2)=a13．若关于x的多项式3x-m与x2-nx+414．我们知道，多项式的乘法公式可以利用图形中面积的等量关系来验证其正确性，如a+b2=a2+2ab+b2就能利用图115．小宁同学用x张边长为a的正方形纸片，y张边长为b的正方形纸片，z张邻边长分别为a、b的长方形纸片，拼出了邻边长分别为9a+b、6a16．在计算x+yx-3y-mynx-y（m、n均为常数）的值，在把x、y的值代入计算时，粗心的小明把y的值看错了，其结果等于4，细心的小红把正确的x、y的值代入计算，结果恰好也是17．如图，长为50cm，宽为xcm的大长方形被分割成7小块.除阴影A，B外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短一边长为ycm，要使阴影A与阴影B的面积差不会随着x的变化而变化，则定值y

18．关于x的二次三项式M=2x2+ax+b，关于①当多项式M⋅N乘积不含x3②当M能被2x+1整除时，③c-19．在计算x+ax+b时，甲把b错看成了6，得到结果是：x2+8(1)求出a，b的值；(2)在（1）的条件下，计算x+20．观察下列关于自然数的等式：2×4-13×5-24×6-35×7-4…根据上述等式的规律，解答下列问题．(1)若等式8×10-a2+1=b（a，b是自然数）满足以上规律，则a=(2)写出第n个等式（用含n的代数式表示），并证明其正确性．21．如图，某学校的广场上有一块长为3a+b米，宽为2(1)绿化的面积S是多少？(2)若a，b使代数式ax-6x+b22．以下关于x的各个多项式，m,n均为常数.(1)已知(x+3)(x(2)已知关于x的二次三项式x2+mx+n有一个因式(x+5)，且23．图①、图②是两个长和宽分别相等的长方形，其中长为x+a，宽为(1)根据图①、图②的特征用不同的方法表示长方形的面积：图①的面积=______，图②的面积=______=______．由此可以发现关于字母x的两个一次多项式（一次项系数为1）相乘的计算规律，用数学式子表示是_________；(2)利用你所得的规律进行多项式乘法计算：①x+4②x+3③x-24．阅读下列材料并解答问题