8.4 乘法公式（解析版）

8.4乘法公式（六大题型提分练）题型一利用乘法公式计算（Ⅰ）利用平方差公式计算1．平方差公式(a+b)(a-bA．数或单个字母 B．单项式 C．多项式 D．单项式或多项式【答案】D【解析】解：平方差公式(a+b)(a即a，b是单项式或多项式，故选：D．2．下列算式能用平方差公式计算的是（）A．5(3a+b)(3C．(x-y【答案】B【解析】解：A、两个因式中，没有两项完全相同，也没有两项互为相反数，故不能用平方差公式计算；B、两个因式中，13和-13是相反数，-C、两个因式中，各项符号完全相反，故不能用平方差公式计算；D、两个因式中，各项符号完全相反，故不能用平方差公式计算；故选：B.3．为了运用平方差公式计算(a-bA．[(a+cC．[(b+c【答案】D【解析】解：(=[a故选：D．4．在横线上填入适当的整式：-r-2【解析】解：-r2=根据a+可知：-r故答案为：-r5．a2+4×□是一个平方差的形式，则“□”里可以填(【解析】解：∵a2∵a∴“□”里可以填-1故答案为：-16．若x2+9(x+3)(【解析】解：x2则n=4故答案为：4．7．计算：(1)x-(2)0.1-x(3)x+(4)2+3a【解析】（1）x-（2）0.1-x（3）x+（4）（2+3a8．老王把一块边长为am的正方形土地租给了老李，今年老王对老李说“我把这块地一边减少4m，另一边增加4m【解析】解：老李是吃亏了，理由如下：∵原来土地的面积为a2更改后的土地的面积为a+4a-∴更改后的土地面积比原来少16m∴老李是吃亏了．（Ⅱ）利用完全平方公式计算1．下列计算中，正确的是（

）A．-x-yC．-3x+【答案】D【解析】解：A、-xB、m+2C、-3D、x-故选：D．2．某同学在利用完全平方公式进行整式乘法计算时，不小心将墨水滴在了结果上，那么结果“4a2a+9”中被墨水遮住的部分可能是（A．6 B．±6 C．12 D．±12【答案】D【解析】解：由2a∴被墨水遮住的部分为±12，故选：D．3．若m，n是实数，则m+n2A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数【答案】C【解析】解：m==2=-=-m∵m，n是实数，且m-∴-m则m+故选：C．4．已知多项式4x4+1【解析】解：4x4x(2x所以添加的单项式可以是±4x2或故答案为：4x2或-45．阅读理解：如果a-1a=1，我们可以先将等式两边同时平方得到a-1a2=1，再根据完全平方公式计算得：a2-2a【解析】解：∵x2∴x-1x∴x2∴x2故答案为：6．6．计算：(1)(x(2)(x(3)(3m【解析】（1）解：(x（2）解：(x（3）解：(3m7．小明说：“对于大于0的任意整数n，代数式2n+12-2【解析】解：同意小明的说法．理由如下：∵=4=8n∴当n为大于0的任意整数时，原式一定是8的倍数．8．课本原题：当k取何值时，100x2-kxy+49y2是一个完全平方式？解决此类问题的关键是熟练掌握完全平方公式：a±b2=a(1)请尝试用语言叙述完全平方公式的结构特征：；(2)若x2+2m-3x+49若x2-8x+n(n为常数)(3)已知2x-a2【解析】（1）解：∵完全平方公式：a±∴完全平方公式的结构特征：左边是两个数的和（差）的平方，右边是一个二次三项式，其中首末两项分别是两数的平方，都为正，中间一项是两数积的两倍，其符号与等式左边的运算符号相同，故答案为：左边是两个数的和（差）的平方，右边是一个二次三项式，其中首末两项分别是两数的平方，都为正，中间一项是两数积的两倍，其符号与等式左边的运算符号相同；（答案不唯一，能描述清楚即可）（2）解：∵x2∴x∴2m解得：m=10或-∵x2∴x∴n故答案为：10或-4；16（3）解：∵2∴4x∴-4a=∴a∴b题型二利用乘法公式进行简便计算1．用完全平方公式计算79.82的值，下列变形最恰当的是（

A．(79+0.8)2 B．(80-0.2)2 C．(100-20.2)2【答案】B【解析】解：79.82故选：B．2．已知M=20182，N=2017×2019，则A．M>N B．M<N C【答案】A【解析】解：∵M=20182∴M====1，∴M>故选：A．3．计算2-12+122A．235+2 B．264+1 C．【答案】C【解析】解：2-1=2=2=2=2=2=2故选：C．4．利用完全平方公式a±b2=a1962=1962=【解析】解：19621962故答案为：200-42=2005．运算：10012-【解析】解：1001====2001+16=2017．故答案为：2017．6．明明写了两个算式：a=2024×2025+1，b=20242-2024×2025+20252，请你帮他判断a和b的大小：ab．（填【解析】2024=2024=2024-2025=1+2024×2025，∴b=∴a=故答案为：=．7．由(m+n)(m-【解析】解：原式==1=1故答案为：1192368．利用乘法公式计算：(1)1012(2)20252(3)19.92【解析】（1）解：原式==10001+10001=20002；（2）解：原式==2025=1；（3）解：原式=19.9+0.1=20=400．题型三利用乘法公式求值1．已知x+y=5,x-A．10 B．-10 C．7 D．【答案】A【解析】解：∵x+y∴x故选：A．2．已知x-y2=20，x+A．95 B．190 C．210 D．380【答案】A【解析】解：∵(x+y)2∴①-②得：则xy=95故选：A．3．若a2+b2+1A．3 B．6 C．±3 D．±6【答案】B【解析】解：∵a2∴a2∴a2∴a2∵a2≥0，∴a2∴a2故选：B．4．阅读理解：如果a-1a=1，我们可以先将等式两边同时平方得到a-1a2=1，再根据完全平方公式计算得：a2-2aA．8 B．6 C．4 D．2【答案】B【解析】解：∵x2∴x-1x∴x2∴x2故选：B．5．若M=x2+yA．2014 B．2016 C．2018 D．2020【答案】A【解析】解：M==x∵x+3∴M的最小值是2014．故选：A．6．已知x2+y2=13，xy【解析】解：x=x2当x2+yx-∴x-故答案为：±5．7．若20242-420232【解析】解：∵20242∴2024+22024-2∴2026×2025×2022×2021=2026×2022×2021m∴m=2025故答案为：2025．8．已知40-xx-30【解析】解：∵40-x∴40-=100-2×10=80，故答案为：80．9．先化简，再求值：a+ba-b【解析】（1）解：原式=a当a=3，b原式=2×3×=-410．先化简，再求值，已知x2+2x【解析】解：原式=4=4=5x∵x2∴x2∴原式=5=5×1-3=2．11．已知x、y，满足(x+y)2＝25，xy＝4．(1)求x2+y2的值；(2)若m＝(x﹣y)2时，4a2+na+m是完全平方式，求n的值．【解析】（1）∵xy=4∴(x∴x2+（2）∵(x∴m=9∴4a∴na=±(2×2∴n=±1212．王老师安排喜欢探究问题的小明解决某个问题前，先让小明看了一个有解答过程的例题．例：若m2+2mn+2n解：∵∴∴∴m+n=0，n-聪明的小明理解了例题解决问题的方法，很快解决了下面两个问题．相信你也能很好的解决下面的这两个问题，请写出你的解题过程．(1)若m2-2(2)若x2-4xy+5【解析】（1）证明：∵m∴m∴m∴m（2）解：∵x∴x则x-所以x解得x=-2，y13．我们已学完全平方公式：a2x2∵(x+2)-x∵-(x-并完成下列问题：(1)代数式x2-4x+1有最(2)解决实际问题：在紧靠围墙的空地上，利用围墙及一段长为100米的木栏围成一个长方形花圃，为了设计一个尽可能大的花圃，如图设长方形一边长度为x米，完成下列任务．①用含x的式子表示花圃的面积；②请说明当x取何值时，花圃的最大面积是多少平方米？【解析】（1）解：x2∵x-∴x-∴代数式x2-4故答案为小，-3（2）解：①由图可得花圃的面积：x(100-2②由①可知：-2∵当x=25时，100-2x=50<100∴当x=25时，花圃的最大面积为125014．通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图1是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线对折后用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图(1)图2中阴影部分的正方形的边长是；(2)请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积：方法1：；方法2：；(3)观察图2，请你写出a+b2，a-b(4)如图3，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，面积分别是S1和S2，若AB=9，两正方形的面积S【解析】（1）解：根据图形可得阴影部分的正方形的边长是a-故答案为：a-（2）解：方法1：直接求阴影部分的面积，即阴影部分是边长为a-b的正方形：方法2：间接求阴影部分的面积，即阴影部分可以看作从边长为a+b的正方形面积中减去4个长为a，宽为b的长方形面积：故答案为：a-b2（3）解：由（2）可得：a-故答案为：a-（4）解：设AC=a，BC=b，则∵a+∴2ab∴ab=15∴12答：△ACF的面积为15题型四乘法公式的几何背景及应用1．如图，把一张长方形纸片沿着线段AB剪开，把剪成的两张纸片拼成如图②所示的图形，由此可以验证的等式是（

）A．a+baC．(a+b【答案】A【解析】解：由图①得：阴影部分面积=a由图②得：阴影部分面积=a即有a+故选：A．2．利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式．例如，根据图①，我们可以得到两数和的完全平方公式：(a+b)2A．(a-2C．(a-b【答案】C【解析】观察图形可得从整体来看（a-b)2等于大正方形（边长为a）的面积减两个边长分别为∴根据图②能得到的数学公式是：(a故选：C．3．如图，现有甲，乙，丙三种不同的纸片．贝贝要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，她先取甲纸片1块，再取乙纸片4块，则她还需取丙纸片的块数为（

）

A．1 B．2 C．4 D．8【答案】C【解析】设取丙种纸片x块才能用它们拼成一个新的正方形，（x≥0）∴a2＋4b2＋xab是一个完全平方式，∴x为4，故选：C．4．如图，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，若AB=8，两正方形的面积和S1+A．6 B．8 C．10 D．12【答案】A【解析】解：∵AB=8∴AC+∴AC∴AC∵S1∴AC∴2AC∴S阴影故选：A．5．从边长为a的大正方形纸板挖去一个边长为b的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙），那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为____．【解析】图甲中阴影部分的面积为：a2-b∵甲乙两图中阴影部分的面积相等，∴∴可以验证成立的公式为a2故答案为：a26．如图，有A类卡片3张、B类卡片4张和C类卡片5张，从其中取出若干张，每种卡片至少取一张，把取出的这些卡片拼成一个正方形（所拼的图中既不能有缝隙，也不能有重合部分），所拼成的正方形的边为．【解析】解：∵有A类卡片3张，B类卡片4张，C类卡片5张，∴由a+b2=a2+2ab+b2可知用1张A由a+2b2=a2+4ab+4b2可知用1张A故答案为：a+b或7．有两个正方形A，B，现将B放在A的内部得图①，将A，B并列放置后构造新的正方形得图②．若图①和图②中阴影部分的面积分别为4和18，则图②所示的大正方形的面积为．【解析】解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，由图①得：a2∴a∴a由图②得：a+∴a∴2ab∴a∴图②所示的大正方形的面积=a故答案为：40．8．根据整式与整式相乘，可以得到等式：x+y+z2=x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz．试利用这个等式解决以下问题：如图，△ABC中，∠C=90°，分别以AC【解析】解：由公式得：a2∴这三个正方形的面积和是70，故答案为：70．9．如图1是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图

(1)你认为图2中的阴影部分的正方形的边长等于多少？(2)请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积．方法1:方法2:(3)观察图2你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？代数式：(m+n)2，((4)根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：若a+b=7，ab=5，则【解析】（1）解：图2中的阴影部分的正方形的边长等于(m（2）解：方法一、阴影部分的面积=(方法二、阴影部分的边长=m-n（3）解：三个代数式之间的等量关系是：(m（4）解：(a故答案为：(m+n)2-410．（一）动手探究：对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．（1）如图1所示的大正方形，是由两个正方形和两个形状大小完全相同的长方形拼成的．用两种不同的方法计算图中阴影部分的面积，可以得到的数学等式是______；（2）如图2所示的大正方形，是由四个三边长分别为a、b、c的全等的直角三角形（a、b为直角边）和一个正方形拼成，试通过两种不同的方法计算中间正方形的面积，求证：c2（二）知识应用：利用（1）（2）的结论，如果直角三角形两直角边满足a+b=17，ab

【解析】解：（一）动手探究：（1）方法一：阴影部分是两个正方形的面积和，即a2方法二：阴影部分也可以看作边长为a+b的面积，减去两个长为a，宽为b的长方形面积，即由面积相等得a2故答案为：a2（2）中间正方形的边长为c，面积为c2，也可以看作从边长为a+b的正方形面积减去四个两条直角边分别a、b化简得c2所以c2（二）知识应用：∵a+b=17∴c===169，∴c=13答：斜边的长为13．题型五乘法公式的实际应用1．为了美化校园环境，学校将正方形花坛的一组对边各增加3m，另一组对边各减少3m，则所得长方形花坛的面积与原来相比（

）A．减少了9m2 B．增加了9m2【答案】A【解析】解：设原正方形花坛的边长为am，则正方形花坛的面积为a长方形花坛的长和宽分别为a+3则长方形花坛的面积为(aa2>a则所得长方形花坛的面积与原来相比减少了9m故选：A．2．如图，要用木板为一幅正方形油画装裱边框，其中油画的边长为4dm，边框每条边的宽度为aA．16adm2 BC．4a2dm2【答案】B【解析】解：根据题意，制作边框的面积是：4+2a故选：B．3．图1为某校八（1）（2）两个班级的劳动实践基地，图2是从实践基地抽象出来的几何模型：两块边长为m，n的正方形，其中重叠部分B为池塘，阴影部分S1，S2分别表示八（1）（2）两个班级的基地面积．若m+n=6，【解析】解：由图可知：S1∴S1∵m+n=6∴m+∴S1故答案为：6．4．在一个艺术工作室中，设计师正在进行一幅拼图作品的创作．他使用了大小不同的正方形纸片来构建图案．如图，其中有一个大正方形和一个小正方形，当把它们组合在一起时，设计师发现大正方形与小正方形的面积之差是12，那么阴影部分的面积是．【解析】解：设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，∵大正方形与小正方形的面积之差是12，∴a阴影部分的面积为：12故答案为：6．5．如图，学校计划在一块长方形土地中间修建一座雕像，雕像底部是边长为x+(1)计算出草坪（图中阴影部分）的面积；(2)当x=10,【解析】（1）解：S=8=8=7x答：这块草坪的面积为7x（2）当x=10,y=6答：草坪的面积为940平方米．6．如图，某小区有一块长为4a米a>1，宽为4a-2米的长方形地块．该长方形地块正中间是一个长为2(1)用含a的代数式表示采用A型绿化方案的四个正方形的边长是_____米，采用B型绿化方案的长方形的另一边长是______米；(2)已知采用B型绿化方案比A型绿化方案的面积大，求B型绿化方案比A型绿化方案的面积大了多少平方米？【解析】（1）采用A绿化方案的四个正方形边长=1采用B型绿化方案的长方形的另一边长是4a故答案为：a-12（2）设A型绿化方案的面积为SA，B型绿化方案的面积为S∴SA=4a则SB答：B型绿化方案比A型绿化方案的面积大了4a题型六运用乘法公式找规律1．如图，用相同的小正方形拼大正方形，拼第1个正方形需要4个小正方形，拼第2个正方形需要9个小正方形……拼一拼，想一想，按照这样的方法拼成的第n个正方形比第n-1个正方形多几个小正方形?（A．n B．2n C．n+1 D【答案】D【解析】解：由题意知，拼第1个正方形需4=1+1拼第2个正方形需9=2+1拼第3个正方形需16=3+1……∴可推导一般性规律为：拼第n个正方形需n+1∴第n-1个正方形需∴n+1故选：D．2．3+132+1A．5 B．1 C．2 D．4【答案】B【解析】解：3+1=======1∵31=3，32=9，33可知个位数变化规律为：3，9，7，1，4次一个循环，∴364的个位数为1∴364-1∴12364-1∴12364-1观察选项可知，只有B选项为1，故选：B．3．观察下列各个式子的规律：第1个等式：152第2个等式：252第3个等式：352第4个等式：452=……第202个等式：20252=【解析】解：根据题中规律可得452进而得出第n个等式：10n∴20252故答案为：100×4×5+25；100×202×203+25．4．我们已经学习了整式乘法，可以计算以下的式子：a+a+a+a+a+…你能发现以上等式右边的各项系数的规律吗？以上节选的是教材第11章的阅读材料《贾宪三角》的部分内容．我们除了发现等式右边各项系数有规律之外，右边各项的次数也存在着规律．(1)请根据发现的规律尝试直接写出a+b5的计算结果：i）它的计算结果是一个______次______项式；（分别用含n的式子填写）ii）它的计算结果各项系数之和为：______（用幂的形式表示）【解析】（1）解：观察所给各式可知，(a+b)1a+b2计算结果中的各项系数依次为：1，2a+b3计算结果中的各项系数依次为：1，3，3(a+b)4计算结果中的各项系数依次为：1，4，6由此可知，(a+b)5计算结果中的各项系数依次为：1，5，10，10即a+故答案为：a5（2）解：i）由题知，(aa+a+(a…，所以a+bn计算结果是一个n故答案为：n，n+1ii）(a+ba+b2a+b3(a+b…，所以a+bn故答案为：2n1．给出下列式子：①3a②2a③3x④xy-其中正确的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】①3a②2a③3x④xy-∴只有③④正确，故选：B．2．下列各式是完全平方式的是（）A．a2+abC．x2+2xy【答案】B【解析】解：A．a2B．x2C．x2D．16m故选：B．3．如图①，从边长为a的大正方形的四个角中挖去四个边长为b的小正方形后，将剩余的部分剪拼成一个长方形，如图②．通过计算阴影部分的面积可以得到（

）A．(a-2C．(a-2【答案】C【解析】解：由图可知，大正方形减小正方形剩下的部分面积为a2拼成的长方形的面积：(a所以得出：a+2故选：C．4．如图，将图①中的阴影部分拼成图②，根据两个图形中阴影部分的面积关系，可以验证的数学公式是（

）A．a+baC．a+b2【答案】B【解析】解：由图形可知，图①中的阴影部分面积为a2图②中的阴影部分面积为a-即可以验证的数学公式是a-故选：B．5．现有甲，乙、丙三种不同的矩形纸片（边长如图）．（1）取甲、乙纸片各1块，其面积和为______．（2）嘉嘉要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取甲纸片1块，再取乙纸片9块，还需取丙纸片______块．（）A．a2+b2和6 B．a2+b2和5 C．【答案】A【解析】解：（1）∵甲纸片的面积是a2，乙纸片的面积是b∴甲、乙纸片各1块的面积之和是a2（2）∵甲纸片1块和乙纸片9块的面积之和为：a2+9b∴要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形时，还需取丙纸片6块．故选：A．6．用4张长为a、宽为ba>b的长方形纸片按如图所示的方式拼成一个边长为a+b的正方形，图中阴影部分的面积为A，大正方形的面积为B．若a=2bA．2A=3B B．3A=2B【答案】D【解析】解：大正方形的面积为：a+b2∴阴影部分的面积为：a+∵a=2∴A=4b2∴3A故选：D．7．由ma+b+c=maA．a+1a2C．a+3a2【答案】A【解析】解：A、a+1B、2xC、a+3D、x+4故选：A．8．已知a2+3a-3=0A．3 B．3 C．15 D．9【答案】C【解析】解：由于a2+3a∴∴∴9=∴故选：C．9．不论a，b为何实数，a2+bA．总是正数 B．总是负数C．可以是零 D．可以是正数也可以是负数【答案】A【解析】解：a=a∵a-∴a2即：a2故选：A．10．如果正整数x、y、z满足x2+y2+A．72 B．78 C．82 D．93【答案】A【解析】解：∵x-y2≥0∴x2+y2∴x∴x+y∵x、y、z均为正整数，∴x∵772=5929∴x∴A选项符合题意，故选：A．11．14x+y2【解析】解：y4故答案为：-112．已知a-b-c【解析】解：∵a-∴M=故答案为：a+13．若x2+4y2=x+2【解析】解：∵x∴x2∴A=-4故答案为：-414．我们定义abcd=ad-bc，例如2345=2×5-3×4=10-12=-2【解析】解：∵x-∴(∴(∴x-1=0∴x=1，则x+故答案为：4．15．计算40492-4×2024×2025【解析】解：4049======1．故答案为：1．16．观察下列等式：(x-1)(x+1)=x2根据上述规律，计算3+32【解析】解：由题意可得x-3+===3故答案为：36417．如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，例如3=22-12，7=42-32，16=52-【解析】解：设两个数分别为k+1，k，其中k≥1，且k为整数．则设两个数分别为k+1和k-1，其中k≥1，且k为整数．则k+1∴除4外，所有能被4整除的偶数都是智慧数．∴4k（k≥2且除1外，所有的奇数都是智慧数；除4外，所有能被4整除的偶数都是智慧数；这样还剩被4除余2的数，特殊值2，6，10都不是智慧数，也就是被4除余2的正整数都不是智慧数，推广到一般式，证明如下：∵假设4k+2是智慧数，那么必有两个正整数m和n，使得∴4k∵m+n和∴等式①的右边要么是4的倍数，要么是奇数，而左边一定是偶数，但一定不是4的倍数．可左、右两边不相等．所以4k+2不是智慧数，即被4除余∴把从1开始的正整数依次每4个分成一组，除第一组有1个智慧数外，其余各组都有3个智慧数，而且每组中第二个不是智慧数，又∵(2024-1)÷3=674⋯⋯1，∴第2024个智慧数在1+674+1=676（组），并且是第1个数，即675×4+1=2701．故答案为：2701．18．两个边长分别为a和b(a>b)的正方形按图1所示的方式放置，其未叠合的部分（阴影部分）面积为S1，若如图2所示，再在图1中边长为a大正方形的左下角摆放一个边长为bb>12【解析】解：由图可得：S∴6=6(=6=6=10∵a∴(a∴a∴原式=10(故答案为：280．19．计算：(1)x+2(2)(x(3)2a(4)(2x【解析】（1）解：原式==-3（2）原式=x（3）解：原式===b（4）解：原式===4x20．已知a+b2=7，a-【解析】解：根据完全平方公式得：a+a-①+②得：∴a①-②得：∴ab21．对于任意自然数n，多项式nn+5-【解析】解：因为原式=n所以对于任意自然数n，多项式nn+5-22．先化简，再求值：a-b2+a+b【解析】解：a==4ab∵a∴a-1=0∴a=1，∴4ab23．从边长为a的正方形剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．(1)上述操作能验证的等式是_______________（请选择正确的一个）A．a2+ab=aa+b，(2)若36x2-(3)计算：1-1【解析】（1）解：图1阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即a2-b2，拼成的图2是长为a+所以a2故选：C；（2）∵36x2-∴6x（3）1-=1-=1=1=202524．对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，可以得到一个数学等式．例如由图1可以得到(a(1)类似的，写出图2中所表示的数学等式为______；(2)如图3，用不同的代数式表示大正方形的面积，由此得到的数学等式为______；(3)利用上面（2）的结论解决问题：若x+y=7,(4)利用此方法也可以求出一些不规则图形的面积．如图4，将两个