8.4乘法公式（第1课时）（教案）-苏科版(2024)七下

第八章整式乘法8.4乘法公式第1课时完全平方公式

一、教材分析本节课是苏科版初中数学七年级下册第八章第四节第一课时内容，完全平方公式是初中代数的一个重要组成部分，是学生在已经掌握单项式乘法、多项式乘法的基础上进行的，完全平方公式的推导是初中数学中运用推理方法进行代数式恒等变形的开端，是从一般到特殊的认知规律的典型范例.本节课通过计算图形面积得出完全平方公式，然后利用多项式乘法法则进行推导，进而理解完全平方公式．通过对完全平方公式可以简化某些整式的运算，为以后的因式分解、分式的化简、二次根式中的分母有理化、解一元二次方程、函数等内容奠定了基础.因此，完全平方公式在初中阶段的教学中具有很重要地位.

二、学情分析学生在学习本节课之前，已具备一定的知识基础和学习能力．在本节课开始之前，学生已经学习了整式的概念，整式的加减法、乘法，已经经历了探索和应用的过程，获得了一些基本的活动经验，具备了一定的符号意识、推理能力和几何直观能力，有了一定的数形结合意识．

三、教学目标1.通过求图形的面积了解完全平方公式的几何意义，感知数形结合的思想；2.会推导完全平方公式，并能运用完全平方公式进行简单的计算；3.理解完全平方公式的结构特征，并会利用完全平方公式变形进行计算；4..经历探索完全平方公式的过程，发展学生的符号感和推理能力.

四、教学重难点重点：会推导完全平方公式，并能运用完全平方公式进行简单的计算.难点：理解完全平方公式的结构特征，并会利用完全平方公式变形进行计算．

五、教学过程情境导入问题：用若干块如下图所示的长方形和正方形的地砖，拼成图3，它的面积是多少？你有哪些不同的算法？答：方法一：把图3看成是一个边长(a+b)为大正方形，则它的面积S=(a+b)2；方法二：把图3看成是一个长、宽分别是(a+b)、a和(a+b)、b的2个长方形组成，则它的面积S=a(a+b)+b(a+b)；方法三：把图3看成是由2个小正方形和2个小长方形组成，则它的面积S=a2+2ab+b2.．追问：三种不同表示面积的代数式之间有什么关系呢？答：(a+b)2=a(a+b)+b(a+b)=a2+2ab+b2.． 师生活动：学生独立思考，学生代表回答．设计意图：通过探索图形的面积，发现完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2．这样既让学生对公式有了初步认识，又培养学生的直观想象素养，让学生体会数形结合的思想方法．探究新知活动一：探究完全平方公式问题请运用所学的知识验证(a+b)2=a2+2ab+b2.．答：问题(a−b)2=？答：【方法一】(a−b)2=(a−b)(a−b)=a2−ab−ab+b2=a2−2ab+b2;【方法二】(a−b)2=[a+(−b)]2=a2+2·a·(−b)+(−b)2=a2−2ab+b2． 师生活动：学生独立思考并回答，教师板书．设计意图：学生通过自己的验证得出完全平方公式，使学生获得成就感．在探索的过程中锻炼学生的归纳能力、语言表达能力．两数差的平方公式的推导让学生一题多解，发散了学生的思维，同时让学生体会类比思想．活动二：完全平方公式【完全平方公式】(a+b)2=a2+2ab+b2（两数和的完全平方公式）(a−b)2=a2−2ab+b2（两数差的完全平方公式）问题谁能用文字语言描述完全平方公式吗？答：两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍.问题完全平方公式有什么特点？答：①等号左边是两个数的和（或差）的平方；②等号右边是一个二次三项式，其中首末两项分别是两数的平方，中间项是两数积的2倍，其符号与左边的运算符号相同.师小结：（口诀）首平方，尾平方，积的2倍在中央，符号与前一个样.师生活动：师引导学生分析，学生交流、理解、倾听、记忆．设计意图：通过总结完全平方公式的符号和文字语言，让学生熟练记忆公式，有利于学生正确地利用公式进行计算．此时也让学生对两个公式特点进行讨论归纳，总结得到口诀：首平方，尾平方，积的2倍在中央，符号与前一个样.应用新知例1用完全平方公式计算：(1)(5＋3p)2；(2)(2x－7y)2；(3)(－2a－5)2.答：(1)原式=52＋2·5·3p＋(3p)2=25＋30p＋9p2；(2)原式=(2x)2－2·2x·7y＋(7y)2=4x2－28xy＋49y2；(3)原式=(－2a)2＋2·(－2a)·(－5)＋(－5)2=4a2＋20a＋25.思考：(a+b)2与(−a−b)2相等吗？答：相等.理由：(−a−b)2=[－(a＋b)]2=(－1)2·(a＋b)2=(a＋b)2.师小结：互为相反数的两数平方相等，如：(a+b)2=(−a−b)2，(a−b)2=(b−a)2.(－2a－5)2=(2a＋5)2=(2a)2＋2·2a·5＋52=4a2＋20a＋25.师小结：①计算时，要与完全平方公式对照，明确个是a，哪个是b.②完全平方公式中的a、b可是具体数，也可以是单项式或多项式；③正确使用公式，不丢项、不弄错符号、不漏乘2；④遇到如(−2a−5)2时，先变形为(2a＋5)2，再化简会更方便.例2用完全平方公式计算：1992.答：1992=(200−1)2=2002−2×200×1+12=40000−400+1=39601.师生活动：学生先独立思考，然后指定学生板演，全班交流.设计意图：通过例1、2讲解，及时练习巩固所学，培养学以致用、积极思考的习惯，提升学生计算能力．让学生理解运用完全平方公式计算时注意事项.例3若m＋n＝3，mn＝2，求(m－n)2的值.答：∵m＋n＝3，∴(m＋n)2＝32，即m2＋2mn＋n2＝9∵mn＝2，∴m2＋n2＝5∴(m－n)2＝m2－2mn＋n2＝(m2＋n2)－2mn＝5－2×2＝1.师小结：完全平方公式可变形运用，即在m＋n、mn、m－n、m2＋n2这四个量中，已知其中两个量，能求出另外两个量.师生活动：学生思考后交流，师生总结．设计意图：通过例3，不仅让学生深入认识完全平方的结构特点，还可以发挥学生作为教学主体的主动性，让学生感受数学公式的变形美：完全平方公式可变形运用，即在m＋n、mn、m－n、m2＋n2这四个量中，已知其中两个量，能求出另外两个量．探究一个奇数的平方一定是奇数吗？请说明理由.思考：一个奇数要怎么表示呢？2n+1(n是整数)）答:一个奇数的平方一定是奇数.理由：设一个奇数是2n＋1(n是整数).(2n＋1)2=(2n)2＋2·2n·1＋12=4n2＋4n＋1.∵n是整数，∴n2也是整数，∴4n2、4n都是偶数，∴4n2＋4n＋1是奇数. 师生活动：学生先独立思考，再小组交流讨论，汇报．设计意图：通过此探究，不仅有助于巩固完全平方公式，还能培养学生的数学推理能力、奇偶性理解能力、探究兴趣和数学语言表达能力，同时拓展学生的数学思维.探究计算(a+b+c)2.方法一：几何法边长为a+b+c大正方形的面积，即(a+b+c)2；大正方形的面积还可看成是3个小正方形与6个长方形的面积之和.因此，(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca.方法二：多项式乘法法则(a+b+c)2=(a+b+c)(a+b+c)=a2+ab+ac+ba+b2+bc+ca+cb+c2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca.方法三：完全平方公式(a+b+c)2=[(a+b)+c]2=(a+b)2+2·(a+b)·c+c2=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca.师总结：(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca.三个数的和的平方，等于它们的平方和，加上任意两数的积的2倍.师生活动：学生先独立思考，再小组交流讨论，共同探究．设计意图：通过此探究，进一步培养学生综合运用知识来解决问题的能力．让学生在小组讨论中合作交流，拓宽解题思路．特别要激发学生用数形结合思想解题，它既能简化推理和运算，又使抽象问题直观化，复杂问题简单化，具有直观、快捷的优点．课堂练习1.用完全平方公式计算：(1)(1＋x)2；(2)(y－3)2；(3)(－3x+2)2；(4)(32x－13y)2解:(1)原式=12＋2·1·x＋x2=1＋2x＋x2；(2)原式=y2－2·y·3＋32=y2－6y＋9；(3)原式=(3x－2)2=(3x)2－2·3x·2＋22=9x2－12x2＋4；(4)原式=(32x)2－2·32x·13y＋(13y)2=94x2－xy2.填空：(1)(a＋)2＝a2＋4ab＋4b2；(2)(2a＋)2＝4a2＋4ab＋b2；(3)(3x－)2＝9x2－12xy＋；(4)(－x－)2＝x2＋＋1.答：(1)2b；(2)b；(3)2y，4y2；(4)±1，±2x.3.边长为am(a>6)的正方形花圃，如果边长减少6m，那么花圃的面积减少了多少？答:a2－(a－6)2=a2－(a2－12a＋36)=a2－a2＋12a－36=12a－36.答：花圃的面积减少了(12a－36)m2.师生活动：学生独立完成，学生互评互纠，教师巡视并个别指导.设计意图：通过课堂练习巩固新知，加深对完全平方公式的熟练运用.特别地，当中间项系数的符号不确定时，可正可负，需要分类考虑.限时训练1.下面的计算是否正确？如果错误，请改正.(1)(x＋y)2＝x2＋y2；（）(2)(－m＋n)2＝－m2＋n2；（）(3)(a2＋1)2＝a4＋2a2＋1；（）(4)(－a－1)2＝－a2－2a－1.（）答：(1)×，(x＋y)2＝x2＋2xy＋y2；(2)×，(－m＋n)2＝(m－n)2＝m2－2mn＋n2；(3)√；(4)×，(－a－1)2＝(a＋1)2＝a2＋2a＋1.2.用完全平方公式计算：(1)(2＋x)2；(2)(x－13y)2；(3)(－2a2－5)2；(4)2012答:(1)原式=22＋2·2·x＋x2=4＋4x＋x2；(2)原式=x2－2·x·13y＋(13y)2=x2－23xy＋1(3)原式=(2a2＋5)2=(2a2)2＋2·2a2·5＋52=4a4＋20a2＋25；(4)原式=(200＋1)2=2002＋2×200×1+12=40000＋400+1=40401.3.已知(x＋y)2＝25，(x－y)2＝9，求xy，x2＋y2的值.答:∵(x＋y)2－(x－y)2=(x2＋2xy＋y2)－(x2－2xy＋y2)=x2＋2xy＋y2－x2＋2xy－y2=4xy，∴4xy=25－9=16，∴xy=4.∵(x＋y)2＋(x－y)2=(x2＋2xy＋y2)＋(x2－2xy＋y2)=x2＋2xy＋y2＋x2－2xy＋y2=2x2＋2y2，∴2x2＋2y2=25＋9=34，∴x2＋y2=17.师生活动：学生独立完成，指定学生回答.设计意图：通过限时训练巩固新知，加深对本节课的理解及应用.归纳总结师生活动：师生共同总结.设计意图：通过归纳总结，帮助学生梳理知识，形成体系，加深对完全平方公式的理解和记忆.让学生反思学习过程，培养反思和总结能力.通过教师强调和鼓励，引导学生重视知识巩固应用，提高学习积极性和主动性.

六、板书设计

七、教学反思本节课通过计算图形面积得出两数和的完全平方公式，这样情境创设有助于学生形象直观认识两数和的完全平方公式．通过多项式相乘法则进一步推导该公