17.5 一元二次方程的应用（题型专练）（解析版）

17.5一元二次方程的应用题型一传播问题1．有一人患了流感，经过两轮传染后，共有216人患了流感，则可列方程（

）A．x+x·C．1+x+x【答案】C【分析】本题考查的是根据实际问题列一元二次方程．找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键，根据题意，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则第一轮传染了x个人，第二轮作为传染源的是x+1人，则传染xx+1【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，∴第一轮传染了x个人，第二轮作为传染源的是x+1人，则传染x∴1+x故选：C．2．为了宣传环保，小明写了一篇倡议书，决定用微博转发的方式传播，他设计了如下的传播规则：将倡议书发表在自己的微博上，再邀请a个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书之后，又邀请a个互不相同的好友转发倡议书．以此类推，已知经过两轮传播后，共有111人参与了传播活动，则a的值是（

）．A．8 B．9 C．10 D．11【答案】C【分析】本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，分析实际问题中的数量关系，利用其中的相等关系列出方程，找到“等量关系”列方程是解决问题的关键．第一轮传播了a个人，第二轮传播了a2个人，根据两轮传播后，共有111【详解】解：由题意得，a+解得，a1=-11（舍去），∴a的值是10故选：C．3．某种植物的主干长出若干个分支，每个支干又长出同样个数的小分支，主干、支干、小分支的总数是241，设每个支干长出小分支的个数是x，则可列方程为．【答案】1+【分析】本题考查一元二次方程的应用，根据“主干长出若干个分支，每个支干又长出同样个数的小分支，主干、支干、小分支的总数是241”列方程求解即可．【详解】解：设每个支干长出小分支的个数是x，根据题意，得1+x故答案为：1+x4．某人用手机发短信，获得信息人也按他的发送人数发送该条短信，经过两轮短信的发送，共有90人手机上获得同一条信息，则每轮发送短信中，平均一个人向x个人发送短信．则根据题意列出的方程是．【答案】1+【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意是解答的关键．根据每一轮中发送人数与接收人数列方程即可．【详解】解：设每轮发送短信平均一个人向x个人发送短信，则1+x故答案为：1+5．卫生部疾病控制专家经过调研提出，如果1人传播10人以上而且被传染的人已经确定为新冠肺炎，那么这个传播者就可以称为“超级传播者”.如果某镇有1人不幸成为新冠肺炎病毒的携带者，假设每轮传染的人数相同，经过两轮传染后共有144人成为新冠肺炎病毒的携带者．（1）经过计算，判断最初的这名病毒携带者是“超级传播者”吗？请先写出结论，再说明理由；（2）若不加以控制传染渠道，经过3轮传染，共有多少人成为新冠肺炎病毒的携带者？【答案】（1）最初的这名病毒携带者是“超级传播者”，见解析；（2）若不加以控制传染渠道，经过3轮传染，共有1728人成为新冠肺炎病毒的携带者【分析】（1）最初的这名病毒携带者是“超级传播者”，设每人每轮传染的人数为x人，则第一轮传染了x人，第二轮传染了x（1+x）人，根据经过两轮传染后共有（2）利用经过3轮传染后成为新冠肺炎病毒的携带者的人数=经过两轮传染后成为新冠肺炎病毒的携带者的人数+经过两轮传染后成为新冠肺炎病毒的携带者的人数【详解】解：（1）最初的这名病毒携带者是“超级传播者设每人每轮传染的人数为x人，则第一轮传染了x人，第二轮传染了x（依题意得：1+x解得：x1=11，∵11>10，∴最初的这名病毒携带者是“超级传播者”．（2）144+144×11=1728答：若不加以控制传染渠道，经过3轮传染，共有1728人成为新冠肺炎病毒的携带者．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．题型二握手、循环问题1．某足球训练基地，组织了一次单循环的足球比赛（每两支队伍之间比赛一场），共进行了36场比赛，设该基地这次有x支队伍参加了比赛，依题意可列方程为（）A．xx-1C．xx+1=36【答案】A【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用.根据每两队之间都赛一场，设该基地这次有x支队伍参加了比赛，则每一个球队都会比赛x-【详解】解：设该基地这次有x支队伍参加了比赛，由题可知，xx故选：A．2．川超足球比赛中，参赛的每两支球队之间都要进行两场比赛，共比赛30场，则参加比赛的球队共有（）支．A．7 B．10 C．6 D．5【答案】C【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意；设参加比赛的球队有n支，每两支球队之间进行两场比赛，总比赛场次为nn【详解】解：设参加比赛的球队有n支，则总比赛场次为2×n∴nn即n2解得n=6或n∴参加比赛的球队共有6支；故选：C．3．北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进行了45场，设有x支队伍参加比赛，可列方程为：．【答案】1【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意是解题的关键．设有x支队伍，根据题意，得12【详解】解：设有x支队伍，根据题意，得12故答案为：124．国庆节放假了，为了活跃气氛，小明提议在他们的家族微信群里搞一个“发红包”活动，规定每个人都要发一个红包，并且保证群里所有人都能抢到，但是自己不能抢自己发的红包．最后，经过统计所有人共抢到红包132个，则他们这个家族群共有人．【答案】12【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键．设他们这个家族群共有n人，根据题意列出方程，求出n的值即可解答．【详解】解：设他们这个家族群共有n人，由题意得，nn解得n1=12，∴他们这个家族群共有12人．故答案为：12．5．九年级举办了乒乓球比赛，比赛采用单循环赛制（即每位参赛者与其他参赛者各比赛1场），嘉嘉说：“本次比赛一共进行了40场．”淇淇说：“你说的不对，按这个赛制不应该是40场．”设有x人报名参加比赛．(1)依据两人对话，乐乐列出方程：12(2)赛后经查询发现，因为有一人身体不适，参与4场比赛后中途退赛，所以比赛才进行了40场，求x的值．【答案】(1)正确(2)10【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意是解答的关键．（1）设有x人报名参赛，根据题意列方程xx（2）结合设有x人报名参赛，有一人比赛了4场后退出比赛，由题意x-【详解】（1）解：依题意，12∴xx整理得x解得x=∴方程的解不符合实际，按这个赛制不应该是40场，故淇淇的说法是正确，（2）解：∵有一人比赛了4场后退出比赛，由题意得x-整理得x2∴x-解得x1∴x的值为10．题型三增长率问题1．“立身以立学为先，立学以读书为本”．为鼓励师生阅读，某校图书馆开展阅读活动，自活动开展以来，进馆阅读人次逐月增加，第一个月进馆阅读人次为150，第三个月进馆阅读人次为384，若进馆阅读人次的月增长率相同，设月增长率为x，依题意可列方程为（）A．150x2=384C．1501+x2【答案】C【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据月增长率x，第一个月进馆阅读人次为150，第三个月的人次是第一个月的(1+x)2【详解】解：因为月增长率为x，则第二个月人次为1501+第三个月人次为150(1+即150(1+故选C．2．由于实施了一系列的改革措施，我省经济稳步向前发展，2023年GDP总值比2022年增长了5.6%，2024年GDP总值又比2023年增长了7.0%，设2023，2024这两年我省GDP总值平均增长率为x，则x满足的方程是（A．2x=5.6%C．1+x2=【答案】D【详解】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据平均增长率的方程建立，需理解连续两年的实际增长率与平均增长率的关系，应用复利增长模型．【分析】解：设若两年的平均增长率为x，2022年的GDP为a，则2023年的GDP为a(1+5.6%)，2024年的GDP为a(1+5.6%)(1+7.0故选D．3．某城市为申办冬奥会，决定改善城市容貌，计划用两年时间，使绿地面积增加44%，这两年平均每年绿地面积的增长率是．【答案】20%【分析】本题考查了一元二次方程解决增长率问题，解题关键是列出方程求解．设每年的增长率为r，根据“计划用两年时间，使绿地面积增加44%”列出方程求解．【详解】解：设每年的增长率为r，则(1+r解得：r=-2.2(舍去），或r即这两年平均每年绿地面积的增长率是20%，故答案为：20%．4．竹溪梅子贡茶是一种著名的中国绿茶．某茶园从2022年到2024年茶叶产量从1500kg增长到1815kg，则茶叶产量从2022年到2024年平均每年增长率为【答案】10%【分析】本题主要考查一元二次方程的实际应用，解题关键是找准等量关系．先设平均每年增长率为x，再根据“某茶园从2022年到2024年茶叶产量从1500kg增长到1815kg【详解】解：设平均每年增长率为x，则可列式15001+解得x=10%故答案为：10%．5．宝鸡辣椒身条细长、皱纹均匀、肉质丰厚、色泽红亮、辣味佳美，在国内外市场，被誉为“椒中之王”．某辣椒种植基地2022年的单位面积产椒量为50千克，因为改进了种植技术，单位面积产椒量逐年增加，到2024年该基地的单位面积产椒量达到了72千克．请你计算该基地这两年单位面积产椒量的年平均增长率．【答案】20【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键．设该基地这两年单位面积产椒量的年平均增长率为x，根据题意列出方程即可求解．【详解】解：设该基地这两年单位面积产椒量的年平均增长率为x，由题意得，501+解得：x1=0.2=20%答：该基地这两年单位面积产椒量的年平均增长率为20%6．刘师傅开了一家商店，今年2月份盈利6400元．4月份的盈利达到8100元，且从2月到4月，每个月盈利的增长率相同．(1)求每个月盈利的增长率；(2)按照这个增长率，请你估计这家商店5月份的盈利将达到多少元．【答案】(1)每个月盈利的增长率为12.5(2)按照这个增长率，估计这家商店5月份的盈利将达到9112.5元【分析】（1）设每个月盈利的增长率为x，根据题意列出一元二次方程64001+（2）由第一问所求增长率即可求解．【详解】（1）解：设每个月盈利的增长率为x，依题意得：64001+解得：x1=0.125=12.5%答：每个月盈利的增长率为12.5%（2）解：8100×1+12.5答：按照这个增长率，估计这家商店5月份的盈利将达到9112.5元．【点睛】本题考查一元二次方程中的增长率问题．正确理解题意是解题关键．题型四与图形有关的问题1．如图，一农户要建一个长方形羊舍，羊舍的一边利用长18m的住房墙，另外三边用34m长的栅栏围成，为方便进出，在垂直于墙的一边留一个宽2m的木门，当羊舍的面积是160m2时，设所围的羊舍与墙平行的边长为A．x34-2-2x=160C．34-2-x2⋅【答案】D【分析】本题考查从实际问题抽象出一元二次方程，找出等量关系是解答本题的关键．设所围的羊舍与墙平行的边长为xm【详解】解：设所围的羊舍与墙平行的边长为xm，则长方形的宽为34+2-根据题意可得方程为：34+2-x故选：D．2．春意复苏，某地绿化工程正在如火如荼地进行着．某工程队计划将一块长64m，宽40m的矩形场地建设成绿化广场．如图，广场内部修建三条宽度相等的小路，其余区域进行绿化．若使绿化区域的面积为广场总面积的80%，求小路的宽．设小路的宽为xm，则可列方程为

A．64-2x40-xC．64x+2×40x【答案】A【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是正确理解题意，将不规则图形变成规则图形，从而找出等量关系，正确列出方程．设小路的宽为xm，根据矩形的面积公式（将绿化区域合成矩形），进而即可列出关于x【详解】解：设小路的宽为xm，则绿化区域的长为64-2xm根据题意，得64-2故选：A．3．若一个正方形的面积比它的周长在数值上大45，则此正方形的面积为．【答案】81【分析】本题考查一元二次方程的知识，解题的关键是设正方形的边长为a，根据题意，则a2-4【详解】解：设正方形的边长为a，∴a2∴a-解得：a1=-5（舍），∴正方形的边长为9，∴正方形的面积为92故答案为：81．4．公元9世纪，阿拉伯数学家花拉子米在其著作《代数学》中提到图解一元二次方程的方法：如图，先构造边长为x的正方形ABCD，再分别以BC，CD为一条边作邻边长为5的矩形BEFC和矩形CDHP，最后得到面积为64的正方形AEGH．则能列出关于x的一元二次方程是．（化为一般形式）【答案】x【分析】本题考查了解一元二次方程和列方程，能根据题意列出方程是解此题的关键．根据正方形的面积得出方程，再整理即可．【详解】解：∵四边形AEGH是面积为64的正方形，∴x+5整理得：x2故答案为：x25．阅读下面的材料并完成解答．《田亩比类乘除捷法》是我国南宋数学家杨辉的著作，其中记载了这样一个数学问题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，欲先求阔步，得几何？”意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽之和为60步，问它的宽是多少步？书中记载了这个问题的几何解法：

(1)将四个完全相同的面积为864平方步的矩形，按如图所示的方式拼成一个大正方形，则大正方形的边长为______步；(2)中间小正方形的面积为______平方步；(3)若设矩形田地的宽为x步，则小正方形的面积可用含x的代数式表示为______；(4)由（2）（3）可得关于x的方程______，进而解得矩形田地的宽为24步．【答案】(1)60(2)144(3)60-2(4)60-2【分析】本题主要考查了列代数式，一元二次方程的应用：（1）根据图形可得，大正方形的边长是由一个矩形的宽和长组成即可求解；（2）先求得大正方形的面积，再减去四个矩形的面积即可求解；（3）设矩形田地的宽为x步，则长为60-x（4）由②③求得小正方形的面积相等即可得出方程．【详解】（1）解：∵矩形田地的面积为864平方步，它的长与宽之和为60步，∴大正方形的边长为60步；故答案为：60（2）解：中间小正方形的面积为602故答案为：144（3）解：设矩形田地的宽为x步，则长为60-x∴小正方形的边长为60-x∴小正方形的面积为60-2x（4）解：由②③可得关于x的方程：60-2x∴x1=24,x2=36∴x=24答：矩形田地的宽为24步．题型五营销问题1．某商场销售某种纪念品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为扩大销售，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，纪念品的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件．如果降价后商场销售这批纪念品每天盈利1250元，那么纪念品的单价降了多少元？设纪念品的单价降了x元，则x满足的方程为（）A．20+x40-2xC．20+2x40-x【答案】C【分析】本题考查了列一元二次方程，找准等量关系是解题关键．设纪念品的单价降了x元，则每件盈利40-x元，平均每天可售出20+2x件，根据每天盈利=平均每天的销售量【详解】解：设纪念品的单价降了x元，则每件盈利40-x元，平均每天可售出20+2∵降价后商场销售这批纪念品每天盈利1250元，∴可列方程为20+2x故选：C．2．山西垣曲县的菖蒲酒，远在汉代就已名噪酒坛，为历代帝王将相所喜爱，被列为历代御膳香醪．菖蒲酒之所以珍贵，主要在于它采用了当地特产“九节菖蒲”这种名贵中药材．近年来，受旅游业以及民众养生意识的影响，菖蒲酒在市场上的销量逐年增长．已知某代销商2020年售出蒲酒500瓶，2022年售出菖蒲酒720瓶，若设这两年菖蒲酒销量的年平均增长率为a%，则可列方程为（

A．500(1+a%)=720C．500(1-a%)=720【答案】D【分析】本题考查根据实际情况列一元二次方程，年平均增长率为a%，则2021年与2020年的销量比为1+a%，2022年与2021【详解】解：由题意知，2021年销量为5001+a%，2022因此5001+故选D．3．某商店经销一批小家电，每个小家电成本为40元，经市场预测，每个小家电定价为50元时，可销售200个，每个小家电定价每增加1元，销售量将减少10个，且定价不得超过55元．如果商店进货后全部销售完，赚了2160元，那么该小家电每个定价是元．【答案】52【分析】本题考查了一元二次方程的应用（营销问题），读懂题意，根据题中的数量关系正确列出方程是解题的关键．设该小家电每个定价是x元，根据“每个利润×销量=总利润”可得x-40200-10×x-50=2160，解方程即可求出x【详解】解：设该小家电每个定价是x元，根据题意可得：x-整理，得：x2解得：x1=52，∵定价不得超过55元，∴x即：该小家电每个定价是52元，故答案为：52．4．燃放烟花爆竹是中国春节的传统民俗，在江北区一烟花爆竹销售点了解到，某种品牌的烟花2021除夕每箱进价100元，售价250元，销售量40箱．而2022年除夕当天和去年当天相比，该店的销售量下降了4a%（a为正整数），每箱售价提高了a%，成本增加了50%，其销售利润仅为去年当天利润的50%【答案】10【分析】根据题意列出关系式，即可得出a的值，不符合题意的舍去．【详解】解：根据题意得：401-4整理得：1-4a即a+25解得：a=-25（舍去）或a故答案为：10．【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，，找出题中的等量关系是解答本题的关键．5．某种商品每件的进价为30元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出（100﹣x）件，商场计划要赚600元，则可列方程为．【答案】（x﹣30）（100﹣x）＝600．【分析】直接利用每件利润×销量＝600，进而得出等式求出答案．【详解】解：∵若以每件x元出售，可卖出（100﹣x）件，∴商场计划要赚600元，可列方程为：（x﹣30）（100﹣x）＝600．故答案为：（x﹣30）（100﹣x）＝600．【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，正确表示出每件利润是解题关键．6．江西南昌市某大型商场经市场调研发现：某品牌童装平均每周可售出60件，每件盈利80元．在每件降价幅度不超过25元的情况下，若每件童装每降价5元，则每周可多售出10件．(1)降价10元后，每件童装盈利是_____元，每周销售量是_____件；(2)要想每周销售这种童装盈利6000元，那么每件童装应降价多少元？【答案】(1)70；80(2)当每件童装应降价20元时，每周销售这种童装盈利6000元．【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，弄清题意，找准等量关系正确列出方程是解题的关键．（1）根据题意求出降价后的盈利，再求出每周的销售量即可；（2）设每件童装应降价x元，根据题中等量关系列出方程进行求解即可．【详解】（1）解：降价10元后，每件童装盈利是：80-10=70（元），每周销售量是：60+10故答案为：70，80．（2）解：设每件童装应降价x元，根据题意得：80-x60+x解得：x1=20，答：每件童装应降价20元．7．某汽车销售公司8月份销售某厂家的汽车．在一定范围内，每辆汽车的进价与销售量有如下关系：若当月仅售出1辆汽车，则该辆汽车的进价为27万元；每多售出1辆，所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/辆．月底厂家一次性返利给销售公司，每辆返还0.5万元．(1)若该公司当月售出5辆汽车，则每辆汽车的进价为____万元；(2)如果汽车的售价为28万元/辆，该公司计划当月盈利24万元，那么需要售出多少辆汽车？（盈利=销售利润+返利）【答案】(1)26.6(2)10【分析】（1）每多售出1辆，所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/辆，该公司当月售出5辆汽车，由此即可求解；（2）设需要售出x辆汽车，则每天车的进价为27-0.1(x-1)，根据盈利=【详解】（1）解：27-0.1×(5-1)=26.6（万元），故答案为：26.6．（2）解：设需要售出x辆汽车，∴28-27-0.1(整理得，x2解方程得，x1=-24（不符合题意，舍去），∴需要售出10辆汽车．【点睛】本题主要考查一元二次方程与实际问题的综合运用，理解题目的数量关系列方程式是解题的关键．题型六数字问题1．两个连续奇数的积为99，设较小的奇数为x，列方程为（

）A．xx+2=99 B．xx-2【答案】A【分析】两个连续的奇数相差2，据此即可建立方程【详解】解：∵较小的奇数为x∴较大的奇数为x故：x故选：A【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用．注意正确理解题意．2．连续两个整数的乘积为12，则这两个整数中较小的一个是（）A．3 B．﹣4 C．﹣3或4 D．﹣4或3【答案】D【分析】设这两个整数中较小的一个是x，则较大的一个是（x+1），根据两数之积为12，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．【详解】解：设这两个整数中较小的一个是x，则较大的一个是（x+1），根据题意得：x（x+1）＝12，解得：x1＝3，x2＝﹣4．故选D．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．3．一个两位数，个位数字比十位数字少1，且个位数字与十位数字的乘积等于72，若设个位数字为x，列出方程为．【答案】x【分析】设个位数字为x，则十位数字为x+1，再由个位数字与十位数字的乘积等于72【详解】解：设个位数字为x，则十位数字为x+1由题意得xx故答案为：xx【点睛】本题主要考查了列一元二次方程，正确表示出这个两位数的十位数字是解题的关键．4．如果两个数的和是14，积是45，那么这两个数的差是．【答案】4【分析】设a+b=14，ab=45,根据完全平方公式求出a-b的平方，故可求解.【详解】设a+b=14，ab=45,∵(a-b∴a-b=4或-4，则这两个数的差是4，故填：4.【点睛】此题主要考查完全平方公式，解题的关键是数完全平方公式的变形.5．如图，根据小颖与某AI软件的对话，请你给出正确的答案．【答案】这个数是1【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确建立方程是解题关键．设这个数是x，根据题意建立方程x2【详解】解：设这个数是x，由题意得：x2整理得：x2解得x1答：这个数是1．题型七行程问题1．汽车在公路上行驶，它行驶的路程skm和时间ts之间的关系式为s=3t2A．10s B．103s C．4【答案】C【分析】此题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意把路程skm根据路程和时间之间的关系，将s=120代入求出t【详解】解：依题意得：120=3t整理得t2解得t1=-10(不合题意舍去)，即行驶120km需要4故选：C.2．在京珠高速公路上行驶着一辆时速为108千米的汽车，突然发现前面有情况，紧急刹车后又滑行30米才停车．刹车后汽车滑行10米时用了（）秒．A．23 B．3-33 C．6-【答案】D【分析】求滑行10米时用时，即有了距离求时间，则必须知道速度．这里的速度是从刹车到停止期间的平均速度，因此必须求出从刹车到停止用了多长时间以及每秒减速多少．这二者解决后，便可解答．【详解】解：时速108千米=30米/秒，设紧急刹车后又滑行30米需要时间为x秒，由平均速度×时间=路程得：30+02⋅x平均每秒减速=30-02=15设刹车后汽车滑行10米时用了t秒，依题意列方程：30+(30-15t)2⋅t=10，即∴x故选：D．【点睛】本题是匀减速运动的问题，速度应为平均速度，基本等量关系：平均速度×时间=路程．注意速度单位的转化和题目的问题相符．3．某辆汽车在公路上行驶，它行驶的路程s(m)和时间t(s)之间的关系为：s【答案】20【分析】汽车行驶的路程s（m）与时间t（s）之间的函数关系是：s=10t+3t2，可以根据这个关系式，把s=200m代入关系式求得时间t即可．【详解】依题意：10t+3t2=200，整理得3t2+10t−200=0，解得t1=−10(不合题意舍去)，t2=203即行驶200m需要203s故答案为20【点睛】考查一元二次方程的应用，读懂题目，根据题目列出方程是解题的关键．4．新疆阿勒泰有“中国雪都”之称，很多滑雪爱好者都到将军山滑雪场滑雪．已知滑行距离S（单位：m）与滑行时间t（单位：s）之间的关系是S=2.5t2+2t．若某滑雪者在山坡上的出发点和终点的距离是【答案】8【分析】本题考查了一元二次方程的应用；根据滑行距离与时间的关系式，将已知距离代入方程，解一元二次方程求时间．【详解】解：由题意，滑行距离S与时间t的关系为S=2.5当S=176时，有2.5整理得2.5t为方便计算，方程两边同乘2，得5tΔ=因为7056=84所以t=解得t1=80由于时间不能为负数，故t=8故答案为8．5．l1是一条东西方向的道路，l2是一条南北方向的道路，这两条道路相交于点O．小明和小丽分别从十字路口O点处同时出发，小丽沿着l1以4千米/时的速度由西向东前进，小明沿着l2以5千米/时的速度由南向北前进，有一棵百年古树位于图中点P处，古树与l1、l【答案】149【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．根据题意，假设小明看作点A，小丽看作点B，再过P分别作l1、l2的垂线，两人与这棵古树的距离恰好相等，也就是PA=【详解】解：设两人离开路口时间为t，小明看作点A，小丽看作点B，∴OA=5t两人与这棵古树的距离恰好相等，则PA∴根据题意P处与l1、l2的距离分别为3千米和如图，过点P作PN∴PM=2在Rt△AMP中，P在Rt△BNP中，P∴5解得t1=0∴t答：离开路口后经过1496．在物理中，沿着一条直线且加速度不变的运动，叫做匀变速直线运动．在此运动过程中，每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，路程等于时间与平均速度的乘积．若一个小球以5米/秒的速度开始向前滚动，并且均匀减速，4秒后小球停止运动．(1)小球的滚动速度平均每秒减少多少？(2)小球滚动5米用了多少秒？（精确到0.1，2≈1.41，3【答案】(1)小球的滚动速度平均每秒减少1.25(2)小球滚动5m约用了1.2【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．（1）根据以5m/s的速度开始向前滚动，并且均匀减速，4（2）设小球滚动5m约用了x秒，由时间×速度=【详解】（1）解：小球的滚动速度平均每秒减少5÷4=1.25m/s答：小球的滚动速度平均每秒减少1.25m/s（2）解：设小球滚动5m约用了x秒，此时速度为5-1.25由题意得：x⋅整理得：x2解得：x=4-22或当x=4+22时，∴x答：小球滚动5m约用了1.2题型一工程问题1．全球疫情爆发时，口罩极度匮乏，中国许多企业都积极地生产口罩以应对疫情，经调查发现：1条口罩生产线最大产能是78000个/天，每增加1条生产线，每条生产线减少2000个/天，工厂的产线共x条（1）该工厂最大产能是_____个/天（用含x的代数式表示）．（2）若该工厂引进的生产线每天恰好能生产口702000个，该工厂引进了多少条生产线？【答案】（1）80000x-2000x2；（2【分析】（1）根据题意，根据代数式的性质计算，即可得到答案；（2）结合（1）的结论，列一元二次方程并求解，即可得到答案．【详解】（1）根据题意，得该工厂最大产能是：78000-2000x-1故答案为：80000x（2）根据题意，得80000x解得x1=27，∴该工厂引进了27条或13条生产线．2．某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售2250个，7月份销售3240个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题．(1)求该品牌头盔销售量的月增长率；(2)某工厂已建有一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是900个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天，现该厂要保证每天生产头盔3900个，应该增加几条生产线？【答案】(1)该品牌头盔销售量的月增长率为20(2)增加4条或25条生产线【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意列出相应的一元二次方程求解即可．（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据题意列出一元二次方程进行求解；（2）设增加x条生产线，根据条件列出一元二次方程求解，再根据要节省投入的条件下，确定解．【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x．依题意，得：22501+解得：x1=0.2=20%答：该品牌头盔销售量的月增长率为20%（2）解：设增加x条生产线．900-30x解得x1=4，答：增加4条或25条生产线．3．为了提升干线公路美化度，相关部门拟定派一个工程队对39000米的公路进行路面“白改黑”工程．该工程队计划使用一大一小两种型号设备交替的方式施工，原计划小型设备每小时铺设路面30米，大型设备每小时铺设路面60米．(1)由于小型设备工作效率较低，该工程队计划使用大型设备的时间比使用小型设备的时间多23(2)通过勘察、又新增了部分支线公路美化，结果此工程的实际施工里程比最初拟定的里程39000米多了9000米，于是在实际施工中，小型设备在铺设公路效率不变的情况下，使用时间比原计划增加了18m小时，同时，因为新增的工人操作大型设备不够熟练，使得比原计划每小时下降了m米，使用时间增加了150+2m小时，求m【答案】(1)300(2)5【分析】（1）设小型设备的使用时间为x小时，则大型设备的使用时间为1+2（2）由（1）得：大型设备的原来使用时间为300×53=500小时，根据题意可得小型设备的使用时间为300+18m小时，大型设备铺设公路每小时为【详解】（1）解：设小型设备的使用时间为x小时，则大型设备的使用时间为1+230x解得：x=300答：小型设备的使用时间为300小时；（2）解：由（1）得：大型设备的原来使用时间为300×5根据题意得：小型设备的使用时间为300+18m小时，大型设备铺设公路每小时为60-m米，大型设备的使用时间为∴30300+18整理得：m2解得：m1即m的值为5．4．甲、乙两工程队共同承建某高速铁路桥梁工程，计划每天各施工6米．已知甲乙每天施工所需成本共108万元．因地质情况不同，甲每合格完成1米桥梁施工成本比乙每合格完成1米的桥梁施工成本多2万元．(1)分别求出甲，乙每合格完成1米的桥梁施工成本；(2)实际施工开始后，甲每合格完成1米隧道施工成本增加16a万元，且每天多挖124a．乙每合格完成1米隧道施工成本增加13a万元，且每天多挖【答案】(1)甲每合格完成1米桥梁施工成本为10万元，乙每合格完成1米的桥梁施工成本为8万元(2)a的值为12【分析】（1）设乙每合格完成1米的桥梁施工成本为x万元，则甲每合格完成1米桥梁施工成本为(x（2）根据题意分别表示出甲、乙每天的实际工作量，实际成本，根据数量关系列方程即可求解．【详解】（1）解：设乙每合格完成1米的桥梁施工成本为x万元，则甲每合格完成1米桥梁施工成本为(x∴6x+6(x∴甲每合格完成1米桥梁施工成本为10万元，乙每合格完成1米的桥梁施工成本为8万元．（2）解：由（1）可知，甲每合格完成1米桥梁施工成本为10万元，乙每合格完成1米的桥梁施工成本为8万元，∴实际施工开始后，甲每合格完成1米隧道施工成本增加16a万元，则甲每合格完成1米实际成本为10+16a万元，且每天多挖124a，则甲每天实际完成量为6×1+124a=6+14a米，乙每合格完成∴10+16a×6+14∴a的值为12．题型二图表问题1．如图是今年某月的日历表，小欧用一个平行四边形，框出6个数字，其中最小数与最大数的积是264，求小欧框出的最小数．【答案】12【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据日历中的数字规律，确定最大数与最小数是解题的关键．设最小数为x，根据题意，得到最大数为x+10，列出方程为x【详解】设最小数为x，则最大数为x+10∴xx∴x2解得x1所以小欧框出的最小数是12．2．在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是2024年10月份的日历．我们任意选择其中所示的菱形框部分，将每个菱形框部分中去掉中间位置的数之后，相对的两对数分别相乘，再相减，例如：9×11-3×17=48，13×15-7×21=48．不难发现，结果都是48．(1)请证明发现的规律；(2)若用一个如图所示菱形框，再框出5个数字，其中最小数与最大数的积为435，求出这5个数中的最大数．【答案】(1)见解析(2)这5个数中最大数为29．【分析】本题考查一元二次方程的应用．（1）根据题目数据，设中间的数为a，则另外4个数可以用a的式子表示出来，即可列出算式进行证明；（2）设最大数为为x，则最小数为x-【详解】（1）证明：设中间的数为a，则另外4个数分别为a-7，a-1，∴a-（2）解：设这5个数中最大数为x，则最小数为x-依题意，得：xx解得：x1=29，答：这5个数中最大数为29．3．近年来，随着城市居民入住率的增加，污水处理问题成为城市的难题．某城市环境保护局协同自来水公司为鼓励居民节约用水，减少污水排放，规定：居民用水量每月不超过a吨时，只需交纳10元水费，如果超过a吨，除按10元收费外，超过部分，另按每吨5a元收取水费（水费＋污水处理费）．（1）某市区居民2018年3月份用水量为8吨，超过规定水量，用a的代数式表示该用户应交水费多少元；（2）下表是这户居民4月份和5月份的用水量和缴费情况；月份用水量（吨）交水费总金额（元）47705540根据上表数据，求规定用水量a的值．【答案】（1）用户应交水费10+40a﹣5a2元；（2）a的值为3．【详解】解：（1）3月份应交水费10+5a（8﹣a）＝（10+40a﹣5a2）元；（2）由题意得：5a（7﹣a）+10＝70，解得：a＝3或a＝45a（5﹣a）+10＝40解得：a＝3或a＝2，综上，规定用水量为3吨．则规定用水量a的值为3．4．近年来，随着城市居民入住率的增加，污水处理问题成为城市的难题．某城市环境保护局协同自来水公司为鼓励居民节约用水，减少污水排放，规定：居民用水量每月不超过a吨时，只需交纳10元水费，如果超过a吨，除按10元收费外，超过部分，另按每吨5a元收取水费（水费+污水处理费）．（1）某市区居民2018年3月份用水量为8吨，超过规定水量，用a的代数式表示该用户应交水费多少元；（2）下表是这户居民4月份和5月份的用水量和缴费情况；月份用水量（吨）交水费总金额（元）47705540根据上表数据，求规定用水量a的值．（3）结合当地水资源状况，谈谈如何开展水资源环境保护？如何节约用水？【答案】（1）10+40a-5a2元；（2）3吨；（3）见解析;【分析】（1）根据总费用=10+超出费用列出代数式即可；（2）根据题意分别列出5a（7-a）+10=70，5a（5-a）+10=40，取满足两个方程的a的值即为本题答案；（3）结合当地水资源状况，叙述合理即可；【详解】（1）3月份应交水费10+5a（8-a）=10+40a-5a2元；（2）由题意得：5a（7-a）+10=70，解得：a=3或a=45a（5-a）+10=40解得：a=3或a=2，综上，规定用水量为3吨；（3）既然我们的水资源比较缺乏，就要提高节水技术、防治水污染、植树造林．题型三动态几何问题1．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=8cm,BC=6cm，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动(移动方向如图所示)，点P的速度为1cm/s，点Q的速度为2cms，点QA．2s B．4s C．2s或6s D．6s【答案】A【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设出动点P，Q运动t秒，能使四边形APQC的面积为12cm2，用t分别表示出BP和【详解】解：根据题意，当运动时间为t秒时，AP=tcm则BP∵四边形APQC的面积为12cm∴S依题意得：12即12整理得：t2解得：t1=2当t=2时，BQ当t=6时，BQ则当四边形APQC的面积为12cm2时，点P运动的时间是故选：A2．如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=8cm，BC=6cm，动点P，Q分别从点A，B同时开始沿AB，BC运动（运动方向如图所示），点P的速度为1cm/s，点Q的速度为2cm/s，当点Q移动到点CA．12t8-t=12 B．2t【答案】D【分析】本题考查一元二次方程在几何图形中的应用，当运动t s时，BP=8-tcm，BQ=2t【详解】当运动ts时，AP=1⋅t=t∵S△∴12即t8-故选：D3．如图，机器人P从A点沿AB（长12m）以3m/s向B移动，机器人Q从B点沿BC（长9m）以2m/s向C移动，当△

【答案】1或3【详解】解：由题意得：AP=3则BP=∵△PBQ的面积为两机器人协作区域△ABC的面积的∴12即12-3t整理得：t2解得：t1故答案为：1或3．4．如图所示，在矩形ABCD中，AB=16cm，BC=24cm，点P从点D出发沿DA以3cm/s的速度向点A移动，到达点A然后停止；点Q从点B出发以1cm/s的速度向点C移动，且点【答案】3秒【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．作PH⊥BC，垂足为H，设运动时间为t秒，用t表示线段【详解】解：设P，Q两点从出发经过t秒时，P、Q两点之间的距离是20cm，作PH⊥BC，垂足为H则PH=AB=16cm，∵PH2+∴24-4t2解得：t1=3,t2=9答：经过3秒时，点P、Q两点之间的距离是20cm5．如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB=16cm，AD=6cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达B(1)P、Q两点从出发开始到几秒时，四边形PBCQ的面积为33cm(2)P、Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q的距离第一次是10cm【答案】(1)5秒(2)从出发到85秒时，点P和点Q的距离第一次是10【分析】本题主要考查动点问题，一元一次与一元二次方程的应用，勾股定理；（1）设P、Q两点从出发开始到x秒满足条件，则PB=16-3x（2）设P，Q两点从出发经过t秒时满足条件，作QE⊥AB，垂足为E，则PA=3【详解】（1）解：设P、Q两点从出发开始到x秒时四边形PBCQ的面积为33cm则PB=16-3x根据梯形的面积公式得12解之得x=5答：P、Q两点从出发开始到5秒时四边形PBCQ的面积为33cm（2）解：设P，Q两点从出发经过t秒时，点P，Q间的距离是10cm作QE⊥AB，垂足为E，则∵PA=3∴PE=由勾股定理，得16-5t解得t1答：从出发到85秒时，点P和点Q的距离第一次是10题型四一元一次方程与一元二次方程的综合应用1．某工程队采用A，B两种设备同时对长度为3600米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则30小时恰好完成改造任务．(1)求A型设备每小时铺设的路面长度；(2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的3600米多了750米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了m+25小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了3m米，而使用时间增加了m小时，求m【答案】(1)A型设备每小时铺设的路面长度为90米(2)m的值为10【分析】（1）设B型设备每小时铺设路面x米，则A型设备每小时铺设路面2x（2）根据“A型设备铺设的路面长度+B型设备铺设的路面长度=3600+750”【详解】（1）解：设B型设备每小时铺设路面x米，则A型设备每小时铺设路面2x根据题意得，30x解得：x=30则2x答：A型设备每小时铺设的路面长度为90米；（2）根据题意得，3030+整理得，m2解得：m1=10，∴m的值为10．【点睛】本题主要考查一元一次方程、一元二次方程的应用，解题关键是读懂题意，找准等量关系并列出方程．2．某市创建“绿色发展模范城市”，针对境内长江段两种主要污染源：生活污水和沿江工厂污染物排放，分别用“生活污水集中处理”(下称甲方案)和“沿江工厂转型升级”(下称乙方案)进行治理，若江水污染指数记为Q，沿江工厂用乙方案进行一次性治理(当年完工)，从当年开始，所治理的每家工厂一年降低的Q值都以平均值n计算，第一年有40家工厂用乙方案治理，共使Q值降低了12．经过三年治理，境内长江水质明显改善．（1）求的n值；（2）从第二年起，每年用乙方案新治理的工厂数量比上一年都增加相同的百分数m，三年来用乙方案治理的工厂数量共190家，求m的值，并计算第二年用乙方案新治理的工厂数量；【答案】（1）n=0.3；（2）m=1【分析】（1）直接利用第一年有40家工厂用乙方案治理，共使Q值降低了12，列出关于n的一元一次等式，从而求出答案；（2）从第二年起，每年用乙方案新治理的工厂数量比上一年都增加相同的百分数m，三年来用乙方案治理的工厂数量共190家，列出关于m的一元二次等式，从而求出m及第二年用乙方案新治理的工厂数量．【详解】解：(1)由题意可得：40n解得n=0.3(2)由题意可得：40+40(m解得：m1=1∴第二年用乙方案新治理的工厂数量为：401+【点睛】本题主要考查了一元一次方程和一元二次方程的实际应用，解题的关键是要读懂题目的意思，根据所给条件，找出合适的等量关系，列出方程从而求解．3．小明锻炼健身，从A地匀速步行到B地用时25分钟．若返回时，发现走一小路可使A、B两地间路程缩短200米，便抄小路以原速返回，结果比去时少用2.5分钟．(1)求返回时A、B两地间的路程；(2)若小明从A地步行到B地后，以跑步形式继续前进到C地（整个锻炼过程不休息）．据测试，在他整个锻炼过程的前30分钟（含第30分钟），步行平均每分钟消耗热量6卡路里，跑步平均每分钟消耗热量10卡路里；锻炼超过30分钟后，每多跑步1分钟，多跑的总时间内平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里．测试结果，在整个锻炼过程中小明共消耗904卡路里热量．问：小明从A地到C地共锻炼多少分钟．【答案】(1)1800米(2)52分钟【分析】本题考查一元一次方程，一元二次方程的应用．（1）可设返回时AB两地之间的距离为x米，根据两种步行方案的速度相等，列出方程即可求解；（2）可设从A地到C地一共锻炼时间为y分钟，根据在整个锻炼过程中小明共消耗904卡路里热量，列出方程即可求解．【详解】（1）解：设返回时A，B两地间的路程为x米，由题意得：x+200解得x=1800答：返回时A、B两地间的路程为1800米；（2）解：设小明从A地到C地共锻炼了y分钟，由题意得：25×6+5×10+10+y整理得y2解得y1=52，y答：小明从A地到C地共锻炼52分钟．4．如图，钢球从斜面A顶端M由静止开始沿斜面滚下，速度每秒增加2m/s(1)设vt（单位：ms）是滚动时间t（单位：s）时的速度，t和t（秒）0123…vt（米/02ab…由题意可知：a=______，b=(2)若斜面A的坡面MN长为16m，此钢球由静止开始从顶端M滚到底端N①求钢球在此运动中滚动的时间；②当此钢球滚动到N处时，由于惯性作用，又沿斜面B向上滚动，速度每秒减少1.6m/s．若斜面B的坡面足够长，此钢球最多离N处多远就会返回往下滚？（友情提示：路程s=平均速度v×运动时间t，v=【答案】(1)4；6(2)①4秒；②20米【分析】本题主要查了一元二次方程的应用：（1）根据速度每秒增加2m/s（2）①设此钢球由静止开始从顶端M滚到底端N需经过t秒，则到N处时钢球速度为2t米/秒，据题意列方程，即可求解；②设钢球滚动x秒就会返回往下滚，则往回滚时速度为0米/秒，由题意可知钢球到N处时速度为8米/【详解】（1）解：a=2+2=4,故答案为：4；6（2）解：①设此钢球由静止开始从顶端M滚到底端N需经过t秒，则到N处时钢球速度为2t米/0+2t2⋅∵t>0∴t=4答：设此钢球由静止开始从顶端M滚到底端N需经过4秒；②设钢球滚动x秒就会返回往下滚，则往回滚时速度为0米/秒，由题意可知钢球到N处时速度为8米/秒，∴8-1.6t解得：t=5则8+02答：钢球最多离N处20米就会返回往下滚．题型五分式方程与一元二次方程的综合应用1．2020年春以来，在党和政府的领导下，我国人民进行了一场抗击“新型冠状病毒”战役．为了控制疫情的蔓延，某卫生材料厂接到上级下达赶制19.2万只“医用口罩”的任务，为使口罩早日到达防疫第一线，工厂开工后每天比原计划多加工0.4万只，结果提前4天完成任务．请问该厂原计划每天加工多少万只口罩？【答案】1.2万【分析】求的是原计划的工效，工作总量明显，一定是根据工作时间来列等量关系，本题的关键描述语是：提前4天完成任务，等量关系为：原计划所用时间﹣实际所用时间＝4，列出方程可求解．【详解】解：设原计划每天加工x万只口罩，根据题意，得19.2x-19.2整理，得x2+0.4x﹣1.92＝0，解得x1＝1.2，x2＝﹣1.6，经检验可知x1，x2都是原方程的解，因x2＜0不合题意，应舍去．答：该厂原计划每天加工1.2万只口罩．【点睛】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．2．问题：“某工程队准备修建一条长3000米的下水管道，由于采用新的施工方式，________________，提前2天完成任务，求原计划每天修建下水管道的长度？”条件：（1）实际每天修建的长度比原计划多25%（2）原计划每天修建的长度比实际少75米．在上述的2个条件中选择1个________________（仅填序号）补充在问题的横线上，并完成解答．【答案】选（1）或（2）；选（1）原计划每天修建下水管道的长度为300米；选（2）原计划每天修建下水管道的长度为300米【分析】选择（1）时，设原计划每天修建x米，则实际每天修建1+25%x米，根据提前2天完成这一任务，即可得出关于选择（2）时，设原计划每天修建盲道x米，则实际每天修建x+75米，根据提前2天完成这一任务，即可得出关于y【详解】选（1）或（2）（1）解：设原计划每天修建下水管道的长度为x米3000x经检验：x=300答：原计划每天修建下水管道的长度为300米．（2）解：设原计划每天修建下水管道的长度为x米3000x1经检验：x=300答：原计划每天修建下水管道的长度为300米．【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．3．列方程解下列问题：甲、乙两人加工生产同种零件．甲每小时比乙多生产10个，甲生产120个该种零件的时间与乙生产100个该种零件的时间相同．(1)求甲、乙两人每小时各生产多少个零件？(2)由于市场需求量大幅增加，该厂更换了生产设备．更换设备后，甲每小时生产的零件数量比原来增长了5m%，乙每小时比原来多生产m个零件，甲、乙两人同时工作m小时共可以生产1500个零件，求【答案】(1)甲每小时生产60个零件，则乙每小时生产50个零件(2)10【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元二次方程的实际应用，根据题意，得到等量关系是解题的关键．（1）设甲每小时生产x个零件，则乙每小时生产x-10个零件，根据“甲生产120个该种零件的时间与乙生产100个该种零件的时间相同．（2）先求出更换设备后，甲每小时生产的零件数量为60+60×5m%=60+3m，乙每小时生产50+m个零件，根据“甲、乙两人同时工作【详解】（1）解：设甲每小时生产x个零件，则乙每小时生产x-120x解得：x=60经检验，x=60是原方程的解，且符合题意，此时x答：甲每小时生产60个零件，则乙每小时生产50个零件；（2）解：更换设备后，甲每小时生产的零件数量为60+60×5m%=60+3m整理得：2m解得：m1即m的值为10．4．某青年党支部在精准扶贫活动中，给结对帮扶的贫困家庭赠送甲、乙两种树苗让其栽种．已知乙种树苗的价格比甲种树苗的价格少2元，用2400元购买乙种树苗的数量恰好是用4800元购买甲种树苗的数量的58(1)求甲、乙两种树苗每棵的价格各是多少元；(2)在实际帮扶中，他们决定再次购买甲、乙两种树苗，购买甲种树苗的数量与第一次相同，购买乙种树苗的数量比第一次多5m棵，而甲种树苗和乙种树苗均有涨价，甲种树苗的价格比第一次购买时的价格高m4元，乙种树苗的价格比第一次购买时的价格高m6元，最终发现第二次购买两种树苗的总费用比第一次购买两种树苗的总费用高220【答案】(1)10元；8元(2)12【分析】本题考查了分式的应用，一元二次方程的应用；（1）设甲种树苗每棵的价格是x元，则乙种树苗每棵的价格是x-（2）根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解．【详解】（1）解：设甲种树苗每棵的价格是x元，则乙种树苗每棵的价格是x-由题意得：2400x解得：x=10经检验，x=10∴x答：甲种树苗每棵的价格是10元，乙种树苗每棵的价格是8元；（2）解：由（1）可知，2400÷8=300(棵)，4800÷10=480(棵)，由题意得：480(10+m整理得：m2解得：m1=12，m2答：m的值为12．5．某市总预算亿元用三年时间建成一条轨道交通线.轨道交通线由线路敷设、搬迁安置、辅助配套三项工程组成.从2015年开始，市政府在每年年初分别对三项工程进行不同数额的投资.2015年年初，对线路敷设、搬迁安置的投资分别是辅助配套投资的2倍、4倍.随后两年，线路敷设投资每年都增加亿元，预计线路敷设三年总投资为54亿元时会顺利如期完工；搬迁安置投资从2016年初开始遂年按同一百分数递减，依此规律，在2017年年初只需投资5亿元，即可顺利如期完工；辅助配套工程在2016年年初的投资在前一年基础上的增长率是线路敷设2016年投资增长率的1.5倍，2017年年初的投资比该项工程前两年投资的总和还多4亿元，若这样，辅助配套工程也可以如期完工.经测算，这三年的线路敷设、辅助配套工程的总投资资金之比达到3:2.（1）这三年用于辅助配套的投资将达到多少亿元？（2）市政府2015年年初对三项工程的总投资是多少亿元？（3）求搬迁安置投资逐年递减的百分数.【答案】（1）36；（2）35亿元；（3）50%【分析】（1）由线路敷设三年总投资为54亿元及这三年的线路敷设、辅助配套工程的总投资资金之比达到3：2，可得答案．（2）设2015年年初，对辅助配套的投资为x亿元，则线路敷设的投资为2x亿元，搬迁安置的投资是4x亿元，根据“线路敷设三年总投资为54亿元、辅助配套三年的总投资为36亿元”列方程组，解之求得x、b的值可得答案．（3）由x=5得出2015年初搬迁安置的投资为20亿元，设从2016年初开始，搬迁安置投资逐年递减的百分数为y，根据“2017年年初搬迁安置的为投资5亿”列方程求解可得．【详解】解：（1）三年用于辅助配套的投资将达到54×23=36（2）设2015年年初，对辅助配套的投资为x亿元，则线路敷设的投资为2x亿元，搬迁安置的投资是4x亿元，根据题意，得：2x解得：x=5∴市政府2015年年初对三项工程的总投资是7x=35亿元；（3）由x=5得，2015年初搬迁安置的投资为20亿元，设从2016年初开始，搬迁安置投资逐年递减的百分数为y，由题意，得：20（1﹣y）2=5，解得：y1=0.5，y2=1.5（舍）答：搬迁安置投资逐年递减的百分数为50%．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，分式方程的应用，找准等量关系，列出方程是关键.题型六一元一次不等式与一元二次方程的综合应用1．在我国，端午节作为传统佳节，历来有吃粽子的习俗．某食品加工厂拥有A，B两条不同的粽子生产线，A生产线每小时加工粽子400个，B生产线每小时加工粽子500个．(1)若生产线A，B一共加工11小时，且生产粽子总数量不少于5000个，则B生产线至少加工多少小时？(2)原计划A，B生产线每天均工作8小时．由于改进了生产工艺，在实际生产过程中，A生产线每小时比原计划多生产100a个（a>0），B生产线每小时比原计划多生产100个．若A生产线每天比原计划少工作2a小时，B生产线每天比原计划少工作a小时，这样一天恰好生产粽子6000【答案】(1)B生产线至少加工6小时(2)a的值为2【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用、一元二次方程的应用．解决本题的关键是根据题目中所给的数量关系列出不等式和方程求解．1设B生产线加工x小时，则A生产线加工(11-x)小时，根据生产线A，B一共加工11小时，且生产粽子总数量不少于2根据一天恰好生产了6000个粽子，可列关于a的一元二次方程，解方程即可求出a的值．【详解】（1）解：设B生产线加工x小时，则A生产线加工(11-x根据题意可得：500x+400(11-解得：x答：B生产线至少加工6小时；（2）解：由题意可得：(400+100a)(8-2整理得：a2+3解得a1=2，a答：a的值为2．2．甲、乙两工程队共同承建某高速铁路桥梁工程，桥梁总长5000米．甲，乙分别从桥梁两端向中间施工．计划每天各施工5米，因地质情况不同，两支队伍每合格完成1米桥梁施工所需成本不一样．甲每合格完成1米桥梁施工成本为10万元，乙每合格完成1米桥梁施工成本为12万．(1)若工程结算时，乙总施工成本不低于甲总施工成本的65(2)实际施工开始后，因地质情况及实际条件比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化，甲每合格完成1米隧道施工成本增加a万元时，则每天可多挖16a米．乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖29a米．若最终每天实际总成本在少于150万的情况下比计划多【答案】(1)甲最多施工2500米(2)a的值为6【分析】（1）设甲工程队施工x米，则乙工程队施工（5000-x）米，由工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的65，即可得出关于x（2）根据总成本=每米施工成本×每天施工的长度结合甲每合格完成1米隧道施工成本增加a万元时，则每天可多挖16a米．乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖29【详解】（1）解：设甲工程队施工x米，则乙工程队施工（5000-x）米，依题意，得：12（5000-x）≥65×10x解得：x≤2500，答：甲最多施工2500米．（2）依题意，得：10+a5+整理，得：a2解得：a1=12，当a1=12时，总成本为：∵182＞∴a1当a2=6时，总成本为：∵140＜∴a2答：a的值为6．【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．3．城开高速公路即重庆市城口县至开州区的高速公路，是国家高速G69银百高速公路（银川至百色）的一段，线路全长129.3公里，甲、乙两工程队共同承建该高速公路某隧道工程，隧道总长2100米，甲、乙分别从隧道两端向中间施工，计划每天各施工6米．因地质结构不同，两支队伍每合格完成1米隧道施工所需成本不一样．甲每合格完成1米隧道施工成本为8万元；乙每合格完成1米隧道施工成本为9万元．(1)若工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的32(2)实际施工开始后地质情况比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化．甲每合格完成1米隧道施工成本增加m万元时，则每天可多挖m2米，乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖m3米，若最终每天实际总成本比计划多9m【答案】(1)甲最多施工900米(2)m的值为2【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用、一元二次方程的应用等知识点，审清题意、弄清量之间的关系、正确列出不等式和方程是解题的关键．（1）设甲工程队施工x米，则乙工程队施工2000-x米，根据不等关系“工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的32”列出关于（2）根据“最终每天实际总成本比计划多9m-2万元”【详解】（1）解：设甲施工x米，由题意可得：92100-解得：x≤900答：甲最多施工900米．（2）解：由题意可得：8+m整理得m2解得m1答：m的值为2．4．为保护人类赖以生存的生态环境，中国植树节定于每年的3月12日，通过立法确定的节日．今年3月某县举办了大型植树活动，现有相邻的A、B两个社区计划共种树78棵，已知A社区每天可以种植6棵树，B社区每天可以种植12棵树．（1）由于人员调动，要求B社区种植天数至少是A社区种植天数的123倍，当种植结束时，（2）A、B两个社区种植一棵树的所需费用分别为500元和750元，在（1）问A社区最多种植天数基础上，B社区最少种植了5天．在实际种植过程中，社区决定加大投入，种更多的树，总费用共投入67500元，A社区每天种植棵数不变，种植天数比（1）问中A社区最多天数多5a%；B社区每为种植棵数下降a%，种植天数比（1）问中B社区最少种植天数多1【答案】（1）A社区至多种植3天；（2）a的值为40【分析】（1）设A社区种植x棵树，则B社区种植（78-x）棵树，根据B社区种植天数至少是A社区种植天数的123倍，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，进而可得出（2）根据投入的总费用=种植每棵树所需费用×植树棵树，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【详解】解：（1）设A社区种植x棵树，则B社区种植（78-x）棵树，依题意得：78-x解得：x≤18，∴x6≤3答：A社区至多种植3天；（2）依题意得：500×6×3（1+5a%）+750×12（1-a%）×5[1+（12a+30）%]=67500整理得：2.25a2-90a=0解得：a1=0（不合题意，舍去），a2答：a的值为40．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．题型七二元一次方程组与一元二次方程的综合应用1．由于疫情反弹，某地区开展了连续全员核酸检测，9月7日，医院派出13名医护人员到一个大型小区设置了A、B两个采样点进行核酸采样，当天共采样9220份，已知A点平均每人采样720份，B点平均每人采样700份．(1)求A、B两点各有多少名医护人员？(2)9月8日，医院继续派出这13名医护人员前往这个小区进行核酸采样，这天，社区组织者将附近数个商户也纳入这个小区采样范围，同时重新规划，决定从B点抽调部分医护人员到A点经调查发现，B点每减少1名医护人员，人均采样量增加10份，A点人均采样量不变，最后当天共采样9360份，求从B点抽调了多少名医护人员到A点？【答案】(1)A检测队有6人，B检测队有7人(2)从B检测队中抽调了2人到A检测队【分析】（1）设A点有x名医护人员，B点有y名医护人员，根据“A、B两个采样点共13名医护人员，且当天共采样9220份”，即可得出关于x，y的且当天共采样9220份，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设从B点抽调了m名医护人员到A点，则B点平均每人采样700+10m份,根据重新规划后当天共采样9360份，即可得出关于m的一元_【详解】（1）解：设A检测队有x人，B检测队有y人，依题意得：x+y答：A检测队有6人，B检测队有7人；（2）解：设从B检测队中抽调了m人到A检测队，则B检测队人均采样700+10m依题意得：7206+解得：m2-9m+14=0由于从B对抽调部分人到A检测队，则m<7故m答：从B检测队中抽调了2人到A检测队．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．2．“端午临中夏，时清日复长”．临近端午节，一网红门店接到一批3200袋粽子的订单，决定由甲、乙两组共同完成．已知甲组3天加工的粽子数比乙组2天加工的粽子数多300袋．两组同时开工，甲组原计划加工10天、乙组原计划加工8天就能完成订单．(1)求甲、乙两组平均每天各能加工多少袋粽子；(2)两组人员同时开工2天后，临时又增加了500袋的任务，甲组人员从第3天起提高了工作效率，乙组的工作效率不变．经估计，若甲组平均每天每多加工100袋粽子，则甲、乙两组就都比原计划提前1天完成任务．已知甲、乙两组加工的天数均为整数，求提高工作效率后，甲组平均每天能加工多少袋粽子？【答案】(1)甲、乙两组平均每天各能加工200袋、150袋粽子(2)400【分析】（1）设甲、乙两组平均每天各能加工x袋、y袋粽子，根据甲乙两个小组的工作情况列出二元一次方程组，从而解决问题．（2）根据“甲组平均每天每多加工100袋粽子，则甲、乙两组就都比原计划提前1天完成任务”，考虑设“甲组平均每天比原计划平均每天多加工100a袋粽子”【详解】（1）解：设甲、乙两组平均每天各能加工x袋、y袋粽子由题意得：10x+8y答：甲、乙两组平均每天各能加工200袋、150袋粽子．（2）解：设提高效率后，甲组平均每天比原计划平均每天多加工100a由题意得：2×(200+150)+(200+100整理得：2解得：a1=2，a又∵甲、乙两组加工的天数均为整数∴a∴200+100×2=400（袋）答：提高工作效率后，甲组平均每天能加工400袋粽子．3．城市露营成为一种新的周末生活方式．某公司向厂家购买了精英型帐篷和豪华型帐篷两种产品．已知购买3顶精英型帐篷和2顶豪华型帐篷成本为1650元，1顶精英型帐篷比1顶豪华型帐篷少450元．(1)求购进的精英型帐篷和豪华型帐篷的单价各是多少？(2)该公司准备将购进的精英型帐篷进行零售，经过市场调研发现，每顶精英型帐篷售价为200元时，每天销量为60顶，售价每降低1元每天可多售出5顶．该公司现决定对精英型帐篷进行降价销售，若降价m元，该公司每天销售精英型帐篷的利润为4400元，求精英型帐篷的售价．【答案】(1)每顶精英型帐篷成本为150元，豪华型帐篷的成本为600元．(2)精英型帐篷的售价为190元或172元．【详解】（1）解：设每顶精英型帐篷成本是x元，豪华型帐篷的成本分别是y元，根据题意得：3x解得x=150答：每顶精英型帐篷成本为150元，豪华型帐篷的成本为600元．（2）解：降价m元，该公司精英型帐篷每天的销量为60+5m由题意可得：200-150-m整理得：m2解得：m1=10，∴200-10=190或200-28=172，∴精英型帐篷的售价为190元或172元．题型五一次函数与一元二次方程的综合应用1．已知，一辆汽车在笔直的公路上刹车后，该车的速度v(米/秒)与时间t(秒

(1)求v与t之间的函数关系式；(2)已知汽车在该运动状态下，一段时间内向前滑行的距离等于这段时间内的平均速度乘以时间(该运动状态下的平均速度v=v1+v22，v1表示这段时间起始时刻的速度，v2表示这段时间结束时刻的速度【答案】(1)v(2)该车刹车后9秒内向前滑行了378米【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；（2）根据题意得出v=-2【详解】（1）解：将点4,44，12,12代入v=44=4k解得：b=60∴v与t之间的函数关系式为v=-4（2）解：依题意，v=v1+v2则v依题意，378=vt即-解得：t=9或t答：该车刹车后9秒内向前滑行了378米．2．小明在平整的草地上练习带球跑，他将球沿直线踢出后随即跟着球的方向跑去，追上球后，又将球踢出……球在草地上滚动时，速度变化情况相同，小明速度达到6m/s后保持匀速运动．下图记录了小明的速度v1m/s以及球的速度v2m/s随时间ts的变化而变化的情况，小明在4s(1)当0<t≤4时，求v2(2)求图中a的值；(3)小明每次踢球都能使球的速度瞬间增加6m/s，球运动方向不变，当小明带球跑完200m，写出小明踢球次数共有____次，并简要说明理由．【答案】(1)v(2)8(3)7，理由见解析【分析】（1）设v2关于t的函数关系式为v2=（2）先求出球前4秒的平均速度，再求出小明前a秒的平均速度和a秒后速度为6m/s，利用小明在（3）根据题意找到速度、时间、路程的变化规律，即可得到答案．【详解】（1）解：设v2关于t的函数关系式为v2=b=6解得k=-1∴v2关于t的函数关系式为v（2）解：对于球来说，v=小明前a秒的平均速度为v初+v末2由小明在4s时第一次追上球可得，3a解得a=即图中a的值为83（3）小明第一次踢球已经带球跑了16米，还需要跑200-16=184米，由（1）知，v2=-t+6，假设每次踢球t从v初=8m/ss=第二次踢后，则-12t2+8t=6v末第三次踢后，变化规律为v2v初=10m/ss=第三次追上，则-12t2+10t=6v末又开始下一个循环，故第四次踢球所需时间为4s，经过24故第五次踢球所需时间为8s，经过48米，故第六次踢球所需时间为4s，经过24故第七次踢球所需时间为8s，经过48米，∵16+24+48+24+48+24=184<20