第6章 一次方程组（教师版）-华东师大版(2024)七下

思维导图第6章一次方程组思维导图【类型覆盖】类型一、二元一次方程组的整数解【解惑】已知m为整数，关于x，y的二元一次方程组的解满足，则整数m的值为（

）A．2022 B．2023 C．2024 D．2025【答案】C【分析】本题考查解二元一次方程组，解不等式组，解题的关键是利用①②，求出，列出关于m的不等式组解题即可．【详解】解：，①②得：，即，∵，∴，解得，∴整数m的值为2024，故选C．【融会贯通】1．若关于x、y的方程组的解为整数，则满足条件的所有整数a的值的和为（

）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】B【分析】先把a看作已知数求出，然后结合方程组的解为整数即可求出a的值，进而可得答案．【详解】解：对方程组，②－①×2，得，∴，∵关于x、y的方程组的解为整数，∴，即，∴满足条件的所有a的值的和为．故选：B．【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，正确理解题意、熟练掌握解二元一次方程组的方法是解题关键．2．已知关于的方程组（1）若方程组的解满足，则．（2）若方程组的解中恰为整数，也为整数，．【答案】/或/或【分析】本题考查了二元一次方程组的解：（1）根据可得，代入求解即可；（2）利用加减消元法解关于x、y的方程组得到，利用有理数的整除性得到，从而得到满足条件的m的值．【详解】解：（1），，代入，得，解得，故答案为：；（2），①②得，解得：，为整数，也为整数，，或，故答案为：或．3．阅读下列材料，解答下面的问题：我们知道方程有无数个解，但在实际问题中往往只需求出其正整数解．例：由，得（x，y为正整数）．要使为正整数，则为正整数，可知：x为3的倍数，从而，代入．所以的正整数解为．问题：(1)请你直接写出方程的正整数解；(2)若为负整数，直接写出满足条件的整数x的值为；(3)若关于x，y的二元一次方程组的解是正整数，求出整数k的值，并求出此时方程组的解．【答案】(1)(2)0或(3)当时；当时【分析】本题主要考查了解二元一次方程组和解二元一次方程：（1）先移项，在把x的系数化为1，可得，再根据、为正整数，即可求解；（2）根据为负整数，，可得或或或，再根据x为整数即可得到答案；（3）先求出方程组的解为，再根据方程组的解是正整数，可得或，从而得到k取0或1，即可求解．【详解】（1）解：∵，∴，解得：，∵、为正整数，∴是3的倍数，且，∴只有，满足题意，∴方程的正整数解为；故答案为：；（2）解；∵为负整数，，∴或或或，解得或（舍去）或或（舍去）；故答案为：0或；（3）解：，得：，解得，把代入①得：，解得，∴方程组的解为∵关于x，y的二元一次方程组的解是正整数，∴都是正整数，∴当为正整数时，或或或；当为正整数数，或，∴只有当或时都是正整数，∴或，∴当时，；当时，。类型二、二元一次方程组的整体代入解法【解惑】若方程组的解是，则方程组的解是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值，仿照已知方程组的解确定出所求方程组x，y的关系，再联立解出x，y的值即可．【详解】解：∵方程组的解是，∴方程组的解为：，解得，故选：C．【融会贯通】1．若关于x、y的二元一次方程组的解为，则关于x、y的方程组的解为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查二元一次方程组的解和解二元一次方程组，解法一：由得到，设，，则，根据关于x、y的二元一次方程组的解为，得到，，求解即可，解法二：把，代入，得到，整体代入中，得到方程组，加减消元法解方程组即可．【详解】解：解法一：，∴，设，，∴，∵关于x、y的二元一次方程组的解为，∴，，解得：，∴原方程组的解集为：；解法二：把代入，得：，∵，∴，即：，，得：，∵方程组有解，∴，∴，把代入①，得：，解得：；∴方程组的解集为：；故选：C．2．关于，的二元一次方程组解为，则关于，的二元一次方程组的解为．【答案】【分析】本题主要考查二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解的定义是解决本题的关键．将第二个方程组中的分别作为一个整体，参照第一个方程组的解即可得到结果．【详解】解：根据题意可得，，解得．关于，的二元一次方程组的解为．故答案为：．3．数学方法：解方程组：，若设，，则原方程组可化为，解方程组得，所以，解方程组得，我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法．(1)直接填空：已知关于的二元一次方程组，的解为，那么关于的二元一次方程组的解为：．(2)知识迁移：请用这种方法解方程组．(3)拓展应用：已知关于的二元一次方程组的解为，求关于的方程组的解．【答案】(1)(2)(3)【分析】本题考查了用换元法解二元一次方程组，根据题目给出的示例，用换元法解二元一次方程组是解答本题的关键．（1）设，即可得到，解方程组即可求解；（2）设，则原方程组化为，解方程组即可求解；（3）设，则原方程组化为，，根据已知，可得，得到，即可得到答案．【详解】（1）解：设，则原方程组化为，∵关于的二元一次方程组的解为，∴，解得：，故答案为：；（2）解：设，则原方程组化为，解得，∴，解得；（3）解：设，则原方程组化为，整理得，∵关于的二元一次方程组的解为，∴，∴，∴．类型三、二元一次方程组的新定义运算【解惑】对于实数，定义新运算：，其中，为常数．已知，，则的值为（）A．14 B．15 C．13 D．11【答案】B【分析】本题主要考查了新定义和解二元一次方程组及代数式求值，解题关键是理解新定义的含义．根据已知条件和新定义，列出关于a，b的方程组，解方程组求出a，b，再代入求解即可．【详解】解：，化简为：得：，把代入②得：，，故选：B．【融会贯通】1．对于有理数x，y，定义新运算“”：，a，b为常数，若，则（

）A．41 B．42 C．43 D．44【答案】A【分析】此题考查了解二元一次方程组，以及有理数的混合运算原式利用题中的新定义计算即可得到结果．【详解】解：根据题中的新定义得：，得：，解得：，把代入①得：，∴∴，故选：A2．对于实数x，y，我们定义一种新运算（其中m，n均为非零常数），等式右边是通常的四则运算，例如．若，，则．【答案】11【分析】此题考查了解二元一次方程组，以及实数的运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．已知两等式利用题中的新定义化简，计算求出m与n的值，代入，再把代入计算即可求出值．【详解】∵，，∴根据题中的新运算，得解得∴，∴．故答案为：113．对实数，定义一种新运算，规定（其中，均为常数），例如：，．(1)求，的值；(2)求关于，的方程的正整数解．【答案】(1)；(2)．【分析】本题主要考查了新运算、二元一次方程组的解法、二元一次方程的正整数解，解决本题的关键是把规定的新运算转化为一般的方程组，通过解方程组求出字母的值．把和分别代入，可得关于、的二元一次方程组，解方程组求出、的值即可；由可知，可得：、，根据，可得关于、的方程组，整理可得，再根据、为正整数，分情况讨论确定于、的值即可．【详解】（1）解：根据题意可得：，，可得方程组:，得：，解得，把代入得：，解得：，方程组的解为：，的值为，的值为；（2）解：把，代入，可得：，，，原方程可化为，整理得：，，当时，，不符合题意，舍去；当时，，不符合题意，舍去；当时，；当时，为负数，不符合题意，舍去；方程的正整数解为．类型四、二元一次方程组的规律【解惑】相传大禹时期，洛阳市西洛宁县洛河中浮出神龟，背驮“洛书”，献给大禹，大禹依此治水成功，逐划天下为九州，图1是我国古代传说中的洛书，图2是洛书的数字表示．洛书是一个三阶幻方，就是将已知的9个数填入的方格中，使每一行、每一列以及两条斜对角线上的数字之和都相等．在图3的幻方中也有类似于图1的数字之和的这个规律，则的值为（）

A．6 B．7 C．8 D．9【答案】D【分析】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．根据每一行、每一列以及两条斜对角线上的数字之和都相等，可列出关于的二元一次方程，化简后，即可得出的值．【详解】解：根据题意得：，，故选：D．【融会贯通】1．对5个正整数，，，，，作规律探索，①，，是三个连续偶数（），②，是两个连续奇数（），③以下几个结论正确的是：①取，5个正整数可以为：4，6，8，7，9②F能表示为（m、n为正整数）③若，则一共有8种组合以上结论正确的个数有（

）A．3 B．2 C．1 D．0【答案】A【分析】本题考查列代数式、解一元一次方程、解二元一次方程．根据每个结论，分别利用题中的3个条件，表示出，，，，5个数，通过各自的特点与要求进行求解．【详解】解：①取，5个正整数可以为：4，6，8，7，9，①说法正确；②设，则，，设，则，∴，∴F不能表示为（m、n为正整数），②说法错误；③当时，，则，此方程无正整数解；当时，，则，此方程无正整数解；当时，，则，此方程无正整数解；当时，，则，此方程有正整数解；∴，则一共有0种组合，③说法错误；故选：A2．观察下列方程组：，，，，，若第方程组满足上述方程组的数字规律，则第方程组的解为．【答案】【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，数字规律，解二元一次方程组，根据方程组，找出系数和常数项存在的规律，依此类推，即可得到第方程组为，然后解方程组即可，掌握知识点的应用是解题的关键．【详解】解：由，，，，则第方程组为，解得：，故答案为：．3．小明为了方便探究关于x，y的二元一次方程（）解的规律，把x和y的部分值分别填入如下表，（x的值从左到右依次增大）．x028y107p1(1)p的值为__________（填正确的序号）．①17；②3；③(2)下列方程中，与组成方程组，在范围内有解的是__________（填正确的序号）．①；②；③，(3)已知关于x，y的二元一次方程（）的部分解如下表所示：x…0…8y…q…13则方程组的解为__________（填正确的序号）①；②；③；④【答案】(1)②(2)③(3)③【分析】本题考查二元一次方程的解和解二元一次方程组，解题的关键是掌握加减消元法和代入消元法．（1）先根据表格中的值，建立关于a、b的二元一次方程组，解方程组得到a、b的值，即可求出二元一次方程，再将代入方程即可求得答案；（2）依次将三个选项与原方程组件方程组，求出方程组的解进行判断即可；（3）根据表格的数据，建立关于c、d的二元一次方程组，解方程组得到c、d的值，即可得到原方程组，再解方程组即可得到答案．【详解】（1）解：当，时，，当，时，，∴解方程组得，∴二元一次方程为：，即，当时，，故，故答案为：②；（2）解：∵方程为：，∴①当方程为时，方程组为：，解方程组得：，∵不在范围内，故①不符合题意；③当方程为时，方程组为：，解方程组得：，∵在范围内，故③符合题意；故答案为：③；（3）解：二元一次方程中，当时，方程为；当，方程为；∴，解方程组得，则方程为，即，∴方程组为：，解方程组得，故答案为：③．类型五、二元一次方程组的应用——方案问题【解惑】某班52名师生准备去亮子河旅游，为确定旅游费用，班主任刘老师派班长去了解船只租金情况，班长得到如下表格：型号A型B型每只船载客（人）53每只船租金（元）160105(1)如果两种船都租，且既不超载也不空载，那么你能设计出几种租船方案？(2)若你是班长，为了使总租金最少，应该选择怎样的租船方案？【答案】(1)三种(2)A型船8只，B型船4只【分析】本题主要考查了二元一次方程的应用，解题的关键是根据等量关系，列出方程．（1）设租A型船只，B型船只，可得，根据取正整数求出方程的解即可；（2）分别求出三种方案的租金，然后进行比较即可．【详解】（1）解：设租A型船只，B型船只，可得（取正整数），解得或或，即如果两种船都租，且既不超载也不空载，一共有三种设计方案：方案一，租用A型船2只，B型船14只；方案二，租用A型船5只，B型船9只；方案三，租用A型船8只，B型船4只．（2）解：方案一的租金为：（元），方案二的租金为：（元），方案三的租金为：（元）．由上可得方案三租金最少，故使总租金最少，应该选择的租船方案是A型船8只，B型船4只．【融会贯通】1．某校准备组织七年级师生去红军长征湘江战役纪念馆参观学习，学校联系某客运公司有60座和45座两种客车可供租用．学校如果全部租用45座的客车，那么七年级师生全部有座，且还剩余15个空座位；如果全部租用60座的客车，则可少租3辆，且正好坐满．(1)求七年级师生的总人数；(2)已知客运公司60座的客车每辆每天的租金是900元，45座的客车每辆每天的租金是700元．若学校从该客运公司租用客车，要使每位师生都有座位，且每辆客车都恰好坐满，求出满足条件的所有租车方案，并说明哪一种租车方案最省钱？【答案】(1)480人(2)方案一：租用60座客车8辆，45座客车0辆；方案二：租用60座客车5辆，45座客车4辆；方案三：租用60座客车2辆，45座客车8辆；租用60座客车8辆，45座客车0辆最省钱【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，二元一次方程的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程．（1）设七年级师生的总人数为x人，根据全部租用60座的客车，比租用45座的客车少租3辆，列出方程，解方程即可；（2）设租用60座的客车x辆，45座的客车y辆，根据总人数列出方程，求方程的非负整数解，即可得出答案．【详解】（1）解：设七年级师生的总人数为x人，根据题意得：，解得：，答：七年级师生的总人数为480人．（2）解：设租用60座的客车x辆，45座的客车y辆，根据题意得：，∵x、y为非负整数，∴或或，满足条件的所有租车方案有：方案一：租用60座客车8辆，45座客车0辆；方案二：租用60座客车5辆，45座客车4辆；方案三：租用60座客车2辆，45座客车8辆；方案一费用：（元），方案二费用：（元），方案三费用：（元），∵，∴租用60座客车8辆，45座客车0辆最省钱．2．某商店分两次购进A，B型两种台灯进行销售，两次购进的数量及费用如下表所示，由于物价上涨，第二次购进A，B型两种台灯时，两种台灯每台进价分别上涨，．购进的台数购进所需要的费用（元）A型B型第一次10203000第二次15104500(1)求第一次购进A，B型两种台灯每台进价分别是多少元？(2)A，B型两种台灯销售单价不变，第一次购进的台灯全部售出后，获得的利润为2800元，第二次购进的台灯全部售出后，获得的利润为1800元．①求A，B型两种台灯每台售价分别是多少元？②若按照第二次购进A，B型两种台灯的价格再购进一次，将再次购进的台灯全部售出后，要想使获得的利润为740元，求有哪几种购进方案？【答案】(1)第一次购进A型台灯每台进价为200元，B型台灯每台进价为50元(2)①A型台灯每台售价为340元，B型台灯每台售价为120元；②有3种购进方案：购进A型台灯1台，B型台灯11台；购进A型台灯4台，B型台灯7台；购进A型台灯7台，B型台灯3台【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找出等量关系式，正确列出方程（组）是解题的关键．（1）根据等量关系式：第一次购买台A型台灯的费用第一次购买台B型台灯的费用元，第二次购买台A型台灯的费用第二次购买台B型台灯的费用元，列出方程组，接可求解；（2）①根据等量关系式：第一次的台A型台灯的利润第一次的台B型台灯的利润元，第二次的台A型台灯的利润第二次购买台B型台灯的利润元，列出方程组，接可求解；②设再购进A型台灯a台，B型台灯台，由按第二次购买的价格购买，a台A型台灯售出获得利润台B型台灯售出获得利润元，列方程即可求解．【详解】（1）解：设第一次购进A型台灯每台进价为x元，B型台灯每台进价为y元，由题意得：，解得：，答：第一次购进A型台灯每台进价为200元，B型台灯每台进价为50元．（2）解：①设A型台灯每台售价为m元，B型台灯每台售价为n元，由题意得：，解得，，答：A型台灯每台售价为340元，B型台灯每台售价为120元；

②第二次购进的A型台灯的价格为：（元），B型台灯的价格为：（元），设购进A型台灯a台，B型台灯台，由题意得：，整理得：，∴a、b为自然数，或或，有3种购进方案：购进A型台灯1台，B型台灯11台；购进A型台灯4台，B型台灯7台；购进A型台灯7台，B型台灯3台；3．图中是一把学生椅，主要由靠背、座板及铁架组成，经测量，该款学生椅的座板尺寸为，靠背由两块相同的靠背板组成，其尺寸均为．因学校需要，某工厂配合制作该款式学生椅，清点库存时发现，工厂仓库已有大量的学生椅铁架，故只需在市场上购进某型号板材加工制作该款式学生椅的靠背与座板，如下图，该型号板材长为，宽为．（裁切时不计损耗）【任务一】拟定裁切方案（1）在不造成板材浪费的前提下，若将一张该板材全部用来裁切靠背板，则可裁切靠背板______块．（2）在不造成板材浪费的前提下，若将一张该板材同时裁切出靠背板和座板，请你设计出所有符合要求的裁切方案：方案一：裁切靠背板______块和座板______块．方案二：裁切靠背板______块和座板______块．方案三：裁切靠背板______块和座板______块．【任务二】确定搭配数量（3）现需要制作700张学生椅，该工厂仓库现有10块靠背板，没有座板，请问还需要购买该型号板材多少张（恰好全部用完）？为方便加工，需在上述裁切方案中选定两种，并说出你选定的两种裁切方案分别需要多少块板材．【答案】（1）30；（2）23，2；16，4；9，6；（3）需要购买该型号板材128张，用其中34张板材裁切靠背16块和座板4块，用94张板材裁切靠背9块和座板6块或需要购买该型号板材128张，用其中17张板材裁切靠背23块和座板2块，用111张板材裁切靠背9块和座板6块．【分析】本题考查二元一次方程组的应用，解题的关键是读懂题意，列出二元一次方程和二元一次方程组．任务一：（1）画出图形，即可求解；（2）一张该板材先靠上裁切靠背6块，再设一张该板材裁切靠背板块，座板块，可得：，求出正整数解即可；任务二：分三种情况讨论，设用张板材裁切靠背16块和座板4块，用张板材裁切靠背9块和座板6块，可得二元一次方程组，解方程组可得答案；或设用张板材裁切靠背23块和座板2块，用张板材裁切靠背9块和座板6块；或设用张板材裁切靠背23块和座板2块，用张板材裁切靠背16块和座板4块，同样的方法求解即可．【详解】解：任务一：（1）在不造成板材浪费的前提下，若将一张该板材全部用来裁切靠背板，如图，则可裁切靠背板块．故答案为：30；（2）一张该板材先靠上裁切靠背6块，如图，余下的，设一张该板材裁切靠背板块，座板块，根据题意得：，，，为正整数，或或，方案一：裁切靠背板23块和座板2块．方案二：裁切靠背板16块和座板4块．方案三：裁切靠背板9块和座板6块；故答案为：23，2；16，4；9，6；任务二：设用张板材裁切靠背16块和座板4块，用张板材裁切靠背9块和座板6块，根据题意得：，解得：，张，需要购买该型号板材128张，用其中34张板材裁切靠背16块和座板4块，用94张板材裁切靠背9块和座板6块．设用张板材裁切靠背23块和座板2块，用张板材裁切靠背9块和座板6块，根据题意得：，解得：，张，需要购买该型号板材128张，用其中17张板材裁切靠背23块和座板2块，用111张板材裁切靠背9块和座板6块．设用张板材裁切靠背23块和座板2块，用张板材裁切靠背16块和座板4块，根据题意得：，解得：(不合题意，舍去)，综上，需要购买该型号板材128张，用其中34张板材裁切靠背16块和座板4块，用94张板材裁切靠背9块和座板6块或需要购买该型号板材128张，用其中17张板材裁切靠背23块和座板2块，用111张板材裁切靠背9块和座板6块．类型六、二元一次方程组的应用——销售、利润问题【解惑】请根据图中信息，回答下列问题：(1)一个暖瓶与一个水杯分别是多少元？(2)甲、乙两家商场同时出售同样的暖瓶和水杯，为了迎接新年，两家商场都在搞促销活动，甲商场规定：这两种商品都打九折；乙商场规定：买一个暖瓶赠送一个水杯，若某人想要买4个暖瓶和15个水杯，请问选择哪家商场购买更合算？并说明理由．【答案】(1)一个暖瓶70元，一个水杯30元(2)到乙商场购买更合算【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）分别求出到两商城购买所需费用．（1）设一个暖瓶x元，一个水杯y元，根据“购买一个暖瓶、一个水杯共需100元，购买两个暖瓶、三个水杯共需230元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）根据两商城的促销方案，分别求出到两商城购买所需费用，比较后即可得出结论．【详解】（1）解：设一个暖瓶元，一个水杯元，根据题意，得解得答：一个暖瓶70元，一个水杯30元．（2）解：若到甲商场购买，则所需的钱数为（元）；若到乙商场购买，则所需的钱数为（元）．，到乙商场购买更合算．【融会贯通】1．某服装店用元购进两种新式服装，按标价售出后可获得毛利润元（毛利润售价-进价），这两种服装的进价，标价如表所示．类型价格AB进价（元／件）标价（元／件）(1)请利用二元一次方程组求A，B两种新式服装各购进的件数；(2)如果A种服装按标价的9折出售，B种服装按标价的8折出售，那么这批服装全部售完后，服装店比按标价出售少收入多少元？【答案】(1)A种新式服装购进25件，B种新式服装购进30件(2)服装店比按标价出售少收入1210元【分析】此题考查了二元一次方程组和有理数的混合运算的应用．（1）设A种新式服装购进件，B种新式服装购进件，服装店用元购进两种新式服装，按标价售出后可获得毛利润元，据此列出方程组，解方程组即可得到答案；（2）A种服装按标价的9折出售，B种服装按标价的8折出售，据此列式计算即可得到答案．【详解】（1）解：设A种新式服装购进件，B种新式服装购进件，根据题意，得解得答：A种新式服装购进25件，B种新式服装购进30件．（2）（元）．答：这批服装全部售完后，服装店比按标价出售少收入1210元．2．小明想购买一副羽毛球拍与5盒羽毛球，他发现、两商场的每副羽毛球拍与每盒羽毛球的标价均相同，这两项合计为300元，但他们的售卖方案不同．商场的售卖方案是：顾客每购买一副羽毛球拍赠送一盒羽毛球，另外购买的羽毛球则按原价出售．商场的售卖方案是：顾客购买的羽毛球拍与羽毛球均按原价的9折出售．小明发现，他要购买的羽毛球拍与羽毛球在这两家商场应付的钱一样多，问：羽毛球拍与羽毛球的单价分别是多少？【答案】一副羽毛球拍单价为元，每盒羽毛球的单价为元．【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．根据“这两项合计为300元，购买的羽毛球拍与羽毛球在这两家商场应付的钱一样多”列方程组解答即可．【详解】解：设一副羽毛球拍单价为元，每盒羽毛球的单价为元，根据题意得，解得，答：一副羽毛球拍单价为元，每盒羽毛球的单价为元．3．为贯彻落实党中央、国务院决策部署，陕西省推动“消费品以旧换新”行动，对购买一、二级能效绿色智能家电的消费者予以一定置换补贴．补贴标准为产品最终销售价格的，对购买级及以上能效或水校的产品，额外再给予产品最终销售价格的的补贴．某学校分两次更新部分电脑和空调（二级能效），第一次购买台电脑和台空调，补贴前需花费元；第二次购买台电脑和台空调，补贴前需花费元．(1)补贴前．学校购买一台电脑和一台空调所需的资金分别是多少元？(2)若该校两次购买的所有电脑和空调均参加以旧换新活动，则一共能获得多少元的国家补贴？【答案】(1)补贴前学校购买一台电脑所需资金为元，一台空调所需资金为元(2)一共能获得元的国家补贴【分析】（）设补贴前学校购买一台电脑所需资金为元，一台空调所需资金为元，根据题意列出方程组即可求解；（）根据（）及题意算出每台电脑和空调以旧换新的补贴，再列式计算即可求解；本题考查了二元一次方程组的应用，有理数混合运算的实际应用，根据题意正确列出方程组和算式是解题的关键．【详解】（1）解：设补贴前学校购买一台电脑所需资金为元，一台空调所需资金为元，由题意得，，解得，答：补贴前学校购买一台电脑所需资金为元，一台空调所需资金为元；（2）解：∵，，∴电脑以旧换新每台补贴为元，空调以旧换新每台补贴为元，∴元，答：一共能获得元的国家补贴．类型七、二元一次方程组的应用——几何问题【解惑】如图，长方形由7个正方形组成，已知正方形A的边长为，正方形B的边长为，求此长方形的面积．（只能用二元一次方程组解答）【答案】【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设正方形的边长分别为，根据长方形的对边相等，列出方程组求出的值，进而求出长方形的长和宽，再利用长方形的面积公式进行求解即可．【详解】解：设正方形的边长分别为，由图可知：，解得：，∴长方形的长为：，宽为：，∴长方形的面积为：．【融会贯通】1．如图，在长为，宽为的长方形展厅划出三个形状、大小完全相同的小长方形摆放水仙花，其示意图如图所示．求一个小长方形的周长．【答案】【分析】此题考查二元一次方程组的运用，看清图意，正确列出方程组解决问题．设小长方形的长为，宽为，由图可知，长方形展厅的长是，宽为，由此列出方程组求解即可．【详解】解：小长方形的长为，宽为，由图可得：，两式相加得，，∴，则小长方形的周长为．2．如图，8块相同的小长方形地砖拼成了一个大长方形图案（地砖间的缝隙忽略不计），求每块小长方形的长和宽．【答案】每块地砖的长为，宽为【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．设每块地砖的长为，宽为，根据题意，列出方程组，即可求解．【详解】解：设每块地砖的长为，宽为，根据题意得：，解得：，答：每块地砖的长为，宽为．3．如图1，长方形中放置8个形状和大小都相同的小长方形（尺寸如图1），求图中阴影部分的面积．小许设小长方形的长为，宽为，观察图形得出关于，的二元一次方程组，解出，的值，再用大长方形的面积减去8个小长方形的面积得到阴影部分的面积．请按照小许的思路完成上述问题．【答案】【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，设小长方形的长为，宽为，根据图形的关系得到，求出，即可求出阴影面积．【详解】解：设小长方形的长为，宽为，，解得，∴阴影部分的面积为．类型八、二元一次方程组的应用——整体思想问题【解惑】[阅读感悟]一些关于方程组的问题，若求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的式子的值，如以下问题：已知实数x，y满足①，②，求和的值．本题的常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x，y的值再代入欲求值的式子得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得式子的值，如由可得，由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．[解决问题](1)已知二元一次方程组，则___________，___________．(2)某班开展安全教育知识竞赛需购买奖品，买5支铅笔、3块橡皮共需18元，买9支铅笔、5块橡皮共需28元，则购买20支铅笔、20块橡皮共需多少元？(3)对于实数x，y，定义新运算：，其中a，b，c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，求的值．【答案】(1)，4(2)购买20支铅笔、20块橡皮共需160元(3)1【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、整体思想以及新运算等知识，（1）由得，则，再由得，则；（2）设1支铅笔x元，1块橡皮y元，由题意列出方程组，再由整体思想求出，即可求解；（3）由定义新运算：得，，求出，即可求解．【详解】（1）解：，得：，∴，得：，∴，故答案为：，4；（2）解：设1支铅笔x元，1块橡皮y元，由题意得：，得：，∴，即购买20支铅笔、20块橡皮共需160元；（3）解：∵，∴，得：，∴，∴，∴．【融会贯通】1．数学思想·整体思想

综合与实践【问题情境】小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题：解方程组：．【观察发现】（1）如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以解决问题．设，则原方程组可化为_____，解关于m，n的方程组，得，所以，解方程组，得_____；【探索猜想】（2）运用上述方法解下列方程组：．【答案】（1），；（2）【分析】本题考查了解二元一次方程组．（1）根据换元法和加减消元法可得答案；（2）利用换元法将原方程组变形，解关于m，n的方程组，然后得到关于x，y的新的二元一次方程组，再解方程组可得答案；【详解】解：（1）设，则原方程组可化为，解关于m，n的方程组，得，∴，解方程组，得，故答案为：，；（2）设，，则原方程组可化为，解关于m，n的方程组，得，∴，解方程组，得．2．阅读理解：已知实数，满足，，求和的值．仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得，由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．利用“整体思想”，解决下列问题：(1)已知二元一次方程组，则________，_______；(2)买支铅笔、块橡皮、本日记本共需元，买39支铅笔、块橡皮、本日记本共需元，求购买10支铅笔、10块橡皮、10本日记本共需多少元？(3)对于实数，，定义新运算：，其中，，是常数，等式右边是实数运算．已知，，求的值．【答案】(1)，．(2)购买10支铅笔、10块橡皮、10本日记本共需元．(3)该值为54．【分析】本题考查的知识点是加减消元法解二元一次方程组，加减消元法解三元一次方程组，解题关键是熟练掌握加减消元法．（1）根据题意列出二元一次方程组后利用加减消元法即可得解；（2）设铅笔为元，橡皮为元，日记本为元，根据题意列出三元一次方程组，再用加减消元法求解；（3）根据题意列出三元一次方程组，用加减消元法即可求解．【详解】（1）解：依题得，则可得即，可得即．故答案为：，．（2）解：设铅笔为元，橡皮为元，日记本为元，则依题得，可得，即，．答：购买10支铅笔、10块橡皮、10本日记本共需元．（3）解：依题得，由可得，即，．3．“整体代换”是一种常用的数学思想，在解二元一次方程组时也可以运用“整体代换”的思想例如：求解二元一次方程组将②式变形，得③．将①式代入③式，得，解得．将代入①式，得，解得，该二元一次方程组的解为(1)类比“整体代换”法解方程组(2)已知，满足方程组求的值．【答案】(1)(2)4【分析】本题主要考查运用“整体代换”解二元一次方程程组：（1）把变形为，再用整体代换的方法解题；（2）把①变形为这样的形式，再利用整体代换的方法解决．【详解】（1）解：，把②变形为③，把①代入③得，，解得，把代入①得，即方程组的解为；（2）解：把①变形为③，把②代入③可得，，解得，．答：的值是4．类型九、二元一次方程组的新定义应用【解惑】定义：可化为其中一个未知数的系数都为，另一个未知数的系数互为倒数，并且常数项互为相反数的二元一次方程组，称为“相关倒反方程组”．如．(1)若关于的方程组是“相关倒反方程组”，则，．(2)若关于的方程组可化为“相关倒反方程组”，求该方程组的解．【答案】(1)，；(2)．【分析】（1）根据“相关倒反方程组”的定义即可求解；（2）先把化为“相关倒反方程组”，根据“相关倒反方程组”的定义求出的值，然后解二元一次方程组即可；本题考查了二元一次方程组的解法及新定义，理解新定义，掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．【详解】（1）解：若关于的方程组是“相关倒反方程组”，则，，故答案为：，；（2）解：根据题意得：原方程组化为“相关倒反方程组”是，所以，，所以，，所以原方程组为，解得．【融会贯通】1．中考新考法阅读理解题

新定义：若关于x，y的两个二元一次方程组的解中，x值（或y值）相等，y值（或x值）互为相反数，则称这两个方程组为“友好方程组”．例如：方程组的解为方程组的解为两个方程组的解中，x值相等，y值互为相反数，所以与为“友好方程组”．请你根据上述描述，解决问题：关于x，y的二元一次方程组与为“友好方程组”，求a，b的值．【答案】或．【分析】本题考查了二元一次方程组以及新定义的运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．结合“友好方程组”的定义进行分类讨论，①若x值相等，y值互为相反数，先得出原方程组的解为，同理可知方程组的解为联立⑤，⑥得方程组解得以及②若y值相等，x值互为相反数，得，⑦，得，⑧，再建立方程组，进行计算，即可作答．【详解】解：分情况讨论：①若x值相等，y值互为相反数，由①得，由④得，则，解得，将代入①，得，解得，原方程组的解为将代入②中，得，⑤同理可知方程组的解为将代入③，得，⑥联立⑤，⑥得方程组解得②若y值相等，x值互为相反数，由①得，由④得，则，解得，将代入①，得，解得，原方程组的解为将代入②，得，⑦同理可得的解为将代入③，得，⑧联立⑦，⑧得方程组解得综上所述，a，b的值为或2．我们定义：若整式与满足：为整数，我们称与为关于的平衡整式．例如，若，我们称与为关于的平衡整式．(1)若与为关于的平衡整式，求的值；(2)若与为关于的平衡整式，与为关于的平衡整式，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由题意得，，解方程即可作答；（2）由题意得，解方程组即可作答．【详解】（1）由题意得，，解得；（2）由题意得，解得，则．【点睛】本题考查的是解一元一次方程，解二元一次方程组，掌握加减消元法是解题的关键．3．我国古代民间把正月正、二月二、三月三、五月五、六月六、七月七、九月九这“七重”列为吉庆日；“七”在生活中表现为时间的阶段性，比如一周有“七天”，在数的学习过程中，有一类自然数具有的特性也和“七”有关．定义：对于四位自然数，若其千位数字与个位数字之和等于7，百位数字与十位数字之和也等于7，则称这个四位自然数为“七巧数”．例如：3254是“七巧数”，因为，，所以3254是“七巧数”；1456不是“七巧数”，因为，但，所以1456不是“七巧数”．(1)最大的“七巧数”是，最小的“七巧数”是；(2)若将一个“七巧数”的个位数字和千位数字交换位置，十位数字和百位数字交换位置得到一个新的“七巧数”，并记，求证：无论取何值，为定值，并求出这个值；(3)若是一个“七巧数”，且的百位数字加上个位数字的和，是千位数字减去十位数字的差的2倍，请求出满足条件的所有“七巧数”．【答案】(1)7700，1076(2)证明见解析，7777(3)5612，6341，7070【分析】（1）根据“七巧数”的定义即可求解；（2）设的个位数字为，十位数字为，则百位数字为，千位数字，依此可求和，进一步可求；（3）设的千位数字为，百位数字为，则十位数字为，个位数字为，根据的百位数字加上个位数字的和，是千位数字减去十位数字的差的2倍，依此可得，再根据方程正整数解进行讨论即可求解．【详解】（1）解：最大的“七巧数”是：7700，最小的“七巧数”是：1076，故答案为：7700，1076；（2）证明：设的个位数字为，十位数字为，则百位数字为，千位数字，由题意得，，，，．故无论取何值，为定值，为7777；（3）设的千位数字为，百位数字为，则十位数字为，个位数字为，由题意得，，即，，，且，为整数，当时，则，，当时，则，，当时，则，，满足条件的所有“七巧数”为：5612，6341，7070．【点睛】本题考查的是新定义情境下的整式的加减运算，二元一次方程的正整数解问题，理解新定义，准确的列出代数式并合并同类项，列出二元一次方程并求解其符合条件的正整数解都是解本题的关键.类型十、项目化学习【解惑】项目化学习项目主题：确定最省钱的租车方案项目背景：为迎接“七·一”党的生日，某校决定于六月下旬组织本校七、八年级学生前往武乡革命纪念馆进行“传承红色基因，弘扬革命精神”主题研学活动．数据收集：①七八年级师生共485人，交通费支出预算为9000元．②平安出租车公司有A，B两种型号的客车可供选择，A型客车每辆有25个座位，B型客车每辆有55个座位．③下表是该公司租车记录单上的部分信息：租用A型客车数量租用B型客车数量租金总费用323800133600问题解决：利用以上数据完成下列问题．(1)根据公司租车记录单上的信息，确定A，B两种型号每辆客车的租金分别是多少元．(2)该学校本次研学准备租用平安租车公司的客车．若每辆客车恰好都坐满，求出所有满足条件的租车方案．(3)是否存在租车费用不超过预算的租车方案？如果有，请写出该方案，并说明理由；如果不存在，请计算至少要追加多少预算金额．【答案】(1)每辆A种型号客车的租金是600元，每辆B种型号客车的租金是1000元；(2)共有2种租车方案，方案1：租用15辆A种型号客车，2辆B种型号客车；方案2：租用4辆A种型号客车，7辆B种型号客车；(3)有，方案为：租用B型客车9辆，见解析．【分析】（1）设每辆A种型号客车的租金是元，每辆B种型号客车的租金是元，根据公司租车记录单上的部分信息，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设租用辆A种型号客车，辆B种型号客车，根据租用的客车恰好可以乘载485人，可列出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出各租车方案；（3）求出各租车方案所需总租金，将其与9000比较作差后，即可得出结论．本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．【详解】（1）解：设每辆A种型号客车的租金是元，每辆B种型号客车的租金是元，根据题意得：，解得：，∴每辆A种型号客车的租金是600元，每辆B种型号客车的租金是1000元；（2）解：设租用辆A种型号客车，辆B种型号客车，根据题意得：，∴，又∵，均为非负整数，∴或，∴共有2种租车方案，方案1：租用15辆A种型号客车，2辆B种型号客车；方案2：租用4辆A种型号客车，7辆B种型号客车；（3）解：有，方案为：租用B型客车9辆，理由如下：∵，，∴符合预算．【融会贯通】1．某兴趣小组在开展“探究小球与水面高度关系”的项目式学习活动中，准备了若干体积相同的大球和体积相同的小球，并尝试将球放入一个有水的高为的圆柱形烧杯中（烧杯中原有水面高度是），以观察放入大球和小球数量和烧杯中水面高度的变化情况，兴趣小组的同学根据水面高度的变化绘制了实验结果见图（如图）．请根据图中信息回答下面的问题：(1)放入一个小球水面升高（

）．．

．

．

．(2)若放入大球、小球共个，要使水面上升到，设放入大球个，放入小球个，则下列方程不正确的是（

）．

．．

．(3)现有充足的大球和小球，要使水面上升到，下面的方案正确的序号是（

）①往烧杯中放入个大球和个小球②往烧杯中放入个大球和个小球⑤往烧杯中放入个大球和个小球④往烧杯中放入个大球和个小球⑤往烧杯中放入个大球．①②④⑤

．②④⑤

．①④⑤

．②③④【答案】(1)；(2)；(3)．【分析】（）根据放入个体积相同的小球水面升高了即可求解；（）根据放入个体积相同的大球水面升高了，求出放入一个大球水面升高的高度，再分三种情况列方程（组）即可判断求解；（）分别求出每一种方案的水面高度即可求解；本题考查了一元一次方程及二元一次方程组的应用，有理数的混合运算，根据题意，正确求出放入一个小球和大球水面上升的高度是解题的关键．【详解】（1）解：由题意可得，放入个体积相同的小球水面升高了，∴放入一个小球水面升高，故选：；（2）解：由题意可得，放入个体积相同的大球水面升高了，∴放入一个大球水面升高，设放入大球个，则由题意得，；设放入小球个，则由题意得，；设放入大球个，放入小球个，则由题意得，；∴选项方程组不正确，故选：；（3）解：∵，∴方案①不正确；∵，∴方案②正确；∵，∴方案③不正确；∵，∴方案④正确；∵，∴方案⑤正确；综上，方案正确的是②④⑤，故选：2．根据素材，完成活动任务：素材一为鼓励学生积极参加学校劳动，养成劳动习惯，培养劳动品质某校“方志实践”劳动基地打算用如图所示的围栏搭建一块蔬菜基地．已知围栏的横杠长为15dm，竖杠长为8dm一副围栏由2个横杠，5个竖杠制作而成

素材二项目化学习小组到市场了解到：现木材市场的这种规格的围栏材料每根长为40dm，价格为50元/根．为了深度参与学校蔬菜基地的建立，项目化小组打算自己购买材料，制作搭建蔬菜基地的围栏同时为了围栏的牢固性，用料不能是拼接而成．解决问题任务要求解决办法任务一一根40dm长的围栏材料有哪些裁剪方法呢？（余料作废）．方法①：当只裁剪8dm长的竖杠时，最多可裁剪_______________根；方法②：当先裁剪下1根15dm长的横杠时，余下部分最多能裁剪8dm长的竖杠_______________根；方法③：当先裁剪下2根15dm长的横杠时，余下部分最多能裁剪8dm长的竖杠________________根：任务二基地负责老师告诉项目化学习小组：搭建蔬菜基地需要用到的围栏长为75dm（即需要制作5副围栏，需要的用料为：25个竖杠，10个横杠），请完成裁剪并计算费用．项目化小组打算用“任务一”中的方法②和方法③完成裁剪任务．请计算：分别用“任务一”中的方法②和方法③各裁剪多少根40dm长的围栏材料，才能刚好得到所需要的相应数量的用料？并求出购买围栏材料的费用．任务三某安装技术人员告诉项目化小组同学：我们在单位时间内可以安装m根竖杠或（7－m）根横杠．现需知道技术人员的安装效率．任务二中的5副围栏安装完毕时，项目化小组发现技术人员安装竖杠所需的时间与安装横杠所需的时间相同，则m＝_______________．【答案】任务一：5

3

1；任务二：8根，1根，费用450元；任务三：5【分析】根据围栏材料不同裁剪方法，分别计算出需要的竖杠或横杠；利用方法②与方法③列出方程组求解即可；利用在单位时间内可以安装m根竖杠或根横杠，所用的时间相同，建立分式方程，求解即可．【详解】任务一：(根)方法①：当只裁剪长的竖杠时，最多可裁剪5根．，方法②：当先裁剪下1根长的横杠时，余下部分最多能裁剪长的竖杠3根．，方法③：当先裁剪下2根长的横杠时，余下部分最多能裁剪长的竖杠1根．任务二：设方法②需裁剪x根，方法③需裁剪y根，依据题意得：，解得：．(元)．答：方法②和方法③各裁剪8根与1根长的围栏材料，才能刚好得到所需要的相应数量的用料，购买围栏材料的费用共需45元．任务三：依据题意得，解得：．【点睛】本题考查了二元一次方程组与分式方程的应用，解题的关键是仔细审题，正确列出方程．3．项目式学习如何设计计算油漆用量的方案？素材1小明家的一面墙壁由边长为1分米的小正方形密铺而成，上面画了如图所示的心形图案．他现在准备将心形图案的内部刷上红色的油漆，已知刷1平方分米需要0.02升的油漆．素材2奥地利数学家皮克证明了格点多边形的面积公式，格点多边形的面积S与格点多边形内的格点数a和边界上的格点数b有关，面积公式可表示为（其中m，n为常数）．示例：如图2，格点多边形内的格点数，边界上的格点数，格点多边形的面积．问题解决任务1在图3中画一个格点多边形，并计算它的格点多边形内的格点数a，边界上的格点数b和面积S．________________________任务2得出格点多边形的面积公式根据图2和图3的数据，求常数m，n的值．任务3计算油漆的用量求需要红色油漆多少升？【答案】（1）图见解析；1，8，4；（2），；（3）需要0.66升红色油漆．【分析】本题考查作图复杂作图，二元一次方程组等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．任务1：任意画一个三角形，再分别计算a、b、S即可；任务2：构建方程组求解；任务3：判断出，的值，利用公式求解．【详解】解：任务1：如图，即为所求．观察图象可知：，，，故答案为：1，8，4；任务2：把数据代入得，，解得；任务3：由图可知：格点多边形内的格点数，边界上的格点数，由任务2得，把，得，，（升）．答：需要0.66升红色油漆．【一览众山小】1．和都是方程的解，则的值是（

）A． B．2 C．3 D．7【答案】C【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，掌握二元一次方程的解的定义是解题的关键，一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．将方程的解代入方程，得到关于a，b的二元一次方程组，解方程组即可．【详解】解：将方程的解代入方程得：，解得：，∴，故选：C．2．《九章算术》是中国古代一部重要的数学著作，其卷八方程第十题题目大意是：甲、乙两人各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50．如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱50．甲、乙两人各带了多少钱？设甲、乙两人持钱的数量分别为x和y，则可列方程组是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答此类的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程组．根据题意可得，甲的钱+乙的钱的一半，乙的钱+甲所有钱的，据此列方程组即可．【详解】解：甲带钱x，乙带钱y，根据题意，得：故选：D．3．已知关于的二元一次方程组，下列结论正确的是（）①当时，方程组的解也是的解；②均为正整数的解只有1对；③无论取何值，、的值不可能互为相反数；④若方程组的解满足，则．A．①③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③【答案】A【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解法、二元一次方程组的解等知识，将已知分别代入进而解方程得出答案，即可判断．【详解】解：①当时，方程组整理得，由①+②可得，当时，方程得，∴当时，方程组的解也是的解，故①正确；②解方程组，①+②得当，均为正整数时，则有或，∴共有2对，故②错误；③解方程组，①+②得∴无论取何值，，的值不可能是互为相反数，故③正确；④解方程组，①+②得，当方程组的解满足时，解得，代入原方程组可得解得，，故④正确；综上，正确的结论是①③④，故选：A．4．如果，满足方程组，那么的值是．【答案】6【分析】本题考查了解二元一次方程组，利用加减消元法解二元一次方程组即可，熟练掌握解二元一次方程的组的方法是解此题的关键．【详解】解：，由可得：，故答案为：．5．如图所示，在长方形中放入个完全相同的小长方形，若，则图中阴影部分面积之和为．【答案】【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设小长方形的长为，宽为，由图可知，，求出，然后代入求解即可，读懂图形，找出等量关系，列出方程组是解题的关键．【详解】解：设小长方形的长为，宽为，由图可知：，，解得：，图中阴影部分面积之和为，故答案为：．6．如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数为“和方差数”．例如：四位数6231，因为，所以6231是“和方差数”；四位数2546，因为，所以2546不是“和方差数”．若是“和方