2026届高考数学二轮复习高频考点增分提升练 模块2 函数与导数（含答案）

2026届高考数学二轮复习高频考点增分提升练模块2函数与导数（含答案）一、选择题1．若幂函数为偶函数，则m的值为(

)A.或1 B. C.1 D.多个取值2．已知函数则(

)A. B.0 C. D.13．已知函数为偶函数，定义域为R，当时，，则不等式的解集为(

)A. B. C. D.4．碳14是碳元素的一种同位素，具有放射性.活体生物其体内的碳14含量大致不变，当生物死亡后，其组织内的碳14开始衰减并逐渐消失.已知碳14的半衰期为5730年，即生物死亡t年后，碳14所剩质量，其中为活体组织中碳14的质量.科学家一般利用碳14这一特性测定生物死亡年代.2023年科学家发现某生物遗体中碳14含量约为原始质量的0.4倍，依据计算结果可推断该生物死亡的时间约为公元前（参考数据：）(

)A.5554年 B.5546年 C.7576年 D.7577年5．已知a，b是正实数，若函数对任意恒成立，则的最大值为(

)A. B. C.1 D.e6．已知，，，，则a，b，c的大小关系是(

)A. B. C. D.7．若，恒成立，则实数a的最大值为(

)A.e B.2 C. D.8．已知函数与的图象没有公共点，则实数a的取值范围是(

)A. B. C. D.二、多项选择题9．已知函数的定义域为R，且，的图象关于点中心对称.当时，，若，则(

)A.是以4为周期的函数B.的图象关于点中心对称C.D.当时，10．已知，.若存在，，使得成立，则下列结论中正确的是(

)A.当时，B.当时，C.不存在t使得成立D.若恒成立，则11．已知函数，其导函数为，则(

)A.直线是曲线的切线B.有三个零点C.D.若在区间上有最大值，则a的取值范围为三、填空题12．已知函数，设函数，则函数的值域为__________________________.13．已知函数，，若直线是曲线与的公切线，则__________________.14．若，则的最小值为_____________.四、解答题15．定义函数，其中x为自变量，a为常数.（1）若函数在区间上的最小值为，求a的值；（2）设全集，集合，，且，求a的取值范围.16．已知函数为偶函数，.（1）求实数k的值；（2）若当时，函数的图象恒在图象的下方，求实数a的取值范围；（3）当时，求函数在上的最小值.17．已知函数，.（1）讨论的单调性；（2）若存在不相等的实数，，使得，证明：.18．已知函数，.（1）讨论的单调性；（2）设，求证：当1时，恰有两个零点.19．已知函数.（1）求函数的单调区间.（2）若方程的两根互为相反数.（i）求实数a的值；（ii）若，且，证明：.参考答案1．答案：C解析：因为为幂函数，所以，解得或1.当时，为奇函数，不符合题意；当时，为偶函数，符合题意，故.故选C.2．答案：D解析：当，即时，，所以当时，，所以当时，的周期为4，所以.又因为当时，，所以，即，故选D.3．答案：B解析：当时，，故偶函数在上单调递减，所以，即，所以，显然不满足不等式，则，即，所以.故选B.4．答案：A解析：由题意知，所以，所以，所以可推断该生物死亡的时间约为公元前年.故选A.5．答案：C解析：为增函数，为减函数，且对任意恒成立，函数与有相同的零点，，即，，当且仅当，即，，时取等号，则的最大值为1.故选C.6．答案：A解析：因为，所以，，在上均单调递增，所以，，，即，.对于a，b，构造函数，则，易知当时，，即此时函数单调递增，则，即，所以，即，因为在上单调递增，所以，即.综上，.故选A.7．答案：D解析：当时，，不等式成立.当时，恒成立，即，令，，则.令，则，当时，，所以在上单调递增，所以，即.故当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，则.所以实数a的最大值为.故选D.8．答案：B解析：若函数与的图象没有公共点，则无解，即无解.令，则，令，，则在上单调递增，又，，故在上存在唯一解，则，，化简得，即.设，，则上式等价于由，可知在上单调递增，故，所以，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以1，所以，解得.即实数a的取值范围为.9．答案：ABC解析：由的图象关于对称，得的图象关于点中心对称，所以，又，所以，所以，即是以4为周期的函数，A正确；因为，即，所以的图象关于点中心对称，B正确；，C正确；若，则，即，因为定义域为R的函数的图象关于点中心对称，所以，则，且由C知，则可得故，所以当时，，D错误.故选ABC.10．答案：ABD解析：，又，可知在上单调递减，在上单调递增，又当时，；当时，，有最小值，，易知当时，有唯一解，故，且，，故A正确；从而，设，则，令，易知在上单调递增，在上单调递减，，，，故B正确；，易知在上单调递减，在上单调递增，，存在，使，故C错误；，令，则，易知在上单调递增，又，，存在，使，在上单调递减，在上单调递增（其中满足，即）.，，若恒成立，则，故D正确.故选ABD.11．答案：BC解析：因为，所以，，所以，C正确；令，得，解得或，当或时，，当时，，所以在和上单调递增，在上单调递减，所以在处取得极大值，在处取得极小值，且，，时，，时，，的图象如图所示，故有两个极值点，三个零点，故B正确；设切点的坐标为，令，则，所以不存在斜率为的切线，即直线不是曲线的切线，故A错误；因为，所以若在区间上有最大值，则所以，故D错误.故选BC.12．答案：解析：由得，即的定义域为，，令，则，令，则，，所以，即函数的值域为.13．答案：解析：设直线与的图象相切于点，与的图象相切于点，易得，，，.则切线方程为，.故解得，故.14．答案：5解析：令，则，则，令，所以，令，则，所以在R上为增函数，即在R上为增函数，又，则当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增，所以函数.15．答案：（1）3（2）解析：（1）因为，令，则.若，即，则在上为增函数，，矛盾；若，即，则在上为减函数，，解得，矛盾；若，即，则在上为减函数，在上为增函数，，解得或（舍去）.综上，a的值为3.（2）由已知，，由，化简整理得，即，令，，则，此时.由知，在上有解，又在上是增函数，可得，故a的取值范围为.16．答案：（1）（2）（3）解析：（1）由已知得，所以，此时.（2）将已知条件转化为，即对恒成立.因为在上是减函数，所以，于是.（3）由已知得.当时，令，又，所以.令，则所以17．答案：（1）当时，在上单调递减；当时，在上单调递增，在上单调递减（2）证明见解析解析：（1）由题得的定义域为，，当时，，所以在上单调递减；当时，当时，，所以在上单调递增，当时，，所以在上单调递减.综上所述，当时，在上单调递减；当时，在上单调递增，在上单调递减.（2）由（1）得，当时，在上单调递减，不合题意，故，则.由，可得，即，不妨令，则，则.要证，即证，即证，即证，设，即证，设，，可得，所以在上单调递增，即，即，则.综上，可得.18．答案：（1）当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递增；当时，在上单调递减（2）证明见解析解析：（1），.当时，，在上单调递减；当时，在上，有，在上，有，故在上单调递减，在上单调递增；当时，，，，故在上单调递增；当时，，，，故在上单调递减.综上所述，当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递增；当时，在上单调递减.（2）证明：当时，.令，则，令，.①时，恒成立，所以恒成立，所以，即在上单调递减.又，，所以存在，使得，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减.又，，所以在上有一个零点.又，所以在上有一个零点，②时，恒成立，所以在上单调递减，又因为，所以在上无零点.③时，.下面证明当时，.设，则.故在上单调递增，，所以恒成立，所以在上无零点.综上所述，在上只有两个零点.又的图象是由的图象向右平移1个单位长度所得，所以在上只有两个零点.19．答案：（1）单调递增区间是，单调递减区间是.（2）（i）（ii）证明见解析解析：（1）根据题意可得，令，得，令，得，故函数的单调递增区间是，单调递减区间是.（2）（i）根据题意得，，即，即，即.设方程的两根分别是和，则，，即，得，，令，则，，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，则，恒成立，