人教版九年级数学下册《相似三角形的判定》第二课时教案

人教版九年级数学下册《相似三角形的判定》第二课时教案

一、课程理念与设计总览

（一）指导思想与理论依据

本节课的设计以《义务教育数学课程标准（2022年版）》为核心指导，深刻践行“核心素养导向”的课程理念。教学聚焦于发展学生的几何直观、推理能力、模型观念与应用意识。理论支撑上，融合建构主义学习理论，强调学生在已有全等三角形判定和相似多边形概念的基础上，主动探究、归纳并建构相似三角形判定定理的完整体系；借鉴深度学习理论，通过多层次、探究性的问题链，引导学生超越表层记忆，达成对判定定理本质的理解与迁移应用；同时，渗透跨学科项目式学习（PBL）的思维，将相似三角形的判定置于测量、物理光学、艺术设计等真实情境中，展现数学的普适价值与工具性。

（二）教学内容与学情分析

1.教材内容解析

本节课是人教版九年级下册第二十七章“相似”中“相似三角形”判定的第二课时。在第一课时，学生已经学习了相似三角形的定义（对应角相等，对应边成比例）以及通过定义证明两三角形相似的繁琐性，并初步探索了平行线分线段成比例的基本事实。本课时的核心任务是探索并证明“三边成比例的两个三角形相似”与“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”这两个判定定理。这是构建相似三角形判定方法完整知识结构的关键环节，它既是平行线判定方法的补充与发展，也为后续学习相似三角形的性质、位似以及解直角三角形奠定坚实的逻辑基础。教材通过“探究”栏目引导学生动手作图、测量、猜想，再通过严格的几何推理进行证明，体现了从实验几何到论证几何的过渡。

2.学生学情诊断

授课对象为九年级下学期学生，他们已具备以下认知基础：

1.知识储备：牢固掌握了全等三角形的四种判定方法（SSS,SAS,ASA,AAS）；理解了相似多边形及相似三角形的定义；初步了解了平行线分线段成比例的基本事实及其推论（平行于三角形一边的直线截其他两边，所得对应线段成比例）。

2.能力水平：具备一定的尺规作图能力、观察归纳能力和简单的逻辑推理能力。能够进行类比学习，如将相似判定与全等判定进行类比。

3.潜在困难：其一，从“量”的相等（全等）到“比”的相等（相似）的思维转换仍需强化；其二，对判定定理中“夹角相等”这一条件的必要性理解不深，易与“两边成比例且其中一边的对角相等”混淆；其三，在复杂图形中准确识别或构造出符合判定条件的三角形对，是综合应用的难点。

4.学习心理：九年级学生抽象逻辑思维日趋成熟，乐于接受具有挑战性的推理任务，但对长时间、高强度的纯理论推导可能产生疲劳感，需穿插直观操作与实际应用以维持兴趣。

（三）教学目标（核心素养导向）

基于以上分析，确立本课时教学目标如下：

1.知识与技能：

1.2.探索并理解相似三角形的判定定理：三边成比例的两个三角形相似（SSS判定）；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似（SAS判定）。

2.3.能够严谨地写出这两个判定定理的证明过程，理解其证明思路（构造过渡三角形，利用平行线判定）。

3.4.能准确、灵活地运用SSS和SAS判定定理，证明两个三角形相似，并解决相关的几何计算与证明问题。

5.过程与方法：

1.6.经历“动手操作（画图、测量）→提出猜想→逻辑证明→形成定理”的完整数学探究过程，体会从特殊到一般、类比、转化等数学思想方法。

2.7.通过对比全等三角形的判定方法，深化对相似判定“宽松化”（等量关系变为等比关系）本质的认识，发展类比迁移能力。

3.8.在解决实际问题的过程中，学会建立相似三角形模型，发展数学建模能力。

9.情感、态度与价值观：

1.10.在探究与证明中感受数学的严谨性与逻辑之美，增强克服困难的信心和理性精神。

2.11.通过了解相似三角形判定在工程测量、艺术构图、物理光学等领域的广泛应用，体会数学的实用价值与文化内涵，激发学习兴趣。

3.12.在小组合作探究中，学会倾听、表达与协作，培养科学探究的态度。

（四）教学重点与难点

1.教学重点：相似三角形SAS判定定理和SSS判定定理的探索、证明及其初步应用。

2.教学难点：

1.3.定理的证明：如何通过构造辅助线（平行线），将问题转化为利用平行线判定定理来证明，这是证明策略上的难点。

2.4.定理的灵活应用：在非标准图形或复杂综合题中，如何敏锐地识别或恰当地构造出满足条件的三角形对。

3.5.易错点辨析：深刻理解SAS判定中“夹角相等”的条件不可或缺，明确“两边成比例且其中一边的对角相等”不能作为判定依据。

（五）教学准备与资源

1.教师准备：多媒体课件（含动态几何软件演示，如GeoGebra）、三角板、圆规、导学案。

2.学生准备：直尺、圆规、量角器、练习本、导学案。

3.技术整合：利用GeoGebra动态演示任意改变三角形边长和角度，实时验证猜想，增强直观性；展示跨学科应用案例图片或视频。

二、教学实施过程设计（总时长：45分钟）

第一环节：情境导入，温故孕新（预计时长：5分钟）

1.问题回顾，建立联系

教师提问：

（1）我们已学过判定两三角形相似的最基本方法是什么？（根据定义：三个角对应相等，三边对应成比例）

（2）用定义证明相似，需要验证六个条件，过程繁琐。有没有更简便的判定方法？

（3）上节课我们学习了一种基于平行线的判定方法，谁能复述？（平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似）

（4）这个判定方法的前提是什么？（必须有平行线）如果题设中没有平行线，我们该如何判定两个三角形相似呢？

设计意图：通过连环提问，引导学生回顾旧知，明确定义的局限性和已学判定方法的条件限制，自然引出探索新判定方法的必要性，激发认知冲突和探究欲望。

2.类比猜想，明确方向

教师引导：“回顾我们学习全等三角形的判定，从最初的‘定义’（三边三角相等）到简化的‘SSS’、‘SAS’、‘ASA’、‘AAS’。那么，对于相似三角形，是否也存在类似的简化判定方法呢？请大家类比猜想：至少需要哪些条件，就可以判定两个三角形相似？”

学生可能猜想：三边对应成比例？两边成比例且夹角相等？两角分别相等？

教师肯定学生的猜想，并指出两角相等的判定将在下节课研究，本节课聚焦于从“边”的角度进行探索。

设计意图：利用学生已有的全等三角形判定知识结构，通过类比进行猜想，为他们自主探究指明方向，同时渗透类比思想，培养知识迁移能力。

第二环节：合作探究，构建新知（预计时长：20分钟）

探究活动一：三边成比例的两个三角形相似（SSS判定）

步骤1：动手操作，提出猜想

学生活动（小组合作）：

1.任务A：在导学案上，画定△ABC，使AB=6cm,BC=8cm,AC=10cm。

2.任务B：画△A‘B’C‘，使A’B‘=9cm,B’C‘=12cm,A’C‘=15cm。用量角器测量∠A与∠A‘，∠B与∠B’，∠C与∠C‘的大小。计算AB/A’B‘,BC/B’C‘,AC/A’C‘的比值。

3.任务C：画△A’‘B’‘C’‘，使A’‘B’‘=3cm,B’‘C’‘=4cm,A’‘C’‘=5cm。重复测量与计算。

4.问题引导：观察你画出的三角形，它们与△ABC形状上有什么关系？测量出的对应角有什么关系？计算的比值有什么关系？

学生通过操作与计算，能直观发现△A‘B’C‘、△A’‘B’‘C’‘都与△ABC形状相同（相似），对应角相等，三组对应边的比值都相等（均为2:3或2:1）。

猜想：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。

步骤2：逻辑证明，形成定理

这是本环节的核心与难点。教师引导学生将文字猜想转化为符号语言，并共同完成证明。

1.已知：在△ABC和△A‘B’C‘中，AB/A’B‘=BC/B’C‘=CA/C’A‘=k。

2.求证：△ABC∽△A‘B’C‘。

3.分析：如何证明？定义需要证三角相等、三边成比例。现在已知三边成比例，只需证对应角相等。如何由“边”的关系推导出“角”的关系？能否转化为我们熟悉的判定方法？（平行线判定）关键：构造一个与△A‘B’C‘全等，且与△ABC有特殊位置关系（如一边平行或重合）的三角形。

4.证明思路建构（师生共析）：

1.5.构造过渡三角形：在△ABC的边AB、AC（或它们的延长线）上截取AD=A‘B’，AE=A‘C’。连接DE。目标：证明△ADE≌△A‘B’C‘，且DE∥BC。

2.6.证明全等：由作法AD=A‘B’，AE=A‘C’。由已知比例式AB/A‘B’=AC/A‘C’=k，可得AB/AD=AC/AE=k。这为下一步证明平行提供了条件。

3.7.证明平行：由AB/AD=AC/AE，根据“如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边”的逆定理（可由平行线分线段成比例推论证明），可得DE∥BC。

4.8.利用平行线判定相似：由DE∥BC，根据上节课所学，可得△ADE∽△ABC。

5.9.完成链条：因为△ADE≌△A‘B’C‘（SAS，由AD=A’B‘，∠A=∠A，AE=A’C‘及已知夹角相等？这里发现漏洞！已知条件只有边成比例，未告知角相等！因此，在构造时，我们必须保证所截取的角∠DAE等于∠BAC，也就是∠A。所以正确作法是在AB上截取AD=A’B‘，在AC上截取AE=A’C‘，并确保∠DAE=∠BAC（实际上就是同一个角∠A）。这样，由SSS可证△ADE≌△A‘B’C‘吗？不，是SAS（AD=A’B‘，∠A=∠A’？不对，∠A‘是△A’B‘C’的角，我们不知道它是否等于∠A。这里遇到关键障碍！）

这个分析过程故意暴露思维困境，让学生意识到直接构造全等再证平行的思路在仅有边比条件下行不通。此时，教师揭示正确的证明策略：反向构造。

10.教师精讲，展示规范证明：

证明：在线段AB（或它的延长线）上截取AD=A‘B’，过点D作DE∥BC，交AC（或它的延长线）于点E。

∵DE∥BC，

∴△ADE∽△ABC（平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似）。

∴AD/AB=AE/AC=DE/BC。

又∵AB/A‘B’=BC/B‘C’=CA/C‘A’=k，且AD=A‘B’，

∴AD/AB=A‘B’/AB=1/k？不，应是AB/AD=k，所以AD/AB=1/k。

同理，应有AE/AC=1/k,DE/BC=1/k。

即AE=(1/k)*AC,DE=(1/k)*BC。

但我们需要证明△ADE≌△A‘B’C‘。比较边：AD=A’B‘(已作)。我们需要AE=A’C‘,DE=B’C‘。

由已知AC/A‘C’=k=>A‘C’=AC/k。而AE=AC/k，所以AE=A‘C’。

同理，由BC/B‘C’=k=>B‘C’=BC/k。而DE=BC/k，所以DE=B‘C’。

在△ADE和△A‘B’C‘中，

AD=A‘B’(已作)，

AE=A‘C’(已证)，

DE=B‘C’(已证)，

∴△ADE≌△A‘B’C‘(SSS全等)。

∴△ABC∽△A‘B’C‘(因为△ADE∽△ABC，且△ADE≌△A‘B’C‘)。

至此，定理得证。教师强调辅助线作法和证明的关键转化：通过作平行线，先得到一个与△ABC相似的△ADE，再通过计算比例证明这个△ADE恰好与△A‘B’C‘全等，从而建立△ABC与△A’B‘C’的相似关系。

步骤3：归纳定理，语言表述

师生共同归纳：判定定理1：三边成比例的两个三角形相似。

符号语言：在△ABC和△A‘B’C‘中，若AB/A‘B’=BC/B‘C’=CA/C‘A’，则△ABC∽△A‘B’C‘。

探究活动二：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似（SAS判定）

步骤1：类比迁移，提出猜想

教师引导：“类比全等的SAS判定，对于相似，如果两个三角形有两边对应成比例，并且它们的夹角相等，这两个三角形相似吗？”

学生利用GeoGebra进行动态验证：任意画△ABC，再画△A‘B’C‘，满足A’B‘/AB=A’C‘/AC=k（k可滑动调整），且∠A’=∠A。观察两个三角形是否总是相似。改变k值和∠A的大小，结论依然成立。

猜想：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。

步骤2：自主尝试，证明定理

学生小组尝试仿照SSS判定的证明思路，独立完成证明。教师巡视指导。

1.已知：在△ABC和△A‘B’C‘中，AB/A‘B’=AC/A‘C’=k，且∠A=∠A‘。

2.求证：△ABC∽△A‘B’C‘。

3.证明思路提示：同样采用构造法。在AB、AC上截取AD=A‘B’，AE=A‘C’，连接DE。此时，由SAS可立即证得△ADE≌△A‘B’C‘。再通过比例关系证明DE∥BC，从而得到△ADE∽△ABC，进而推出结论。

学生板演或口述证明过程，师生共同评议、规范。

步骤3：辨析强化，明确条件

关键提问：“两边成比例且其中一边的对角相等”能判定相似吗？教师通过GeoGebra构造反例：画△ABC，AB=6,AC=8,∠B=40°。尝试画△A‘B’C‘，使A’B‘=9,A’C‘=12(满足AB/A’B‘=AC/A’C‘=2/3)，但∠B’=∠B=40°。学生发现，满足这些条件的△A‘B’C‘可以画出两个（一个锐角三角形，一个钝角三角形），它们与△ABC并不都相似。

结论：SAS判定中“夹角相等”这一条件至关重要，不可替换为“对角相等”。

步骤4：归纳定理，语言表述

判定定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。

符号语言：在△ABC和△A‘B’C‘中，若AB/A‘B’=AC/A‘C’，且∠A=∠A‘，则△ABC∽△A’B‘C’。

第三环节：典例精析，深化理解（预计时长：10分钟）

例1（基础应用，直接判定）：

根据下列条件，判断△ABC与△DEF是否相似，并说明理由。

(1)AB=4cm,BC=6cm,AC=8cm;DE=12cm,EF=18cm,DF=24cm.

(2)∠A=120°,AB=7cm,AC=14cm;∠D=120°,DE=3cm,DF=6cm.

(3)AB=6,BC=8,∠B=70°;DE=9,EF=12,∠E=70°。（此为陷阱题，辨析SAS条件）

教学处理：

1.(1)学生计算比值：4/12=1/3,6/18=1/3,8/24=1/3，三边对应成比例，根据SSS判定，相似。

2.(2)学生计算比值：7/3≈14/6，比值相等（均为7/3），且夹角∠A=∠D=120°，根据SAS判定，相似。

3.(3)学生易误用SAS。教师引导：∠B和∠E是AB、BC与DE、EF的夹角吗？在△ABC中，∠B是AB和BC的夹角；在△DEF中，∠E是DE和EF的夹角。条件中给出的边：AB与BC，DE与EF，恰好分别是这两组夹角的两边。因此，AB/DE=6/9=2/3,BC/EF=8/12=2/3，且夹角∠B=∠E=70°，满足SAS判定条件，两三角形相似。此题旨在强调“夹角”是成比例的两边所夹的角，需要仔细对照图形或表述进行判断。

例2（综合应用，寻找条件）：

如图，已知在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且AD=3cm,AB=8cm,AE=4cm,AC=10cm。

(1)求证：△ADE∽△ABC。

(2)若DE=3.5cm，求BC的长。

教学处理：

1.(1)引导学生分析已知条件：AD/AB=3/8,AE/AC=4/10=2/5，比值不等，不能直接用SAS。发现∠A是公共角。需要计算AD/AB和AE/AC吗？实际上，只需看AD与AE，AB与AC的比。AD/AE=3/4,AB/AC=8/10=4/5，也不等。怎么办？回到题目原始数据：AD=3,AB=8,AE=4,AC=10。可以考虑AD/AB和AE/AC，它们不等，但能否考虑AD/AE和AB/AC？也不等。那么是否不相似？教师提示：我们还有SAS判定吗？SAS要求的是夹角的两边成比例，即AD/AE与AB/AC是否成比例？AD/AE=3/4,AB/AC=4/5，3/4≠4/5，所以不满足SAS。那能否满足SSS？缺少DE和BC的关系。因此，在现有条件下，△ADE与△ABC不一定相似。这是一个非常好的反例，可以纠正学生“有公共角就想用SAS”的思维定势。教师可借助GeoGebra拖动点D或E，展示即使∠A公共，当AD/AB≠AE/AC时，两个三角形不相似。

2.改编题目：将条件改为“AD=4cm,AB=8cm,AE=5cm,AC=10cm”。此时，AD/AB=1/2,AE/AC=1/2，且∠A公共，满足SAS判定，可证相似。第(2)问利用相似比求解BC。

通过原题与改编题的对比，深刻理解SAS判定条件的严格性。

第四环节：课堂小结，升华认知（预计时长：5分钟）

1.知识框图梳理：师生共同构建相似三角形判定方法的当前知识结构图。

相似三角形的判定

├──定义法（三角等，三边成比例）-根基，但繁琐

├──平行线法（预备定理）-特殊位置关系

├──判定定理1（SSS）:三边成比例

└──判定定理2（SAS）:两边成比例且夹角相等

(预告：下一课时将学习判定定理3：AA)

2.思想方法提炼：回顾本节课，我们运用了哪些数学思想方法？（类比思想、转化思想、数形结合思想、从特殊到一般的思想）在证明定理时，关键的转化策略是什么？（通过构造平行线，将新问题转化为已解决的平行线判定相似问题）。

3.应用价值展望：简要展示一组图片：埃及金字塔高度测量（利用相似三角形SAS原理）、卡钳测量内径、相机镜头成像模型、地图绘制、艺术中的黄金分割构图等。让学生感受本节课所学定理是解决这些实际问题的核心数学模型，体会数学源于生活又服务于生活。

第五环节：分层作业设计（预计时长：课后完成）

遵循“双减”政策精神，设计基础巩固、能力提升、拓展探究三个层次的作业，满足不同学生的学习需求。

A层：基础巩固（必做，约15分钟）

1.概念理解：判断题（对的画“√”，错的画“×”）。

(1)两个等边三角形一定相似。（）

(2)两个等腰三角形一定相似。（）

(3)两个直角三角形一定相似。（）

(4)一个三角形的三边长分别为3,4,5，另一个三角形的三边长分别为6,8,10，则这两个三角形相似。（）

(5)在△ABC和△DEF中，若AB/DE=AC/DF，∠B=∠E，则△ABC∽△DEF。（）

2.直接应用：根据下列条件，判断△ABC与△A‘B’C‘是否相似，并说明理由。

(1)AB=5,BC=7,AC=9;A‘B’=15,B‘C’=21,A‘C’=27.

(2)∠A=50°,AB=4,AC=6;∠A‘=50°,A’B‘=6,A’C‘=9.

(3)AB=8,BC=10,CA=12;A‘B’=12,B‘C’=15,C‘A’=18.

3.简单计算：如图，已知△ADE∽△ABC（需先证明），且AD=2,BD=4,AE=3，求AC的长。

B层：能力提升（必做，约20分钟）

1.条件开放：如图，要使△ACD∽△ABC，需要添加什么条件？（请从边和角的角度写出两种不同的条件，并说明依据的判定定理）。

2.推理证明：如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且OA=1,OB=1.5,OC=3,OD=2。求证：(1)△OAD∽△OCB；(2)AD∥BC。

3.实际应用：小颖同学欲测量校园内一棵古树的高度。她在某一时刻测得身高1.6米的同学的影长为1米，同时测得古树的影长为8米。请利用相似三角形的知识，帮助小颖计算出古树的高度。若她还想知道自己距离古树有多远，还需要测量哪些数据？请设计一个测量方案。

C层：拓展探究（选做，供学有余力学生挑战）

1.探究“边边角”（SSA）：我们知道，对于相似三角形，“两边成比例且其中一边的对角相等”（SSA）不能作为判定依据。请利用GeoGebra或尺规作图，尝试构造两个三角形，满足AB/A‘B’=AC/A‘C’=k(k≠1)，∠B=∠B‘，但这两个三角形不相似。写出你的作图步骤，并说明它们为什么不相似。这对你理解三角形解的个数（“边边角”情形的歧义性）有何启示？

2.跨学科项目启航：【光影艺术家】项目任务书（第一部分）

1.3.背景：摄影师、电影摄影师和画家常常利用相似三角形的原理来构图和安排透视。例如，在透视学中，平行线会在远处交汇于一点（灭点），这构成了无数个相似三角形。

2.4.任务：请拍摄一张或寻找一张体现“近大远小”透视感的街道、铁路或走廊的照片。在照片上（或复印后手绘）：

a)标出主要的平行线组及其灭点。

b)尝试找出至少两组相似三角形，并用本节课所学的SSS或SAS判定方法说明它们为什么相似（需要你进行合理的测量和估算）。

c)写一段简短的文字，说明相似三角形原理是如何在这张照片的视觉效果中起作用的。

3.5.成果：将你的照片、标注图和分析文字制作成一张A4大小的海报。

作业设计意图说明：

A层作业面向全体，紧扣当堂基础知识与技能，确保底线达标。B层作业侧重于知识的综合应用、逻辑推理和简单的数学建模，促进学生思维从“识记”向“理解应用”迈进。C层作业是开放性的探究与跨学科项目起始任务，旨在激发学生兴趣，培养批判性思维、创新意识和综合实践能力，将数学学习延伸到更广阔的世界。

三、板书设计（计划性布局）

主板：

课题：27.2.1相似三角形的