一次函数背景下等腰三角形存在性问题探究（北师大版八年级上册）

一次函数背景下等腰三角形存在性问题探究（北师大版八年级上册）

一、教材分析与教学解读

（一）教学内容解析

本节课内容属于北师大版八年级上册第四章《一次函数》的专题复习课，是在学生系统学习了一次函数的图象与性质、待定系数法求解析式，以及等腰三角形的定义与性质之后，对知识进行的一次深度整合与拓展应用。其核心是将几何图形——等腰三角形的存在性问题，置于平面直角坐标系和一次函数的背景下进行研究。这不仅是对函数与几何知识的简单拼接，更是对学生数形结合思想、分类讨论思想以及方程思想的一次集中培养与检验。该内容在教材体系中起到了承上启下的关键作用，既是对当前一次函数知识的深化应用，也为后续学习二次函数中的相似三角形、特殊四边形存在性问题奠定方法论基础。

（二）学情分析

【基础】学生已经掌握了一次函数的基本形式及点的坐标求法，熟悉等腰三角形的性质（两腰相等、三线合一）。然而，将静态的等腰三角形置于动态的一次函数背景下，对学生而言是一次思维上的跃升。

【难点】学生的思维难点主要集中在三个方面：一是【难点】无法准确识别问题中的“变”与“不变”，即动点在运动过程中，三角形的哪些量在变，哪些关系是恒定的；二是【难点】对构成等腰三角形的多种可能性缺乏系统的分类标准，容易遗漏情况；三是【难点】如何将几何中的等量关系（如腰相等、垂直）准确地转化为代数中的方程，即几何条件代数化的过程存在障碍。

（三）核心素养导向

本节课以“问题链”为驱动，引导学生在探究活动中，逐步形成利用坐标系研究几何图形的意识，提升直观想象（通过画图感知点的位置）、逻辑推理（分类讨论的依据）和数学运算（方程求解）等核心素养。教学设计的最高水准在于，不是直接灌输解题技巧，而是引导学生像数学家一样思考，从无到有地建立起解决此类问题的通解通法。

（四）教学目标

1.掌握在平面直角坐标系中，已知一次函数图象上两定点，探究第三点（在函数图象上或坐标轴上）构成等腰三角形的通用方法。掌握【重要】“两圆一线”的几何构图法。

2.理解并掌握【高频考点】等腰三角形存在性问题中“分类讨论”的标准（按顶点分类），并能根据不同的分类情况，运用两点间距离公式或特定几何性质（如K型全等）建立方程求解。

3.经历“几何直观作图—代数精准计算—双重验证取舍”的完整探究过程，深刻体会数形结合思想、分类讨论思想和方程思想在解决综合问题中的价值。

4.在小组合作与交流中，通过质疑和辩驳，培养思维的严谨性和批判性，感受数学探究的乐趣。

（五）教学重难点

1.【非常重要】教学重点：掌握“两圆一线”法确定动点位置，并能根据分类情况建立方程求解点坐标。

2.【非常重要】教学难点：如何根据题目条件（如动点所在直线位置、是否为坐标轴等）对等腰三角形的三种情况进行合理分类，并对求解结果进行几何意义的检验（去伪存真）。

二、教学准备与策略

（一）教学手段

采用“问题导出单”与“几何画板动态演示”相结合的方式。课前下发“问题导出单”，唤醒学生关于等腰三角形和一次函数的基础知识；课中利用几何画板，动态展示动点运动过程中三角形形状的变化，直观呈现不同等腰形态下的交点情况，帮助学生建立几何直观，突破分类讨论的思维瓶颈-2。

（二）学法指导

倡导“自主探究—合作交流—归纳建模”的学习方式。让学生在独立思考的基础上，动手画图尝试，再通过小组讨论辨析不同分类的合理性，最后在全班交流中共同提炼出解题的通性通法。

三、教学实施过程（核心环节）

（一）溯源启新：从“无系”到“有系”的问题情境

教师首先抛出一个脱离坐标系的纯几何问题：平面内有一条定线段AB，请找出一点C，使得三角形ABC是等腰三角形。学生通过回忆，能够想到点C的轨迹是分别以A、B为圆心，AB长为半径的两个圆，以及线段AB的垂直平分线（即“两圆一线”）。教师顺势引导：当我们将这个几何问题放入平面直角坐标系，并给点A和B赋予坐标时，如何精确地找出点C的坐标？由此引出本节课的核心课题。此环节旨在建立新旧知识的联系，将“两圆一线”从几何直观过渡到代数求解的舞台。

（二）模型构建：“两定一动”型等腰三角形存在性探究

【基础】本环节以“两点固定，一动点在特定直线上”的经典模型为例题，展开深度探究。

例题呈现：如图1，在平面直角坐标系中，一次函数y=-4/3x+4的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B。已知点P是y轴上的一个动点。

（1）求点A和点B的坐标。

（2）探究：当点P运动到何处时，△ABP是以AB为腰的等腰三角形？

（3）探究：是否存在点P，使得△ABP是以AB为底边的等腰三角形？若存在，求出其坐标。

图1：一次函数图象与坐标轴围成的三角形，y轴上一动点P

教学实施步骤分解：

1.【基础】定标定线：学生快速求解，得A(3,0)，B(0,4)。教师强调，这是后续所有几何关系的基础。

2.【重要】几何作图，明确分类标准（以AB为腰）：

1.3.教师提问：“以AB为腰”是什么意思？谁来当顶角的顶点？引导学生明确：腰为AB，意味着AB是等腰三角形的两条相等边中的一条。那么，顶角顶点可以是A，也可以是B，还可以是P吗？（若P为顶角顶点，则PA=PB，此时AB为底，这属于第三问的情形）。因此，本问需要分两种情况：

1.2.4.情况一：当AB=AP（即点A为顶角顶点）。

2.3.5.情况二：当AB=BP（即点B为顶角顶点）。

4.6.【非常重要】“两圆一线”的落地：如何直观找到满足条件的点P？

1.5.7.针对情况一（AB=AP）：以点A为圆心，以线段AB的长度为半径画圆。该圆与y轴的交点，即为所求的点P（因为圆上所有点到点A的距离都等于半径AB）。教师用几何画板演示，学生观察交点数。

2.6.8.针对情况二（AB=BP）：同理，以点B为圆心，以线段AB的长度为半径画圆。该圆与y轴的交点，即为所求的点P。

7.9.归纳：这便是【非常重要】“两圆一线”中的“两圆”，专门用于解决“以定线段为腰”的情形。

10.【高频考点】代数求解，方程思想落地：

1.11.教师引导：几何画板帮我们看到了交点，但交点的精确坐标需要用代数方法算出来。

2.12.回顾两点间距离公式：在坐标系中，两点间的距离可由勾股定理推导，即d²=(x₁-x₂)²+(y₁-y₂)²。

3.13.计算定长AB：由A(3,0),B(0,4)，根据勾股定理或距离公式，易得AB=5。这是非常重要的一个常量。

4.14.情况一求解：设P点坐标为(0,m)（因为P在y轴上）。由AB=AP，得5²=(3-0)²+(0-m)²。即25=9+m²。解得m=±4。故P₁(0,4)（此点与B重合，三角形退化，舍去），P₂(0,-4)。这里教师要特别强调【难点】“检验”的重要性：当P与B重合时，构不成三角形，必须舍去。

5.15.情况二求解：由AB=BP，得5²=(0-0)²+(4-m)²。即25=(4-m)²。解得4-m=±5，即m=-1或m=9。故P₃(0,-1)，P₄(0,9)。经检验，两点均不与A、B共线，都符合要求。

16.【难点】几何作图，明确分类标准（以AB为底）：

1.17.教师追问：现在来看第（3）问，若AB为底，即PA=PB，此时的点P又该如何寻找？引导学生思考：到线段两端距离相等的点，在线段的垂直平分线上。

2.18.【非常重要】“两圆一线”的落地：作线段AB的垂直平分线，该直线与y轴的交点，即为所求的点P。

3.19.教师演示：利用几何画板作出AB的垂直平分线，动态展示其与y轴的交点。

20.【高频考点】代数求解，综合几何性质：

1.21.求垂直平分线的解析式：这里有两种思路。一是利用点P满足PA=PB列方程；二是先求出AB的中点坐标，再根据AB的斜率求出垂直平分线的斜率，利用点斜式求解。

1.2.22.方法一（纯代数）：设P(0,n)，由PA=PB得(3-0)²+(0-n)²=(0-0)²+(4-n)²。化简得9+n²=(4-n)²。解得n=7/8=0.875。故P₅(0,7/8)。

2.3.23.方法二（数形结合）：中点坐标公式求AB中点M(1.5,2)。直线AB的斜率k_AB=(4-0)/(0-3)=-4/3，则垂直平分线的斜率k_perp=3/4。利用点斜式，过M，斜率为3/4的直线方程：y-2=3/4(x-1.5)。令x=0，得y=2-3/4*1.5=2-1.125=0.875。结果一致。

24.【热点】归纳小结，提炼通法：

1.25.在教师的引导下，师生共同总结解决“两定一动”型等腰三角形存在性问题的标准步骤：

1.2.26.第一步：【重要】几何定位（画图）：运用“两圆一线”法，即分别以两个定点为圆心，定长为半径画圆；作两定点间线段的垂直平分线。这些图形与动点所在轨迹（直线或曲线）的交点，即为可能的动点位置。这一步骤保证了思维的全面性，不重不漏。

2.3.27.第二步：【重要】代数求解（计算）：根据第一步的分类，设出动点坐标，利用两点间距离公式或特定几何关系（如中点坐标、垂直关系）建立方程。

3.4.28.第三步：【非常重要】结果检验（取舍）：将求得的解代回原题，检验是否满足构成三角形的条件（三点不共线），以及是否符合题目的实际背景（如点在坐标轴正半轴等），舍去不符合要求的点。

（三）思维进阶：当动点位置“隐藏”在函数图象上

在掌握了基础模型后，将问题难度提升，将动点从坐标轴上“转移”到一次函数的图象上，考察学生的知识迁移能力。

变式训练：条件不变（一次函数y=-4/3x+4与坐标轴交于A、B），点P是直线AB上的一个动点。试问：在直线AB上是否存在点P，使得△PAB是以AB为腰的等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标。

教学实施要点：

1.引发认知冲突：学生习惯性地认为点P还在y轴上，当发现P在直线AB上时，需要重新调整思维。

2.【难点】重构分类，灵活运用“两圆一线”：

1.3.同样是以AB为腰，但顶角顶点是谁？

1.2.4.若A为顶角顶点：则AB=AP。此时，点P应在以A为圆心，AB长为半径的圆上。而点P又要在直线AB上。因此，P是圆A与直线AB的交点。显然，除了B点本身外，还有一个交点（在AB的延长线上）。利用距离公式，设P(x,-4/3x+4)，代入AP=AB=5求解。

2.3.5.若B为顶角顶点：则BA=BP。同理，P是以B为圆心，BA长为半径的圆与直线AB的交点。除了A点本身外，也应有另一个交点（在BA的延长线上）。利用距离公式求解。

3.4.6.若P为顶角顶点：则PA=PB，即P在AB的垂直平分线上。这是垂直平分线与直线AB的交点。

7.代数运算的复杂化：学生在求解方程时，会遇到一元二次方程，这需要他们具备更扎实的运算能力。教师在此时应强调耐心与细心，并引导他们利用因式分解简化运算。

8.【热点】结果的多解性与几何验证：学生求出多个解后，再次利用几何画板验证，直观感受这些点确实在直线上，且构成等腰三角形，进一步强化“数”与“形”的对应关系。

（四）综合应用：坐标系中的“等长”转化与方程建模

本环节引入更复杂的问题情境，让学生体会等腰三角形条件除了用距离公式直接翻译外，还可通过构造全等三角形（如K型全等）实现等量关系的转化，这能大大简化计算-4。

综合题：如图2，在平面直角坐标系中，直线l₁:y=-2x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B。将线段AB绕点B逆时针旋转90°得到线段BC。

（1）求点C的坐标；

（2）点P是y轴上一动点，是否存在点P使得△PBC是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标。

图2：直线l₁，点B，旋转后的线段BC，点P在y轴上

教学实施流程：

1.第一问：【基础】构造全等求坐标。引导学生过点C向y轴作垂线，构造“K型全等”（△AOB≌△BEC），利用全等三角形的对应边相等，求出点C的坐标。这是解决旋转问题的经典方法，也是为第二问做铺垫。

2.第二问：【非常重要】综合应用。此问中，B、C为定点，P为y轴上的动点。再次回到“两圆一线”的模型框架中。但计算时，可以结合第一问中得到的全等关系，为求解提供便利。

1.3.分类讨论：分别以B、C、P为顶角顶点进行分类。

2.4.简化计算技巧：例如，当求PB=PC（P为顶角顶点）时，P既在y轴上，又在BC的垂直平分线上。此时若能求出BC中点坐标和BC的斜率，快速写出垂直平分线方程，再令x=0求解，效率远高于用距离公式硬解。教师应鼓励学生探索多种解法，比较优劣。

3.5.无解情况的讨论：在某些分类下，方程可能无解，或解出的点与B、C共线。教师引导学生分析为何无解，从几何图形上解释原因（例如，以某点为圆心画圆，圆与y轴根本不相交），加深对几何约束的理解。

（五）课堂总结与思维升华

教师组织学生以小组为单位，围绕以下问题进行总结分享：

1.今天我们解决了一次函数中的等腰三角形问题，我们运用的核心策略是什么？（【非常重要】分类讨论、“两圆一线”、数形结合、方程思想）

2.在求解点的坐标时，我们用了哪些代数手段？（两点间距离公式、中点坐标公式、斜率关系、构造全等三角形）

3.为什么求出的解有时需要舍去？检验的标准是什么？（三点不共线、点不在坐标轴负半轴等实际限制）

4.你最大的收获是什么？或者还有哪些困惑？

通过学生的反思与交流，教师最后进行提炼：面对复杂的动态几何问题，我们要有“化动为静、分类定格”的思维策略，先用几何的眼光去观察和猜想，再用代数的工具去计算和验证。这种数形结合的能力，是打开函数与几何综合大门的金钥匙。

四、教学评价设计

（一）过程性评价

1.课堂观察：关注学生在小组讨论中的参与度，是否能提出有价值的分类意见，是否能对他人的解法进行质疑或补充。

2.问题导出单：检查学生对等腰三角形性质和一次函数基础知识的掌握情况，以及预习中的困惑点。

（二）形成性评价

设计一道当堂检测题，要求覆盖本节课的核心考点：

当堂检测：如图，直线y=x+3与x轴、y轴分别交于点A、B，点C的坐标为(0,1)。点P是直线AB上的一个动点。

（1）求△ABC的面积。

（2）若以A、C、P为顶点的三角形是等腰三角形，求点P的坐标。

设计意图：第（1）问为基础题，巩固面积求法；第（2）问为综合题，需要学生先识别出A、C为定点，P在直线AB上，然后运用“两圆一线”法进