2026年湖南省湘潭市高一下学期第一次月考数学练习卷（人教A版）（解析版）

2026年湖南省湘潭市高一下学期第一次月考练习卷数学试题（解析版）题号12345678910答案ADBCBDCBBCABC题号11答案AC1．A【分析】直接利用向量的基础知识的应用求出结果.【详解】对于①：零向量与任一向量平行，故①正确；对于②：若，则，必须有，故②错误；对于③：，与不共线，故③错误；对于④：，根据三角不等式的应用，故④正确；对于⑤：若，则为一个三角形的三个顶点，也可为，故⑤错误；对于⑥：一个平面内，任意一对不共线的向量都可以作为该平面内所有向量的基底，故⑥错误.综上：①④正确.故选：A.【点睛】本题考查的知识要点：向量的运算的应用以及相关的基础知识，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题．2．D【分析】根据中线的性质，可得为重心；根据向量垂直，即得到是垂心.利用数量积的定义可判断为内心.【详解】由，则，取的中点，则，所以，所以是的重心；由，得，即，所以，同理，所以点为的垂心.由，得，则，而点在内，则，即，因此平分角，同理分别平分，从而点是的内心，故选：D3．B【分析】先用平方去掉条件中的绝对值号，通过解不等式求出，再用向量的三角不等式求最小值.【详解】平方去绝对值号，由，则，根据向量与的条件可得，化简可得，令，由于函数开口向上，所以需要满足，所以.观察所求式子内部，两者相减可将约掉，所以可用向量的三角不等式求解，即，又，则的最小值为4．C【分析】根据题意，结合向量分析运算，列出方程求解，即可得到结果.【详解】每次跳跃的路径对应的向量满足为整数且，所有可能的向量坐标为，因为求跳跃次数的最小值，则不妨只取，设对应的跳跃次数分别为，其中，可得则，两式相加可得，因为，则或，当时，则次数为；当时，原方程组无解，舍去.综上所述：跳跃次数最小值为10.故选：C5．B【分析】设，若以所在射线为终边的一个角为，则以所在射线为终边的角为.由此可得的坐标，根据列出方程，求得，即可得到的坐标.【详解】设，若以所在射线为终边的一个角为，则以所在射线为终边的角为.因为，所以.又，所以.所以.即，解得.所以.故选：B.6．D【分析】根据题意建立坐标系后，画出图形，通过平面向量基本定理分析，可设点E为AB的四等分点（靠近点A），通过计算得出，通过计算可知为定值，故知点E在以O为圆心，以为半径的圆上，所以当点E在CO的延长线与圆的交点时，最长，即取最大值.【详解】由已知，，，在中，由余弦定理得，即向量与的夹角为.取，所以，所以.同理可知，，所以，所以点E在以O为圆心，以为半径的圆上.如图所示，所以点E在CO的延长线与圆的交点位置时，最大，此时，易知，所以，即的最大值为..7．C【分析】根据复数加减的几何意义，，结合，可得，再由即可求解．【详解】由题意知复数在复平面内对应的点的坐标为，设复数在复平面内对应的点的坐标为，，，则，又，所以，即，，，当且仅当在线段上取等号，，且，，当时取等，综上，当点在时等号同时成立，取得最小值3，即的最小值为3．故选：C8．B【分析】由三角恒等变换可得，据此判断费马点的位置，由余弦定理及条件求出，再由等面积法求出，利用费马点转化为向量数量积即可得解.【详解】已知，由正弦定理得，由，，则有，即，，，有，得，因为，所以，所以，所以.由三角形内角和性质知：内角均小于，结合题设易知：P点一定在三角形的内部，再由余弦定理知，，又因为，所以，所以，所以.由，等号左右两边同时乘以可得：，则.故选：B.9．BC【分析】先得出集合的元素个数，再判断子集个数，判断A；列举可判断B；由展开可得，先求出的范围，即可求的范围，判断C；由对称性可判断D.【详解】由对称性，可得，其中，当时，；当时，；当时，；所以不同的序数对有：，共19种；则集合共有19个元素，其子集个数为个，故A错误；B选项，，列举可得，故B正确；C选项，，当在正六边形边的中点时，，当在正六边形边的顶点时，，则，则，故C正确；D选项，由对称性，对于任意非零向量，存在，则，则集合中任意两个元素的数量积全都相加，它们的和为0，故D错误；故选：BC.10．ABC【分析】对于A：根据题意结合点的对称性分析判断即可；对于B：根据题意结合模长以及数量积的运算律分析判断；对于C：根据题意结合向量共线分析判断即可；对于D：根据题意结合向量的线性运算分析判断即可.【详解】对于A，，设关于点的对称点为，则，因为，不共线，所以，A错误；对于B，因为，所以，当向量，是相互垂直的单位向量时，，两点间的距离为，否则距离不为，B错误；对于C，当或是时，结论成立；当与都不为时，设（），有，即，所以，C错误；对于D，，所以线段中点的广义坐标为，D正确故选：ABC.11．AC【分析】利用共轭复数的概念计算判断选项A、B，利用韦达定理计算判断选项C，利用反例法判断选项D．【详解】选项A、B：设，则，，，，故A正确；，，，，故B错误；选项C：已知是方程的两根，由韦达定理得，，故C正确；选项D：令，满足，但，故，不能推出，故D错误．故选：AC．12．【分析】先根据三角形内心向量性质得出向量关系，再根据向量表示唯一性确定值．【详解】点为的内心，即为角平分线交点，如下图所示，的角平分线交于，则，，故，，，，．故答案为：．13．②④【分析】建立平面直角坐标系，求得，，，的坐标，设，根据建立等量关系，然后对4个说法进行分析，结合三角恒等变换、向量数量积运算、三角函数的最值等知识确定正确答案.【详解】如图，作，分别以为x，y轴建立平面直角坐标系，则，，，，设，则由可得，，且，对于①，若，则，解得（负值舍去），故，①错误；对于②，若，则，于是，故②正确；对于③，由于，故，故，故③错误；对于④，由于，则，而，则，故，故④正确.14．4【分析】设，由可得，由可得，进而得到比例关系，结合模的平方和可得，同时由辐角关系推出，结合条件可求得，进而.【详解】设，则，由可得，即，所以有，于是，则有，即，由可得，即，，，则则有，故答案为：4.15．(1)，．(2)【分析】（1）利用向量夹角的坐标表示，即可求的解析式；（2）由且，结合对勾函数值域的求法，即可得的最值，进而得出结果.【详解】（1）因为，，所以，．所以，则所以，．（2）因为，令，，因为在上单调递减，所以在上单调递增，所以，所以，即．又因为，所以．16．(1)(2)①12；②【分析】（1）根据角的关系求得，在、中，分别由正弦定理可得，，由商数关系求的值；（2）由，可得，对于①在、、中由余弦定理结合代数运算可得，再根据面积可求的值；②由面积公式结合余弦定理可得，结合①可得，平方展开运算得解.【详解】（1）在中，，所以，而为锐角，故，所以，所以，而，故.又，故，在中，由正弦定理有，所以，在中，由正弦定理有，所以，所以，故.（2）因为，所以，即，①，所以在中，，在中，，在中，，三式相加得，整理得：.②又又由①知，所以，故，整理得：，即，所以，即，所以.17．(1)2(2)4(3)证明见解析【分析】（1）结合所给定义计算即可得；（2）设出的实部与虚部，结合绝对值三角不等式放缩即可得解；（3）设，结合函数单调性与零点的存在性定理，分、与进行讨论即可证明函数必存在唯一的零点，并可得的范围，从而可结合模长定义计算得到结果.【详解】（1）.（2）设，由，得，所以，当，时等号成立，所以的最大值为4.（3）由条件可知，所以，设，当时，和是单调递增函数，则在上单调递增，又，，所以在上有唯一的零点，即在上有唯一的零点，当时，是单调递增函数，得，先增后减，且，因此，即在上没有零点，当时，是单调递增函数，则，而，因此，即在上没有零点，综上，当时,必存在唯一的零点，当时，，且得，所以,其中，此时是单调递增函数，所以，从而，所以当时，.18．点对应的复数为，点对应的复数是．【分析】结合矩形特征与条件，利用复数的三角形式进行有关的模的变化与辐角变化求得向量对应的复数，再由，即可求得点对应的复数，同理可得点对应的复数.【详解】由题意可知，向量可以看作向量的长度扩大为原来的倍，并绕点按顺时针方向旋转后得到．因向量对应的复数为，故向量对应的复数为．因为，则点对应的复数为．同理可得点对应的复数是．19．(1)，.(2)证明详见解析.(3)