专题7.2平行线及其判定 解析版

专题7.2平行线及其判定【考点梳理】考点一：两直线的位置关系 考点二：平行公理及推论考点三：同位角判断直线平行 考点四：内错角相等判断直线平行考点五：同旁内角互补判断直线平行 考点六：垂直于同一直线的两直线平行 考点七：平行判定的综合问题【知识梳理】知识点01平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，平行用符号“∥”表示.知识点02平行公理（唯一性）：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.知识点03平行公理的推论（传递性）：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.知识点04平行线的判定判定方法1：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.简称：同位角相等，两直线平行.判定方法2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.简称：内错角相等，两直线平行.判定方法3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.简称：同旁内角互补，两直线平行.判定方法4：垂直于同一直线的两直线互相平行．【题型探究】题型一：两直线的位置关系1．（24-25七年级下·全国）下列说法正确的有（

）①不相交的两条直线是平行线；②在同一平面内，两条不相交的线段是平行线；③两条射线或线段平行，是指它们所在的直线平行；④不相交的两条射线一定平行．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】B【分析】本题考查了平行线的认识，射线、线段、直线的认识，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答．【详解】解：在同一平面内，不相交的两条直线是平行线，故①②是错误的；两条射线或线段平行，是指它们所在的直线平行，故③是正确的；不相交的两条射线不一定平行，故④是错误的；故选：B．2．（23-24七年级下·黑龙江大庆·阶段练习）下列说法正确的是（

）A．不相交的两条直线是平行线B．在同一平面内，不相交的两条射线叫做平行线C．在同一平面内，两条直线不相交就重合D．在同一平面内，没有公共点的两条直线是平行线【答案】D【分析】本题考查了两条直线的位置关系、平行线的意义，熟练掌握相交线与平行线是解题关键．根据两条直线的位置关系、平行线的定义逐项判断即可得．【详解】解：A、在同一平面内，两条直线不相交就平行，则此项错误，不符合题意；B、在同一平面内，不相交的两条直线是平行线，则此项错误，不符合题意；C、在同一平面内，两条线段不相交，也有可能不重合，则此项错误，不符合题意；D、在同一平面内，没有公共点的两条直线相互平行，则此项正确，符合题意；故选：D．3．（24-25七年级下·全国）下列说法正确的是（

）A．在同一平面内，没有公共点的两条线段是平行线B．在同一平面内，不重合的两条直线是平行线C．在同一平面内，没有公共点的两条直线是平行线D．不相交的两条直线是平行线【答案】C【分析】此题考查了平行线的定义，熟记平行线的定义是解题的关键．根据平行线的定义判断求解即可．【详解】解：在同一平面内，没有公共点的两条直线是平行线，故A错误，不符合题意；同一平面内，不相交的两条直线是平行线，故B错误，不符合题意；同一平面内，没有公共点的两条直线是平行线，故C正确，符合题意；同一平面内，不相交的两条直线是平行线，故D错误，不符合题意；故选：C．题型二：平行公理及推论4．（24-25七年级上·福建厦门·期末）如图，是一个可折叠衣架，是地平线，当，时，就可以确定点，，在同一直线上，这样判定的依据是（

）A．两点确定一条直线B．同角的补角相等C．平行于同一直线的两直线平行D．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行【答案】D【分析】本题考查平行线的判定和性质，平行公理及推理，根据过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行解决问题即可，熟练掌握平行线的判定，过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行是解题的关键．【详解】解：∵，，∴，∵经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，∴点，，在同一直线上，故选：．5．（23-24七年级下·全国·单元测试）在数学课上，老师画一条直线a，按如图所示的方法，画一条直线b与直线a平行，再向上推三角尺，画一条直线c也与直线a平行，此时，发现直线b与直线c也平行，这就说明了（

）A．平行于同一条直线的两直线平行B．同旁内角相等，两直线平行C．两直线平行，同位角相等D．过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行【答案】A【分析】本题主要考查了平行线公理推论，根据平行线公理推论进行判断即可．【详解】解：∵，∴，∴这说明了平行于同一条直线的两直线平行，故选A．6．（23-24七年级下·河北石家庄·阶段练习）已知直线l，在同一平面内，甲、乙、丙得到如下结论，下列判断正确的是(

)甲：与直线l垂直的直线有且只有一条；

乙：经过一点，有且只有一条直线与直线l平行；丙：若两条直线a，b都与直线l平行，则直线a，b平行A．甲对乙错 B．甲错乙对C．甲对丙错 D．乙错丙对【答案】D【分析】本题考查的是平行线公理及推论，牢记平行公理是关键，根据平行公理及垂直的性质直接判断即可．【详解】解：已知直线l，在同一平面内，与直线l垂直的直线有无数条，故甲说法错误；经过直线外一点，有且只有一条直线与直线l平行，故乙说法错误；若两条直线a，b都与直线l平行，则直线a，b平行，故丙说法正确；故选：D．题型三：同位角判断直线平行7．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，下列条件不能判定的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键．利用平行线的判定方法对各选项逐项分析判断即可．【详解】解：A、，不能判定，故选项符合题意；B、，根据同位角相等两直线平行，可判定，故选项不符合题意；C、，根据同位角相等两直线平行，可判定，故选项不符合题意；D、，根据同位角相等两直线平行，可判定，故选项不符合题意；故选：A．8．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，直线、被直线所截，平分交于点．下列条件中，不能判定的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题主要考查了平行线的判定及角平分线的定义，解题时注意：平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．根据平行线的判定及角平分线的定义进行判断即可．【详解】解：A．根据内错角相等，两直线平行，由可得，故本选项不符合题意；B．∵平分交于点．，∵，，根据内错角相等，两直线平行，由可得，故本选项不符合题意；C．∵，，∴，根据同位角相等，两直线平行，由可得，故本选项不符合题意；D．不能得出，故本选项符合题意．故选：D．9．（23-24七年级下·江苏南京·期末）如图，在中，点，，分别在，，上，以下条件能判断的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本题考查平行线的判定，平行线的判定方法：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．由平行线的判定，即可判断．【详解】解：A、由内错角相等，两直线平行判定，不能判定，故本不符合题意；B、由同位角相等，两直线平行判定，不能判定，故本不符合题意；C、由同旁内角互补，两直线平行判定，故本符合题意；D、由同旁内角互补，两直线平行判定，不能判定，故本不符合题意．故选：C．题型四：内错角相等判断直线平行10．（24-25七年级下·全国·单元测试）下列图形中，有，能得到的图形有（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】本题考查了平行线的判定，掌握判定方法是解题的关键．根据平行线的判定方法逐一判断即可．【详解】解：A、与不是同位角，内错角，同旁内角，故不能判断，故A错误；B、，即，内错角相等可判定出，故B正确；C、与不是同位角，内错角，同旁内角，故不能判断，故C错误；D、与不是同位角，内错角，同旁内角，故不能判断，故D错误；故选：B．11．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，点在的延长线上，下列条件中不能判断的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本题主要考查平行线的判定，掌握平行线的判定方法是解题的关键．根据平行线的判定方法，逐一进行判定即可．【详解】解：A、，（内错角相等，两直线平行），不能判断，符合题意；B、，（内错角相等，两直线平行），能判断，不符合题意；C、，（同旁内角互补，两直线平行），能判断，不符合题意；D、，（内错角相等，两直线平行），能判断，不符合题意；故选：A．12．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图所示，下列条件中可以判定的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了平行线的判定，根据每个选项的角的关系，再结合平行线的判定内容进行逐个分析，即可作答．【详解】解：A、∵，∴，故该选项是正确的；B、∵，∴，∴得不到，故该选项是错误的；C、∵，且不是同位角也不是内错角，∴得不到，故该选项是错误的；D、∵，且不是同位角也不是内错角，∴得不到，故该选项是错误的；故选：A．题型五：同旁内角互补判断直线平行13．（23-24七年级下·广东揭阳·期末）如图，下列四个选项中，不能判定的是（

）

A． B．C． D．【答案】C【分析】本题主要考查平行线的判定，利用平行线的判定定理进行分析即可．【详解】解：A、当时，由内错角相等，两直线平行得，故A不符合题意；B、当时，由同旁内角互补，两直线平行得，故B不符合题意；C、当时，由同旁内角互补，两直线平行得，而不能得到，故C符合题意；D、当时，由内错角相等，两直线平行得，故D不符合题意．故选：C．14．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，在四边形中，下列推论正确的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本题考查平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法中“同旁内角互补，两直线平行”是解题的关键．根据题目中的图形位置，逐个分析选项中的同旁内角互补能否判定对应的两条直线平行，可以得到只有正确，其余均错误，即可得出正确选项．【详解】解：，故A选项错误；，故B选项错误；，故C选项正确；，无法推出或，故D选项错误．故选：C．15．（23-24七年级下·安徽阜阳·期中）如图，能判定的条件是（

）．A． B．C． D．【答案】C【分析】此题考查平行线的判定，根据平行线的判定定理依次判断即可，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．【详解】A.由得，故不符合题意；B.由得，故不符合题意；C.由得，故符合题意；D.由得，故不符合题意；故选：C．题型六：垂直于同一直线的两直线平行16．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知在同一平面内有三条不同的直线，，，下列说法错误的是（

）A．如果，，那么 B．如果，，那么C．如果，，那么 D．如果，，那么【答案】C【分析】此题主要考查了平行公理及推论，熟练掌握平行线相关知识是解题关键．根据如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行进行分析即可．【详解】解：A、如果，，那么，说法正确；B、如果，，那么，说法正确；C、如果，，那么，故原说法错误；D、如果，，那么，说法正确．故选：C．17．（21-22七年级下·河南漯河·期末）如图，工人师傅用角尺画出工件边缘AB的垂线a和b，得到ab，理由是（

）A．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短B．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行C．在同一平面内，过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线D．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行【答案】B【分析】三条直线AB、a、b位于同一平面内，且直线a与直线b都垂直于AB，即可根据在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行的性质来判断出ab．【详解】∵直线AB、a、b位于同一平面内，且AB⊥a、AB⊥b∴ab（同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行）故答案为B．【点睛】本题考查了平行线判定的性质，根据已知题目反应出两条直线是同一平面内，且同时垂直于一条直线是本题的关键．18．（21-22七年级上·河南南阳·期末）直线a、b、c在同一平面内，下面的四个结论：①如果ab，ac，那么bc；②如果a⊥b，b⊥c，那么ac；③如果ab，b⊥c，那么a⊥c；④如果a与b相交，b与c相交，那么a与c相交；正确的有个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根据平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线，以及平行公理及推论进行判断即可．【详解】解：①若ab，ac，则bc，故①说法正确，②若a⊥b，b⊥c，则ac，故②说法正确，③若ab，b⊥c，则a⊥c，故③说法正确，④若a与b相交，b与c相交，则a与c不一定相交，故④说法错误，∴正确的有3个，故选：C．【点睛】本题考查两直线的位置关系，解题的关键是掌握垂直于同一直线的两条直线平行，平行于同一直线的两条直线平行．题型七：平行线的综合问题19．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，已知直线，分别与直线交于点，，，分别平分和，且．求证：．【答案】见解析【分析】本题主要考查了平行线的判定，角平分线的定义，熟知平行线的判定是解题的关键．由角平分线的定义得到，，根据，进而推出，再根据对顶角相等，等量代换即可得出即可证明．【详解】证明：平分，平分，，，，．又，，．20．（2024七年级上·全国·专题练习）已知直线和被直线所截．(1)如图①，若平分，平分，则与满足什么条件时，？为什么？(2)如图②，若平分，平分，则与满足什么条件时，？为什么？(3)如图③，若平分，平分，则与满足什么条件时，？为什么？【答案】(1)，理由见解析(2)，理由见解析(3)，理由见解析【分析】本题考查了平行线的判定，角平分线定义的应用，注意：平行线的判定是：①同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行．（1）根据角平分线定义得出，，时，求出，根据平行线的判定推出即可．（2）根据角平分线定义得出，，求出，根据平行线的判定推出即可．（3）根据角平分线定义得出，，求出，根据平行线的判定推出即可．【详解】（1）解：当时，．理由如下：平分，平分．，，．（2）解：当时，．理由如下：平分，平分，．，，．（3）解：当时，．理由如下：平分，平分，．，，．21．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，分别平分和，分别平分和，，．(1)求的度数．(2)求证：．(3)是否平分，说明理由．【答案】(1)(2)证明见解析(3)平分，理由见解析【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理：（1）先由角平分线的定义得到，再由三角形内角和定理得到，则，据此根据三角形内角和定理求解即可；（2）由三角形内角和定理得到，则由角平分线的定义可推出，则；（3）先由平行线的性质得到，则，再根据，得到，则是否平分．【详解】（1）解：∵分别平分和，分别平分和，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴；（2）证明：∵，∴，分别平分和，∴，∴，∴；（3）解：平分，理由如下：∵，∴，∴，∵，∴，∴平分．【高分演练】一、单选题22．（24-25七年级下·全国·单元测试）下列例子中，不能看作平行线的是（

）A．人行道上的斑马线 B．长方形门窗的边框C．五线谱 D．螺丝上的螺旋线【答案】D【分析】本题考查了平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线．根据在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线即可确定．【详解】解：人行道上的斑马线、长方形门窗的边框、五线谱能看作平行线，螺丝上的螺旋线不在同一平面内，不是平行线故选：D．23．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列说法正确的是（

）A．不垂直的两条直线叫作平行线B．在同一平面内，过一点有且仅有一条直线与已知直线平行C．在同一平面内，不相交的两条线段互相平行D．在同一平面内，过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行【答案】D【分析】该题主要考查了平行公理及推论，平行线的定义，熟记平行公理及推论，平行线的定义是解题的关键．根据平行公理及推论，平行线的定义解答即可．【详解】解：同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线，故A选项错误，不符合题意；在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故B选项错误，不符合题意；在同一平面内，不相交的两条直线互相平行，故C选项错误，不符合题意；在同一平面内，过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行，故D选项正确，符合题意；故选：D．24．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，直线，被直线所截，给出下列条件：①；②；③；④．其中能判定的是（

）A．①③ B．②④ C．①③④ D．①②③④【答案】D【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，理解并掌握平行线的性质是解题关键．根据同位角相等两直线平行，即可判断①；根据内错角相等两直线平行，即可判断②；根据对顶角相等和同旁内角互补两直线平行，即可判断③；根据对顶角相等和同旁内角互补两直线平行，即可判断④，综合即可得出答案．【详解】解：∵，∴，故①正确；∵，∴，故②正确；∵，又∵，∴，∴，故③正确；∵，，又∵，∴，∴，故④正确，综上可得：能判断的条件是①②③④．故选：D．25．（24-25七年级下·全国·单元测试）下列说法中，正确的个数为（

）①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②在同一平面内，如果两条直线不相交，那么它们就平行；③如果，，那么；④如果直线，，那么直线．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】本题考查平行线的定义，平行公理，和平行线的判定，掌握平行线的定义，平行公理，和平行线的判定是解题的关键．【详解】解：①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原说法错误；②在同一平面内，如果两条直线不相交，那么它们就平行，说法正确；③同一平面内，如果，，那么，原说法错误；④如果直线，，那么直线，说法正确；故选：B．26．（24-25七年级下·全国·期中）如图，下列条件中：①；②；③；④，能判定的是（

）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④【答案】A【分析】本题考查平行线的判定，根据平行线的判定方法，逐一进行判断即可．【详解】解：∵，∴；故①正确；∵，∴；故②正确；∵，∴；故③正确；不能判定；故④错误；故选A．27．（24-25七年级上·四川遂宁·期末）在判断两直线是否平行时，我们可以从“三线八角”的位置进行分析，如图，点E在的延长线上，给出下列条件：①；②；③；④；⑤；⑥．一定能判定的条件是（

）A．①③⑤ B．②④⑥ C．①③⑥ D．①③⑤⑥【答案】A【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定定理直接作出判断即可，熟知平行线判定的条件：同位角相同，两直线平行；内错角相同，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，是解题的关键．【详解】解：①根据内错角相等，两直线平行即可证得；②根据内错角相等，两直线平行即可证得，不能证明；③根据同位角相等，两直线平行即可证得；④根据内错角相等，两直线平行即可证得，不能证明；⑤根据同旁内角互补，两直线平行，即可证得；⑥根据同旁内角互补，两直线平行，即可证得不能证明；故一定能判定的条件是①③⑤，故选：A．28．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，直线a，b与直线c相交，给出下列条件：；．其中能判断的是（）A．①②③④ B．①③④ C．①③ D．②④【答案】B【分析】本题考查平行线的判定，根据平行线的判定定理求解即可，解题的关键是掌握平行线的判定方法．【详解】解：∴，故①符合题意；和是对顶角，根据不能判定，故②不符合题意；，∴，故③符合题意；∴，故④符合题意；综上，①③④能判定，故选：B．29．（23-24七年级下·福建厦门·期末）如图，点在线段的延长线上，点在线段的延长线上，下列证明的推理中正确应用了“同位角相等，两直线平行”这一原理的是（

）．

A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】本题主要考查了平行线的判定，灵活运用平行线的判定定理成为解题的关键．根据平行线的判定定理逐项判断即可解答．【详解】解：A.是对角，不能判定，不符合题意；B.，的依据是“同位角相等，两直线平行”，符合题意；C.，的依据是“内错角相等，两直线平行”，不符合题意；D.，的依据是“同旁内角互补，两直线平行”，不符合题意．故选B．二、填空题30．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，已知，要使，还需添加一个条件，你想添加的条件是．【答案】（答案不唯一）【分析】此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握同位角相等两直线平行．添加：，再加上条件可得，再根据同位角相等两直线平行可得．【详解】解：添加：，故答案为：（答案不唯一）．31．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图①是公园的一个健身器材，如图②是该器材的正面示意图，若该器材的标准为，则在以下三组数据中：①，；②；③，．满足要求的是．（请填写序号）【答案】①③/③①【分析】本题考查了平行线的判定，熟悉掌握判定方法是解题的关键．根据平行线的判定方法逐一判断即可．【详解】①，同旁内角互补，两直线平行，则，满足要求；②，无法判定，不满足要求；③，同旁内角互补，两直线平行，则，满足要求；综上所述：①③符合要求；故答案为：①③．32．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，有下列条件：①；②；③；④．其中能得到的是．（请填写序号）【答案】②③/③②【分析】本题主要考查了平行线的判定，解题时注意：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，据此进行判断即可．【详解】解：①，；②，；③，；④，，能够得到的条件是②③，故答案为：②③．33．（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，直线，被直线，所截，在下列条件中：；；；，能得到直线的是__________．（请填写序号）【答案】【分析】本题主要考查了平行线的判定定理，熟练掌握内错角相等两直线平行，同旁内角互补两直线平行是解题的关键．根据平行线的判定逐一判断．【详解】解：，（内错角相等两直线平行）；，和是不相关的一组角，不能判断；，（同旁内角互补两直线平行）；，（同旁内角互补两直线平行）；故答案为：．34．（23-24七年级下·湖北荆州·期末）将一块三角板（，）按如图方式放置，使，两点分别落在直线，上，对于给出的五个条件：①；②；③，；④；⑤；能判断直线的有．（填序号）【答案】【分析】本题考查平行线的判定．解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据平行线的判定方法和题目中各个小题中的条件，逐一判断是否可以得到，从而可以解答本题．【详解】解：①∵，，∴不一定等于，∴和不一定平行，故①不符合题意；②∵，，∴不一定等于，∴和不一定平行，故②不符合题意；③∵，，，∴，∴，故③符合题意；④∵，∴，∴，故④符合题意；⑤过点作，∴，∵，，∴，∴，∴，故⑤符合题意．故答案为：③④⑤．三、解答题35．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，平分，平分，且，试说明：．【答案】见解析【分析】本题主要考查了平行线的判定，首先根据角平分线的定义可得，，根据等量代换可得，进而得到，再根据同旁内角互补两直线平行可得．【详解】解：因为平分，所以．因为平分，所以，所以．又因为，所以，，所以．36．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，在中，，，平分．求证：．【答案】见解析【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理的应用，平行线的判定；根据题意以及角平分线的定义得出，根据邻补角以及三角形内角和定理得出，即可得证．【详解】证明：如图所示，∵平分．∴，∵，，∴又∵，∴，∴．37．（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，已知，平分，交直线于点F，若，则与平行吗？请说明理由．补全以下解题过程：解：平行．理由如下：因为，平分，所以__________=__________°（