2020年育龙教育数学试题及答案 附典型例题思路详解

2020年育龙教育数学试题及答案附典型例题思路详解

一、单项选择题（每题2分，共20分）1.若$a\gtb$，则下列不等式一定成立的是（）A.$a-3\ltb-3$B.$-2a\gt-2b$C.$2a-1\gt2b-1$D.$\frac{a}{2}\lt\frac{b}{2}$2.计算$(-3x^2y)^3$的结果是（）A.$-9x^6y^3$B.$9x^6y^3$C.$-27x^6y^3$D.$27x^6y^3$3.函数$y=\frac{1}{\sqrt{x-1}}$中自变量$x$的取值范围是（）A.$x\gt1$B.$x\geq1$C.$x\lt1$D.$x\leq1$4.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A.等边三角形B.平行四边形C.正方形D.正五边形5.方程$x^2-5x+6=0$的根是（）A.$x_1=2$，$x_2=-3$B.$x_1=-2$，$x_2=3$C.$x_1=-2$，$x_2=-3$D.$x_1=2$，$x_2=3$6.已知$\triangleABC\sim\triangleA'B'C'$，且相似比为$3:2$，则它们的面积比为（）A.$3:2$B.$2:3$C.$9:4$D.$4:9$7.一个多边形的内角和是外角和的$3$倍，则这个多边形是（）A.六边形B.七边形C.八边形D.九边形8.化简$\frac{x^2-1}{x-1}$的结果是（）A.$x+1$B.$x-1$C.$\frac{x+1}{x-1}$D.$\frac{x-1}{x+1}$9.若点$A(-1,y_1)$，$B(1,y_2)$，$C(3,y_3)$在反比例函数$y=-\frac{3}{x}$的图象上，则$y_1$，$y_2$，$y_3$的大小关系是（）A.$y_1\lty_2\lty_3$B.$y_2\lty_3\lty_1$C.$y_3\lty_2\lty_1$D.$y_3\lty_1\lty_2$10.如图，在$\triangleABC$中，$\angleC=90^{\circ}$，$\angleB=30^{\circ}$，$AD$是$\angleBAC$的平分线，$DE\perpAB$于点$E$，$DE=1$，则$BC$等于（）A.$\sqrt{3}$B.$2$C.$3$D.$4$二、填空题（每题2分，共20分）1.分解因式：$x^3-4x=$______。2.计算：$\sqrt{12}-\sqrt{3}=$______。3.若分式$\frac{x-1}{x+2}$的值为$0$，则$x$的值为______。4.把抛物线$y=2x^2$向左平移$3$个单位长度，再向下平移$4$个单位长度，得到的抛物线的解析式为______。5.数据$2$，$4$，$6$，$8$的方差是______。6.已知圆锥的底面半径为$3$，母线长为$5$，则圆锥的侧面积是______。7.一个三角形的两边长分别为$3$和$5$，第三边长是方程$x^2-5x+6=0$的根，则这个三角形的周长是______。8.如图，在$\odotO$中，弦$AB$垂直平分半径$OC$，则$\angleAOB$的度数为______。9.若$m$，$n$是方程$x^2+2x-2020=0$的两个实数根，则$m^2+3m+n$的值为______。10.如图，在平面直角坐标系中，点$A$，$B$的坐标分别为$(0,2)$，$(1,0)$，将线段$AB$平移，使其一个端点到点$C(3,4)$，则平移后另一端点的坐标是______。三、判断题（每题2分，共20分）1.若$a\gtb$，则$ac^2\gtbc^2$。（）2.三角形的内角和是$180^{\circ}$。（）3.对角线相等的四边形是矩形。（）4.函数$y=\frac{1}{x}$的图象在第一、三象限。（）5.方程$x^2+1=0$没有实数根。（）6.相似三角形的对应边成比例。（）7.扇形的面积公式为$S=\frac{n\pir^2}{360}$。（）8.一个角的补角一定大于这个角。（）9.数据$1$，$2$，$3$，$4$，$5$的中位数是$3$。（）10.若$a\gt0$，$b\gt0$，则$a+b\geq2\sqrt{ab}$。（）四、简答题（每题5分，共20分）1.解不等式组：$\begin{cases}3x-1\geq2x+1\\x-3\lt\frac{x+1}{3}\end{cases}$2.先化简，再求值：$(1-\frac{1}{x+2})\div\frac{x^2+2x+1}{x^2-4}$，其中$x=\sqrt{3}-1$。3.如图，在$\triangleABC$中，$\angleC=90^{\circ}$，$\angleB=30^{\circ}$，$AD$是$\angleBAC$的平分线，$DE\perpAB$于点$E$，$DE=1$，求$BC$的长。4.如图，在平面直角坐标系中，一次函数$y=kx+b$的图象与反比例函数$y=\frac{m}{x}$的图象交于$A$，$B$两点，与$x$轴交于点$C$，点$A$的坐标为$(-2,3)$，点$B$的坐标为$(6,n)$。（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求$\triangleAOB$的面积。五、讨论题（每题5分，共20分）1.已知关于$x$的方程$x^2+ax+a-2=0$。（1）若该方程有一个根为$1$，求$a$的值及方程的另一个根；（2）求证：不论$a$取何实数，该方程都有两个不相等的实数根。2.如图，在正方形$ABCD$中，$E$，$F$分别是边$AD$，$CD$上的点，$AE=DF$，$CE$与$BF$相交于点$G$。（1）求证：$BF=CE$；（2）求证：$BF\perpCE$；（3）当点$E$，$F$分别是边$AD$，$CD$的中点时，求$\angleBGC$的度数。3.如图，在$\triangleABC$中，$AB=AC$，以$AB$为直径的$\odotO$交$BC$于点$D$，过点$D$作$DE\perpAC$于点$E$。（1）求证：$DE$是$\odotO$的切线；（2）若$BC=8$，$DE=3$，求$\odotO$的半径。4.某商场销售一种进价为$20$元/台的台灯，经调查发现，该台灯每天的销售量$w$（台）与销售单价$x$（元）满足$w=-2x+80$，设销售这种台灯每天的利润为$y$（元）。（1）求$y$与$x$之间的函数关系式；（2）当销售单价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？（3）在保证销售量尽可能大的前提下，该商场每天还想获得$150$元的利润，应将销售单价定为多少元？答案：一、单项选择题1.C2.C3.A4.C5.D6.C7.C8.A9.D10.C二、填空题1.$x(x+2)(x-2)$2.$\sqrt{3}$3.$1$4.$y=2(x+3)^2-4$5.$5$6.$15\pi$7.$12$8.$120^{\circ}$9.$2018$10.$(4,6)$或$(2,2)$三、判断题1.×2.√3.×4.√5.√6.√7.√8.×9.√10.√四、简答题1.解不等式$3x-1\geq2x+1$，得$x\geq2$；解不等式$x-3\lt\frac{x+1}{3}$，得$x\lt5$。所以不等式组的解集为$2\leqx\lt5$。2.原式$=\frac{x+1}{x+2}\div\frac{(x+1)^2}{(x+2)(x-2)}=\frac{x+1}{x+2}\cdot\frac{(x+2)(x-2)}{(x+1)^2}=\frac{x-2}{x+1}$。当$x=\sqrt{3}-1$时，原式$=\frac{\sqrt{3}-1-2}{\sqrt{3}-1+1}=\frac{\sqrt{3}-3}{\sqrt{3}}=1-\sqrt{3}$。3.因为$AD$是$\angleBAC$的平分线，$\angleC=90^{\circ}$，$DE\perpAB$，所以$CD=DE=1$。在$Rt\triangleBDE$中，$\angleB=30^{\circ}$，所以$BD=2DE=2$。在$Rt\triangleABC$中，$\angleB=30^{\circ}$，所以$BC=CD+BD=1+2=3$。4.（1）把$A(-2,3)$代入$y=\frac{m}{x}$，得$m=-6$，所以反比例函数的解析式为$y=-\frac{6}{x}$。把$B(6,n)$代入$y=-\frac{6}{x}$，得$n=-1$，所以$B(6,-1)$。把$A(-2,3)$，$B(6,-1)$代入$y=kx+b$，得$\begin{cases}-2k+b=3\\6k+b=-1\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=-\frac{1}{2}\\b=2\end{cases}$，所以一次函数的解析式为$y=-\frac{1}{2}x+2$。（2）在$y=-\frac{1}{2}x+2$中，令$y=0$，得$x=4$，所以$C(4,0)$。所以$S_{\triangleAOB}=S_{\triangleAOC}+S_{\triangleBOC}=\frac{1}{2}\times4\times3+\frac{1}{2}\times4\times1=8$。五、讨论题1.（1）把$x=1$代入方程$x^2+ax+a-2=0$，得$1+a+a-2=0$，解得$a=\frac{1}{2}$。把$a=\frac{1}{2}$代入方程$x^2+ax+a-2=0$，得$x^2+\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}=0$，即$2x^2+x-3=0$，解得$x_1=1$，$x_2=-\frac{3}{2}$，所以方程的另一个根为$-\frac{3}{2}$。（2）$\Delta=a^2-4(a-2)=a^2-4a+8=(a-2)^2+4\gt0$，所以不论$a$取何实数，该方程都有两个不相等的实数根。2.（1）因为四边形$ABCD$是正方形，所以$BC=CD$，$\angleABC=\angleBCD=90^{\circ}$。又因为$AE=DF$，所以$\triangleABE\cong\triangleDCF(SAS)$，所以$BF=CE$。（2）由（1）知$\triangleABE\cong\triangleDCF$，所以$\angleABE=\angleDCF$。因为$\angleABE+\angleCBE=90^{\circ}$，所以$\angleDCF+\angleCBE=90^{\circ}$，所以$\angleBGC=90^{\circ}$，所以$BF\perpCE$。（3）当点$E$，$F$分别是边$AD$，$CD$的中点时，$AE=DF=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}CD$。设正方形的边长为$2a$，则$CE=BF=\sqrt{5}a$。因为$BF\perpCE$，所以$S_{\triangleBGC}=\frac{1}{2}CE\cdotBF=\frac{1}{2}\times\sqrt{5}a\times\sqrt{5}a=\frac{5}{2}a^2$。又因为$S_{\triangleBCD}=\frac{1}{2}\times2a\times2a=2a^2$，所以$\angleBGC=\angleBCD$，所以$\angleBGC=45^{\circ}$。3.（1）连接$OD$，因为$AB=AC$，所以$\angleB=\angleC$。因为$OB=OD$，所以$\angleB=\angleODB$，所以$\angleODB=\angleC$，所以$OD\parallelAC$。因为$DE\perpAC$，所以$OD\perpDE$，所以$DE$是$\odotO$的切线。（2）因为$AB$是$\odotO$的直径，所以$\angleADB=90^{\circ}$，即$AD\perpBC$。因为$AB=AC$，所以$BD=CD=\frac{1}{2}BC=4$。在$Rt\triangleCDE$中，$DE=3$，$CD=4$，所以$CE=\sqrt{CD^2-DE^2}=\sqrt{4^2-3^2}=\sqrt{7}$。设$\odotO$的半径为$r$，则$OD=r$，$OA=r$，$OC=r+4$。在$Rt\triangleODE$中，$OD^2+DE^2=OE^2$，即$r^2+3^2=(r+4)^2$，解得$r=\frac{7}{