湖北襄阳市第四中学2026届高三下学期数学综合测试（含答案）

襄阳四中2026届高三下学期数学综合测试一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.1.若集合A={−1,0,A.{−1,0,1}2.设a,b为单位向量,且a−b=A.1B.2C.3D.23.若椭圆C的长轴长是短轴长的、5倍,则椭圆C的离心率为()A.45B.15C.24.在等差数列an中,Sn为其前n项和.若a2+aA.420B.210C.198D.1055.若a=ln2,b=log3A.a<c<bB.b6.已知二项式2x−1n的展开式中仅有第4项的二项式系数最大,则展开式中xA.-160B.-80C.80D.1607.三棱锥P−ABC满足PA=PB=PC=2，且∠BAC=πA.323π27B.3238.有一组样本数据x1,x2,⋯,x10,其中xi∈Ri=1,2,⋯,A.19B.100C.190D.200二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.已知函数fx=cosωxA.ωB.φC.x=94是函数D.函数y=fx的图象可以由函数y=sinπx10.已知直线l:y=kx−1k>0与抛物线C:y2=4x交于A,B两点，F为抛物线的焦点，A.OA⋅OBC.若AF=2BF，则k=22D.若11.已知an是首项为a1,公比为q的递增等比数列,其前n项和为Sn.若对任意的n∈N∗,总存在m∈N∗,使得aA.−12n不是B.32n是C.若an是“可分等比数列”，则mD.若an是“可分等比数列”，则三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.12.2−13.已知坐标原点到直线l:ax+by+114.已知函数fx=x3−ax+1a∈R的两个极值点为x1,x2x1<x2，记Ax1,fx1，(1)m+(2)若四边形ABCD为菱形,则a=四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.在△ABC中,内角A,B,C(1)求A的值；(2)若b=2c,a=316.某公司升级了智能客服系统，在测试时，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为78;当输入的问题表达不清晰时,智能客服的回答被采纳的概率为12.已知输入的问题表达不清晰的概率为1(1)求智能客服的回答被采纳的概率；(2)在某次测试中输入了3个问题，设X表示智能客服的回答被采纳的次数，求X的分布列及期望、方差;(3)公司为了测试该系统是否值得推广，随机抽取了10个问题，智能客服的回答每被采纳1次计10分,不采纳则不计分.记被采纳的回答数的总得分为Y,若EY≥75,则推广该系统.17.如图1,在边长为2的正方形ABCD中,E、F分别为线段BC、AD的中点,现将四边形CDFE折起至MNFE，得到三棱柱AFN−BEM，如图2所示，记二面角图1图2(1)若θ=π2时,求三棱柱(2)若P为线段EF上一点，满足AP⊥BP，求直线AP与平面NBE18.已知定义在[0,+∞)上的函数(1)求曲线y=fx在点(2)设Ax1,fx1,Bx2,fx①证明:kOA<②定义M,N两点间的距离如下:d证明:dO19.已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,(1)求双曲线C的方程；(2)斜率为-1的直线与双曲线C的右支交于A、B两点(异于点P).①求直线AP、BP的斜率之和；②若△PAB的外接圆圆心为M，试问在x轴上是否存在定点Q使MQ2−MP21.A根据集合交集的概念运算即可求解.因为集合A={−1,0,所以A∩故选:A.2.B根据向量模的关系得a⋅b=0,再计算因为a,b为单位向量,所以因为a−b=2,平方得a2所以a+b2=a故选:B.3.C由题意可求出a,b之间的关系,结合离心率e设椭圆的长轴长为2a,短轴长为2b,由于椭圆C的长轴长是短轴长的5倍,故2a=5×2b故椭圆C的离心率为e=4.B根据等差数列的通项公式,求出首项和公差,按照等差数列前n项和的公式,求得S12设等差数列an的公差为d,则a整理得2a1+5d=所以S125.C先把c=12转化为同底数的对数形式,再利用对数函数的单调性,分别比较a、a=ln2,c=12=lne所以ln2>lne,即b=log32,c=12=所以log32>log3a综上可得a>故选:C6.A依题意可确定n=6因为二项式2x−1n所以n=6,所以2x−16令6−r=3,得r=3故展开式中x3的系数为7.D先由底面三角形的已知边角求出其外接圆半径,结合侧棱相等得到高,再利用球心在高的线上且到顶点和底面顶点距离相等求出球半径,最后计算表面积.设点P在底面ABC的投影为O′,因为PA所以点O′是△ABC的外心，则O′A=O′B=O′C，且PO′由正弦定理得△ABC外接圆的直径径2r=BCsin∠BAC=即O′A=O′设OO′=d,外接圆半径为R则OA=d2+O则3−d=d2+1,解得则三棱锥P−ABC外接球的表面积为8.C将所求函数式展开,代入已知条件,转化成二次函数求最小值问题.因为fx=i=110xi−x2=i=110x9.ABD根据函数fx的图象,利用三角函数的性质,求得fx=cosπx+π4A,由函数fx的图象,可得12T=54−14=1B,由f14=0,可得cosπ解得φ=π4+2kπ,k∈Z,因为φ<πC,由fx=cosπx+π4,令令k−14=94,可得k=52∉Z,所以xD,将函数y=sinπx的图象向左平移3可得y=sinπx+10.BCD设Ax1,y1,Bx2,y2,联立方程组求得x1+x2=2k2+4k2,x1x2=1,y1+y2=4k,y1y对于A,设Ax1,y联立方程组y=kx−1可得Δ=−2k2+则y1所以OA⋅OB=x对于B,由抛物线y2=4x的焦点为F1,0,直线则过F且垂直于l的直线的斜率为−1k,其方程为令x=−1,可得y=2k,所以D所以DA⋅又由y1所以DA⋅OB=1+2对于C,由抛物线的定义,可得AF=因为AF=2BF,可得x1+因为x1x2=1,代入可得2解得x2=12或x2将x1=2代入抛物线的方程，可得y1=22或此时直线l的斜率为k=kAF=22对于D,由抛物线C的焦点为F1,0且可得DF=因为DF=433,可得4+4k2=又因为k>0,所以k=3,所以11.ACD对于A,取n=2,则不存在m∈N∗,使得an≤Sm<an+1;对于B,取n对于A,若an=−12n因为an<0,所以又因为a2所以不存在正整数m,使得a2所以−12n不是“可分等比数列”,所以选项对于B,若an=32n所以S1=32<a2,当所以不存在正整数m,使得a2≤Sm<a3,所以32对于C,若a1<0,则有Sn≤a1<a2<a因为an是递增等比数列,所以q>1,a因为an≤Sm<an+1下证:对任意n∈N∗,当且仅当m=n反证法:假设存在正整数n,使得当m≤n−1取满足条件的最小正整数n0,此时有m≤n0−1,使得则an0−1≤Sn0−1<an0所以对任意n∈N∗,当且仅当m=n时,an对于D,下证:q≥由上可知m=n,即an≤Sn<an+①当q≥2时,因为qnq−1②当1<q<2时，因为当n>logq12−综上,q≥2,所以选项D故选:ACD.12.132−13.5根据条件得到a2+b2=1,令a因为坐标原点到直线l:ax+by+1=0的距离为令a=cosθ,b=sinθ,则3a+4b=3cosθ+4故3a+4b14.0 因为函数有两个极值点,所以先对fx求导,利用导数与极值点的关系,得到x1,x2x1<x2是导数为0的方程的两根,再结合韦达定理得到x1+x2的值,因为AB,CD垂直于y轴,所以A和B、C和D的纵坐标相等,由此建立关于m、n的方程,继而推导出m由fx=x3−由题意可知x1,x2x1<x2为3则x1+x2=AB均垂直于y轴,则fm=fx1整理得m−x1m2+mx1结合a=3x12,得m2+mx1−2x1同理可得n=−2x2由上面分析可知Ax此时AC的中点为x1+x22BD的中点为−x1−x2即AC,BD的中点重合,四边形ABCD若四边形ABCD为菱形,则AC,BD垂直,则k由于x1+x2=则kACk由kACkBD=−1,得−2a3×a15.1(2)3(1)根据两角和与差的正切公式,求得tanA2的值,结合三角形内角的取值范围,求得(2)由余弦定理求出c,b,再根据三角形面积公式求得△(1)因为tan=且tanA所以4tanA21−即23所以tanA2=33因为A∈0,π,所以A2所以tanA2=33，所以A(2)因为b=2c所以由余弦定理b2+4c2+c2−2×所以b=所以△ABC的面积为S16.1(2)EX0123P1125121254812564125(3)会得到推广，因为EY(1)利用全概率公式,结合问题清晰与不清晰两种情况的采纳概率即可求解;(2)由二项分布概率模型,计算各可能次数的概率及期望、方差;(3)根据二项分布期望公式求出10个问题的总得分期望,并与75比较得出结论.(1)设事件A表示回答被采纳,事件B表示问题表达清晰,则PB则PA(2)由(1)知每个问题的回答被采纳的概率p=45，且每次回答是否被采纳相互独立，因此随机变量X服从二项分布则PXPPPPEX的分布列为:X0123P112512254812564125(3)随机抽取10个问题,设被采纳的次数为ξ,则有ξ∼B10,45,总得分Y17.(1)1(2)0(1)证明出EF⊥AF,EF⊥NF,可知θ=∠AFN,证明出EF⊥平面ANF,当θ=(2)以点F为坐标原点，FA、FE所在直线分别为x、y轴，过点F且垂直于平面ABEF的直线为z轴建立空间直角坐标系,分析可知0<θ<π,根据AP⋅BP=0可求出点P的坐标,再利用空间向量法可求得直线(1)翻折前，在图1中，因为四边形ABCD为正方形，所以AB//CD，AD//BC因为E、F分别为BC、AD所以四边形ABEF为平行四边形,且EF=因为AB⊥AD,所以翻折后,在图2中,EF⊥所以二面角M−EF−A因为AF∩NF=F,AF、NF⊂平面ANF当θ=π2时,即∠AFN=π2,且AF=NF=1,则(2)因为EF⊥平面AFN，以点F为坐标原点，FA、FE所在直线分别为x、y轴，过点F且垂直于平面ABEF的直线为z则A1设点P0,m,0,其中0≤m≤2,由题意可知0<因为AP⊥BP,则AP⋅BP=则点P0设平面NBE的一个法向量为n=则n⋅EB=x=0n⋅EN设直线AP与平面NBE所成角为α,则sinα因此直线AP与平面NBE所成角的正弦值的取值范围为0,18.(1)因为f′x=ex又f0=0,所以曲线y=fx在点(2)①令gx=则g′令tx则t′当x>0时,t′x>0恒成立,所以t则tx>t0=0,又x2>0所以gx在区间0,+∞上单调递增,又x1<x2,则②当x∈[0,+∞)时，fx=e所以dO要证dO,C>d也即证明fx令Gx=fx1则G′令hx=f′x易知当x>0时,h′x>0恒成立,所以h又当x>0时,x1+x>x>0所以Gx在区间0,+∞又x2>0,则即fx119.1(2)①0；(②存在，且点Q1(1)