22.2 相似三角形的判定（第5课时直角三角形相似的判定）（同步课件）数学沪科版九年级上册

八年级沪科版数学上册第二十二章相似形22.2相似三角形的判定第五课时直角三角形相似的判定目录/CONTENTS新知探究情景导入学习目标课堂反馈分层练习课堂小结学习目标1.掌握直角三角形相似的判定方法，并能利用其解决相关问题；2.理解直角三角形相似的特殊判定方法的证明方法，在探究过程中让学生体会用代数方法解决几何问题；3.经历从猜想到证明归纳的过程，培养学生的推理能力，渗透类比的数学思想方法；4.通过观察、猜想、探究、证明等活动，培养学生获得数学猜想的经验，提高探索知识的兴趣.情景导入还记得全等三角形的判定方法有哪些吗？SSS（边边边）全等三角形的判定方法SAS（边角边）ASA（角边角）AAS（角角边）HL（斜边直角边）还记得我们上节课所学的判定三角形相似的方法吗？平行于三角形一边的直线与其他两边(或延长线)相交，所得三角形与原三角形相似；三边对应成比例两三角形相似；两边对应成比例并且夹角相等，两三角形相似；两角对应相等，两三角形相似．判定三角形相似的方法：

在判定两个直角三角形全等时，除根据一般三角形全等判定定理外，还有“HL”方法.

类似地，要判定两个直角三角形相似，除了上面一般三角形相似的三个判定定理外，是否也有特殊方法呢？情景导入

观察如下两副三角尺，其中同样角度（30°与60°，或45°与45°）的两个三角尺大小可能不同，但它们看起来是相似的．问题①一般地，如果两个三角形有两组对应角相等，它们一定相似吗？问题②对于直角三角形，类似于判定三角形全等的HL方法，我们能不能通过两边来判断两个三角形相似呢？本节课就让我们来探究一下吧1.直角三角形相似的判定新知探究动动手：请同学们拿出方格纸在边长为1的方格上任画一个直角三角形，再画出第二个三角形，使它的一直角边和斜边长都是原三角形的对应边长的两倍．画完之后，用量角器比较两个三角形的对应角，你发现了什么结论？大家的结论都一样吗？

这两个三角形相似．BCAFED根据以上步骤作出图形，如右图所示，我们可以发现证明：设

由勾股定理，得在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中∠C=90°,∠C′=90°.求证:Rt△ABC∽Rt△A′B′C′.A'B'C'ABC理论推导∴∴∴Rt△ABC∽Rt△A′B′C′.A'B'C'ABC概念归纳

如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似.那么ABC∽△A1B1C1.

Rt△ABC

和Rt△A1B1C1.A'B'C'ABC数学语言例1.【教材改编题】根据下列条件判断Rt△

ABC

和Rt△A'B'C'

是否相似，其中∠

C

＝∠C'＝90°.(1)

AB

＝14cm，

BC

＝6cm，A'B'＝7cm，B'C'＝3cm；

典例剖析

典例剖析∴解：∵ED⊥AB，∴∠EDA=90°.又∠C=90°，∠A=∠A，

∴△AED∽△ABC.例2.如右图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8.E是AC上一点，AE=5，ED⊥AB，垂足为D.求AD的长.DABCE∴典例剖析应用直角三角形的判定定理概念归纳判定直角三角形相似的方法：有一个锐角相等的两个直角三角形相似.1.

在△

ABC

和△A'B'C'中，∠

C

＝∠C'＝90°，

AC

＝4，

AB

＝5，A'C'＝8，则当A'B'＝

时，△

ABC

∽△A'B'C'.10

练一练2.

[2023·合肥庐阳区期中]如图，已知∠

C

＝∠

AED

＝90°，

点

E

在

AB

上，那么添加下列一个条件后，仍然不能判定

△

ABC

与△

DAE

相似的是(

D

)A.∠

CAB

＝∠

D

B.

AD

∥

BC

D练一练3.

一个直角三角形的两边长分别为3和6，另一个直角三角形

的两边长分别为2和4，那么这两个直角三角形

⁠(填“一定”“不一定”或“一定不”)相似.不一定练一练又∵∠ABC＝∠A′C′B′＝90°，

4.如下图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，AC＝5.在Rt△A′B′C′中，∠A′C′B′＝90°，A′C′＝6，A′B′＝10.求证：△ABC∽△B′C′A′.证明：在Rt△ABC中，BC==3∴==.∴==.∴=.∴Rt△ABC∽Rt△B′C′A′.ABCA'B'C'练一练

如图，∠ACB＝∠ADC＝90°，AC＝

，AD＝2.问当AB的长为多少时，这两个直角三角形相似？2.直角三角形相似的判定的应用新知探究=或=解得BC=2或

，∴AB=3或3解：由勾股定理得：CD===,分=或=,两种情况均能得到△ABC和△ACD相似.5.

[2023·芜湖无为期末]如图，

BE

与

CD

交于点

A

，∠

C

＝∠

E

＝90°，

AC

＝3，

AB

＝5，

AE

＝2，则

AD

的长为

⁠.

练一练6.

为了测量校园内一棵树的高度，学校数学应用实践小组做

了如下的探索：根据光的反射定律，利用一面镜子和皮尺，设计了如图所示的测量方案.把镜子放在离树(

AB

)8.7m的点

E

处，然后观测者沿着直线

BE

后退到点

D

，这时恰好在镜子里看到树梢顶点

A

，再用皮尺量得

DE

＝2.7m，观测者目高

CD

＝1.6m，则树高

AB

约是

m(精确到0.1m).5.2

练一练

练一练8.如图，在平面直角坐标系中，点

A

(0，3)，

B

(3，0)，连接

AB

，作射线

BD

⊥

AB

，点

C

在射线

BD

上运动，连接

AC

.当△

AOB

与△

ABC

相似时，

BC

的长为

⁠.

练一练1.如图，锐角三角形ABC的边AB，AC上的高CE，BF相交于点D，请写出图中的两对相似三角形.课本练习解：△ABF∽△DBE∽△ACE∽△DCF，从中任选两对相似三角形即可.2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是边AB上的高.求证：（1）CD²=AD·BD；（2）BC²=AB·BD，AC²=AB·AD.

3.在Rt△ABC与Rt△A'B'C'中，∠C=∠C'=90°，当具有下列条件时，这两个直角三角形是否相似，为什么？（1）AB=10cm，AC=8cm，A'B'=15cm，B'C'=9cm；（2）AB=5cm，AC=4cm，A'C'=12cm，B'C'=9cm.

4.你能根据相似形知识证明勾股定理吗？解：能，在第2题的图中，△ABC为直角三角形，由第（2）小题结论可知AC²=AB·AD，BC²=AB·BD.AC²+BC²=AB·AD+AB·BD=AB·（AD+BD）=AB·AB=AB².即AC²+BC²=AB².判断正误：(1)两边对应成比例，且有一个角相等的两个三角形相似.()(2)在△ABC和△A′B′C′中，如果∠A=80°，∠B=40°，∠A′=80°，∠C′=60°，那么这两个三角形相似.()1.×√习题22.2如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD，CE分别是∠ABC、∠ACB的平分线，且相交于点O.写出与△ABC相似的三角形.2.解：△BCD，△CBE，△BOE，△COD.依据下列各题的条件，判断△ABC与△A′B′C′是否相似，并说明理由.(1)∠C=∠C′=90°，∠A=25°，∠B′=65°；3.解：这两个三角形相似，理由如下：∵∠C=∠C′=90°，∠A=25°，∠B′=65°，∴∠B=90°－25°=65°，∴∠B=∠B′.又∵∠C=∠C′，∴△ABC∽△A′B′C′.(2)∠C=90°，AC=6cm，BC=4cm，∠C′=90°，A′C′=9cm，B′C′=6cm；(2)这两个三角形相似，理由如下：又∵∠C=∠C′，∴△ABC∽△A′B′C′.(3)AB=10cm，BC=12cm，AC=15cm，

A′B′=1.5m，B′C′=1.8m，A′C′=2.25m.(3)这两个三角形相似，理由如下：∴△ABC∽△A′B′C′.用枪射击瞄准时，要求标尺缺口的上沿中央A、准星尖B和瞄准点C在同一条直线上.已知某种冲锋枪的基线AB=38.5cm（如图），如果射击距离AC=100m，当准星尖在缺口内偏差BB′=1mm时，求弹着点偏差CC′(CC′∥BB′)的长.4.解：∵AB=38.5cm，AC=100m=10000cm，BB′=1mm=0.1cm，又∵BB′//CC′，∴△ABB′∽△ACC′，∴CC′≈26.0(cm).答：弹着点偏差CC'的长约26.0cm.已知：如图，D是△ABC的边AB上一点，且AC2=AD·AB.求证：∠ADC=∠ACB.5.证明：∵AC2=AD·AB，∴，又∠A=∠A，∴△ADC∽△ACB，∴∠ADC=∠ACB.已知：如图，AD是直角三角形ABC斜边上的中线，AE⊥AD，AE交CB的延长线于点E.求证：△BAE∽△ACE.6.证明：∵∠BAE+∠BAD=90°，∠BAD+∠DAC=90°，∴∠BAE=∠DAC.又∵AD为Rt△ABC斜边上的中线，∴AD=DC=BC，∴∠DCA=∠DAC，∴∠BAE=∠C，又∵∠E=∠E，∴△BAE∽△ACE.△ABC的三边长分别为，2，△A′B′C′的两边长分别为1，.如果△ABC∽△A′B′C′，那么△A′B′C′的第三边长应是多少？7.解：∵△ABC的三边长分别为，2，∴△ABC的三边长之比为.又∵△ABC∽△A′B′C′，且△A′B′C′的两边长分别为1，.∴△A′B′C′的第三边长是.在方格纸中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形.请在如图的方格纸(8×8)中，画出两个相似但不全等的格点三角形，并加以证明(所画格点三角形应是钝角三角形，并标明相应字母).8.解：如图，设小正方形的边长为1，∵△ABC与△A′B′C′的顶点都在格点上，∴AB=2，BC=AC=，A′B′=4，B′C′=A′C′=

如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，且AE=6，EC=1.5，DB=4，AB=9，求的值.9.解：∵AD=AB－DB=5，AC=AE+EC=7.5，又∠A=∠A，∴△ADE∽△ACB，

已知：如图，E是矩形ABCD的边CD上一点，BF⊥AE于点F.求证：10.证明：∵四边形ABCD