2026年广西南宁市高三二模高考数学试卷试题（含答案详解）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页南宁市2026届普通高中毕业班第二次适应性测试数学试卷（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在复平面内，复数所对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．已知集合，，若，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．3．若向量，满足，则（

）A． B． C． D．4．若是角终边上一点，则（

）A． B． C．4 D．5．的展开式中的系数为（

）A． B． C． D．6．在三棱锥中，为正三角形，，，二面角的平面角为，则三棱锥外接球的表面积为（

）A． B． C． D．7．抛物线的光学性质是一个非常重要且优美的几何特性，它描述了抛物线如何反射光线．这个性质在数学、物理学和工程学中有广泛的应用．其光学性质如下：从焦点发出的光线经过抛物线上一点（不同于抛物线的顶点）反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．若抛物线的焦点为F，从F发出的光线经过抛物线C上点G反射后，其反射光线过点，且，则的面积为（

）A． B． C． D．8．已知，，则（

）A． B． C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知函数，则（

）A．的最小正周期为B．曲线的一条对称轴方程为C．在上的最小值为D．将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象10．已知椭圆的右焦点为F，右顶点为A，过原点O的直线l（斜率不为0）与W交于B，C两点，M为AC的中点，则（

）A．直线OM与AC的斜率之积为B．点B到点的距离与到点F的距离之和的最大值为C．D．B，F，M三点共线11．已知函数，，则下列说法正确的是（

）A．若恒成立，则B．是的极值点C．若函数恰有2个正零点，则D．若关于x的不等式有解，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知为递减的等比数列，且，，则公比______．13．在中，角所对的边分别为，已知，则______．14．设，，若不等式恒成立，则实数的最大值为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．中考体育成绩关系到考生最终的中考分数，广西多地将1000米跑（男）、800米跑（女）作为必考项目．某校体育老师对自己所带一个班的学生进行1000米跑（男）、800米跑（女）测试，通过统计，整理数据得到如下列联表：男生女生合计达标241842不达标11718合计352560(1)试估计该班的达标率；(2)根据小概率值的独立性检验，分析成绩是否达标与学生性别有关．参考公式：，．0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.82816．在如图所示的几何体中，四边形是边长为4的菱形，，平面，，且．(1)证明：平面平面．(2)若平面与平面夹角的余弦值为，求．17．已知函数．(1)若，求曲线在点处的切线方程；(2)若方程在上有解，求的取值范围．18．已知双曲线的左顶点为，斜率不为0的直线l过点．(1)当直线l的斜率为2时，直线l与双曲线C恰有一个交点，求双曲线C的标准方程．(2)设直线l与双曲线C交于P，Q两点，且直线AP与AQ的斜率之积不小于．①求双曲线C的离心率e的取值范围；②当离心率e最大时，记双曲线C的右顶点为B，直线AP与BQ的交点为M，判断点M是否在定直线上．19．已知数列满足，，，函数．(1)证明：数列是等差数列．(2)求使不等式成立的最小正整数的值．(3)若恒成立，求实数的取值范围．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页1．B【分析】应用复数除法化简，进而确定对应点所在的象限.【详解】由，则复数对应的点位于第二象限.故选：B2．A【分析】根据交集运算结合空集的定义分析求解即可.【详解】因为集合，，且，可得，所以a的取值范围是.3．C【分析】分别求出，，，再利用平方求模即可.【详解】由，可得.由，可得，即，所以.由，可得.所以，则.4．D【分析】根据题意，利用三角函数的定义，求得，再由两角和的正切公式，即可求解.【详解】因为点是角终边上一点，所以，则.5．A【详解】展开式通项为，令，可得，故展开式中的系数为.6．B【分析】根据题意证明三棱锥外接球的球心即是正三角形的中心，计算得解.【详解】如图，取的中点，连接，因为为正三角形，所以，又二面角的平面角为，所以平面，则，设为正三角形的中心，则，因为，所以，又，所以，所以，则，即为三棱锥外接球的球心，因为，所以，所以三棱锥外接球的半径，所以三棱锥外接球的表面积为.7．B【分析】根据题意，可得轴，得到，得到，利用斜率求得，结合三角形的面积公式，即可求解.【详解】对于抛物线，可得焦点为，准线方程为，根据抛物线的光学性质，可得轴，所以，将代入抛物线，可得，即，因为，可得整理得，即，解得或(舍去），所以，此时，，，所以的面积为.8．B【分析】通过指数与对数的恒等变换，将含对数指数的表达式转化为关于与的代数方程，再求比值即可.【详解】，令，则，所以，，即，所以，令，则，所以，即，所以是一元二次方程的根，且大于0，所以；,令，则，即，所以，令，则，所以，即，所以是一元二次方程的根，且大于0，所以，因为是单调递减函数，由得:.所以.9．ABD【分析】根据三角函数最小正周期的公式可判断A；验证曲线与对称轴的交点是否为最值即可判断B；整体法求得在上的值域，进而判断C；根据图象平移的规则“左加右减”即可判断D.【详解】因为，所以的最小正周期，故A正确；因为，所以是曲线的一个最高点，即曲线的一条对称轴方程为，故B正确；当时，，由正弦曲线知，所以在上的最小值为，故C错；将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，故D正确.10．ABD【分析】设，，利用斜率公式计算判断选项A；B选项，问题转化为点B到点的距离与到左焦点的距离之差的最大值；由向量与的关系判断CD选项.【详解】椭圆的右焦点为，右顶点为，过原点O的直线l（斜率不为0）与W交于B，C两点，设，则有，满足，有，M为AC的中点，则，，A选项正确；椭圆的左焦点为，则，点在椭圆内，，，当且仅当三点共线，在之间时等号成立，B选项正确；，，，则，C选项错误；与共线，且与有公共点，所以B，F，M三点共线，D选项正确；11．ACD【分析】对于A：可得恒成立，令，利用导数求其最值，即可得结果；对于B：举反例，取，结合定义域分析判断；对于C：令，可得，结合函数单调性可得，利用导数分析其单调性和最值即可求解；对于D：令，分和两种情况讨论，结合选项C的结论运算求解.【详解】由题意可知：.对于选项A：若恒成立，可得恒成立，令，则，令，解得；令，解得；可知在内单调递增，在内单调递减，则，可得，即，故A正确；对于选项B：若，令，解得，此时的定义域为，不在定义域内，故B错误；对于选项C：由题意可知：，令，解得，令，可得，构造，则，因为在定义域内单调递增，则，即，构造，则，令，解得；令，解得；可知在内单调递增，在内单调递减，则即，解得，所以，故C正确；对于选项D：令，若，可知的定义域为，当趋近于时，趋近于，符合题意；若，可知的定义域为，令，可得，由选项C可知：在定义域内单调递增，因为，则，即，可知有解，由选项C可得：，解得；综上所述：，故D正确.12．【分析】根据等比数列的性质可得，解方程组可得，进而可得公比，根据递减数列的定义可排除不符合题意的.【详解】因为为等比数列，且，所以，又，联立解得或，因为是递减的等比数列，所以，且公比，所以，解得或（舍去）.13．【分析】利用正弦定理将边化为角，再结合三角形内角和与两角和的正弦公式化简，最后利用同角三角函数基本关系式即可得.【详解】因为，所以由正弦定理得：，所以，，即，因为，所以，所以，又因为，所以，因为，且，即，所以.14．8【详解】由.从而原问题转化为求的最小值.因为，（以上均为当且仅当时取等号）.所以.即实数的最大值为8.15．(1)(2)无关【分析】（1）根据表中数据进行计算即可；（2）应用卡方公式求卡方值，结合独立性检验基本思想得结论．【详解】（1）该班的达标率为（2）零假设：成绩是否达标与学生性别无关，，根据“显著性水平的独立性检验，我们推断没有充分证据拒绝原假设，即认为成绩是否达标与学生性别无关．16．(1)证明见详解(2)9【详解】（1）因为平面，平面，所以，因为四边形是菱形，所以，，又平面，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）设与交于点，以为原点，分别为轴，过点平行为轴，建立空间直角坐标系，设，则，，，，，所以，，设平面的一个法向量为，则，令，得，，所以，取平面的法向量，所以，解得，故.17．(1)(2)【分析】（1）当时，求出、的值，利用导数的几何意义可得出所求的切线方程；（2）由可得，令，其中，则实数的取值范围为函数在上的值域，利用导数求解即可.【详解】（1）当时，，则，所以，，当时，曲线在点处的切线方程为，即.（2）当时，由可得，令，其中，则，令，则，当时，，即函数在上为减函数，当时，，即函数在上为增函数，当时，，即，故函数在上为增函数，当时，，故函数在上的值域为，故实数的取值范围为.18．(1)(2)①；②点在定直线上.【分析】（1）根据直线与渐近线平行可求的值，进而得双曲线的标准方程.（2）设直线：，双曲线：，将方程联立，利用韦达定理，结合条件，先求的取值范围.①根据离心率的概念求离心率的取值范围；②分别表示直线与的方程，借助①中的有关结论，求两直线交点的横坐标即可.【详解】（1）由题意知，当直线的斜率为2时与一条渐近线平行，则.所以双曲线C的标准方程为.（2）由题意，双曲线的标准方程为.因为直线的斜率不为0，故可设直线的方程为:，将其代入，得，整理得：（）.设，，则，.，.所以.由.①所以，又，所以双曲线离心率的取值范围是.②当双曲线离心率最大时，.此时.，.直线的方程：，直线的方程：.由.化简得：.由，.所以.由.即直线与直线的交点在定直线上.19．(1)证明见解析(2)3(3)【分析】（1）对已知条件进行变形，结合等差数列的定义判断即可.（2）根据（1）的结论求出，再利用对数运算性质化简，得到关于的不等式后，通过构造函数或试值法求解最小正整数即可.（3）通过分离常数即换元法将不等式变为，构造函数，结合单调性与最值的关系，求出的最小值，进而确定的取值范围.【详解】（1）由可得，，则，即，又，故数列